Fonksiyonlar Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 3

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu tek, $g$ fonksiyonu ise çift fonksiyondur.

f(-3) = 6

g(-3) = -4

olduğuna göre, $f(3) - g(3)$ ifadesinin değeri kaçtır?

-10

-2

2

10

-6

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

-2

Tek fonksiyon tanımına göre

f(3) = -f(-3) = -6

ve çift fonksiyon tanımına göre

g(3) = g(-3) = -4

olur. Bu değerler yerine yazıldığında

f(3) - g(3) = -6 - (-4) = -2

değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

f

fonksiyonunun tek fonksiyon olma özelliğini uygularız.

f(3) = -f(-3) = -6

olur.

Tek fonksiyonlarda her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = -f(x)

eşitliği sağlanır.

2

g

fonksiyonunun çift fonksiyon olma özelliğini uygularız.

g(3) = g(-3) = -4

olur.

Çift fonksiyonlarda her

x

gerçel sayısı için

g(-x) = g(x)

eşitliği sağlanır.

3

Bulunan

f(3)

ve

g(3)

değerlerini

f(3) - g(3)

ifadesinde yerine yazarız.

f(3) - g(3) = -6 - (-4) = -2

bulunur.

İstenen cebirsel ifadenin değerini hesaplamak için.

Key Concept

Tek ve çift fonksiyonların tanımı ve simetri özellikleri

Question 42Question →

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi olmak üzere, $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tanımlı $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - ax + 4}}$ bağıntısının bir fonksiyon belirtmesi için $a$ gerçel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı $(-4, 4)$ açık aralığıdır.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Verilen bağıntının

\mathbb{R}

'den

\mathbb{R}

'ye bir fonksiyon belirtmesi için her

x \in \mathbb{R}

için tanımlı olması gerekir. Bu da paydadaki kareköklü ifadenin tanımlı ve sıfırdan farklı olması, yani

x^2 - ax + 4 > 0

eşitsizliğinin her

x

gerçel sayısı için sağlanması demektir. Baş katsayısı pozitif olan bu ifadenin daima pozitif olması için diskriminantı sıfırdan küçük olmalıdır (

\Delta < 0

).

\Delta = a^2 - 16 < 0

eşitsizliğinden

a

sayısının

(-4, 4)

açık aralığ��nda olması gerektiği bulunur. Dolayısıyla verilen ifade doğrudur.

Verilen bağıntının

\mathbb{R}

üzerinde tanımlı bir fonksiyon belirtmesi için paydadaki kareköklü ifadenin içi daima pozitif olmalıdır. Bu durum diskriminantın sıfırdan küçük olmasıyla (

a^2 - 16 < 0

) mümkündür ve buradan

a \in (-4, 4)

elde edilir. Bu sebeple ifade doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyon olma şartını analiz etme

Tanım kümesi

\mathbb{R}

ve değer kümesi

\mathbb{R}

olan bir

f

bağıntısının fonksiyon belirtebilmesi için her

x \in \mathbb{R}

için

f(x)

değerinin tanımlı ve bir gerçel sayı olması gerekir.

Fonksiyon tanımı gereği tanım kümesinde eşleşmeyen hiçbir eleman kalmamalıdır.

2

Tanımlılık şart��nı cebirsel olarak ifade etme

f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - ax + 4}}

ifadesinin tanımlı olması için

x^2 - ax + 4 > 0

olmalıdır.

Çift dereceden köklü ifadelerin içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerin paydası sıfır olamaz.

3

Eşitsizliğin her

x

için sağlanma koşulunu (daima pozitiflik) uygulama

x^2 - ax + 4 > 0

ifadesinin her

x \in \mathbb{R}

için sağlanması için baş katsayısı

1 > 0

olduğundan diskriminantı

\Delta < 0

olmalıdır.

Parabolün

x

eksenini kesmemesi ve daima eksenin üzerinde kalması gerekir.

4

Diskriminantı hesaplama ve

a

değer aralığını bulma

\Delta = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16 < 0 \implies a^2 < 16 \implies -4 < a < 4

. En geniş değer aralığı

(-4, 4)

açık aralığıdır.

Eşitsizlik çözülerek parametrenin alabileceği değer sınırları belirlenir.

Key Concept

Fonksiyon tanımlılık şartları ve gerçel sayılarda tanımlı en geniş küme

Question 43Question →

Gerçel sayılar kümesinin birer alt kümesinde tanımlı

f: [3, \infty) \rightarrow [a, \infty)

f(x) = x^2 - 4x + k

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

f(5) = 12

olduğuna göre, $a$ kaçtır?

3

4

7

8

10

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Doğru cevap 4 değeridir.

Fonksiyonun tanım kümesi [3, \infty) olup, bu aralıkta f(x) = x^2 - 4x + 7 fonksiyonu sürekli artandır. Bu nedenle en küçük değerini x = 3 noktasında alır. Fonksiyonun örten olması için değer kümesinin alt sınırı olan a sayısı, bu en küçük değer olan f(3) = 4 değerine eşit olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen f(5) = 12 eşitliğini kullanarak k sabitini bulalım.

k = 7

f(5) = 5^2 - 4(5) + k = 12 denkleminden 25 - 20 + k = 12 ve buradan k = 7 elde edilir. Dolayısıyla f(x) = x^2 - 4x + 7 olur.

2

Fonksiyonun bire birliğini tepe noktası yardımıyla inceleyelim.

Fonksiyon [3, \infty) aralığında artandır ve bire birdir.

f(x) = x^2 - 4x + 7 parabolünün tepe noktasının apsisi r = 2'dir. Parabol [2, \infty) aralığında artan olduğundan, bu aralığın alt kümesi olan [3, \infty) aralüğında da artandır ve dolayısıyla bire birdir.

3

Fonksiyonun örtenliğini kullanarak a değerini belirleyelim.

a = 4

f(x) artan bir fonksiyon olduğundan [3, \infty) aralığındaki en küçük değerini x = 3 noktasında alır. Örtenlik gereği değer kümesi görüntü kümesine eşit olmalıdır. Bu yüzden görüntü kümesinin en küçük elemanı olan f(3) değeri, değer kümesinin alt sınırı olan a sayısına eşit olmalıdır. Buradan a = f(3) = 3^2 - 4(3) + 7 = 4 bulunur.

Key Concept

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Estimated Time:1m 30s

Question 44Question →

Gerçek sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x) = \sqrt{12 - 3x} + \frac{4}{x - 1}

fonksiyonunun tanım kümesindeki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

f fonksiyonunun tanım kümesindeki pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki pozitif tam sayılar rasyonel ifadeyi tanımsız yapan 1 hariç, köklü ifadenin tanım aralığı olan 4 ve 4'ten küçük pozitif tam sayılardır. Bunlar 2, 3 ve 4'tür. Toplamları ise 9 yapar.

Step-by-Step Solution

1

Köklü ifadenin tanımlılık şartının incelenmesi

x \leq 4

Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olabilmesi için kök içi negatif olmamalıdır.

2

Rasyonel ifadenin tanımlılık şartının incelenmesi

x \neq 1

Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız yapar.

3

Koşulları sağlayan pozitif tam sayıların toplanması

2 + 3 + 4 = 9

x \leq 4

ve

x \neq 1

koşullarını aynı anda sağlayan pozitif tam sayılar

2

,

3

ve

4

'tür.

Key Concept

Fonksiyonların en geniş tanım kümesi bulunurken köklü ifadelerin çift derece şartı ile rasyonel ifadelerin sıfırdan farklı payda şartının ortak kesişimi alınır.

Question 45Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ doğrusal fonksiyon, $g$ sabit fonksiyon ve $h$ birim fonksiyondur.

Her

x

gerçek sayısı için,

f(x + g(x)) = h(3x) + f(2)

eşitliği sağlanmaktadır.

f(h(1)) = g(5) + 5

olduğuna göre,

(f \circ g)(1) + (g \circ h)(2) + (h \circ f)(3)

toplamının değeri kaçtır?

17

13

25

29

1

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

İstenen toplamın değeri 25 olarak bulunur.

Verilen fonksiyon tanımları sırasıyla uygulandığında doğrusal fonksiyon

f(x) = 3x + 4

, sabit fonksiyon

g(x) = 2

ve birim fonksiyon

h(x) = x

olarak elde edilir. Bu fonksiyonlar altında istenen bileşke değerleri sırasıyla 10, 2 ve 13 olup toplamları 25 değerini vermektedir.

Step-by-Step Solution

1

Birim (

h

) ve sabit (

g

) fonksiyon tanımlarını yazıp birinci eşitlikte yerlerine koymak.

h(x) = x

olduğundan

h(3x) = 3x

olur.

g(x) = c

(sabit) olsun.

f(x) = ax + b

doğrusal fonksiyon olmak üzere birinci eşitlik:

f(x + c) = 3x + f(2)

şekline gelir.

Fonksiyonların türlerine göre cebirsel ifadelerini belirlemek.

2

Elde edilen eşitlikten doğrusal fonksiyonun katsayısını (

a

) ve sabit fonksiyonun değerini (

c

) bulmak.

a(x+c) + b = 3x + (2a + b) \implies ax + ac + b = 3x + 2a + b

. Buradan

a = 3

ve

ac = 2a \implies 3c = 6 \implies c = 2

bulunur. Dolayısıyla

g(x) = 2

olur.

Polinomların/fonksiyonların eşitliği kuralını kullanarak katsayıları eşitlemek.

3

İkinci eşitliği kullanarak doğrusal fonksiyonun sabit terimini (

b

) bulmak.

f(h(1)) = g(5) + 5 \implies f(1) = 2 + 5 = 7

olur.

f(x) = 3x + b

olduğundan

f(1) = 3(1) + b = 3 + b = 7 \implies b = 4

bulunur. Buradan

f(x) = 3x + 4

elde edilir.

Birim ve sabit fonksiyonların değerlerini yerine yazarak bilinmeyen sabit terimi hesaplamak.

4

İstenen bileşke fonksiyon değerlerini hesaplayıp toplamak.

(f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(2) = 3(2) + 4 = 10

,

(g \circ h)(2) = g(h(2)) = g(2) = 2

,

(h \circ f)(3) = h(f(3)) = f(3) = 3(3) + 4 = 13

. Toplam:

10 + 2 + 13 = 25

bulunur.

Bileşke fonksiyon kurallarını uygulayarak sonuca ulaşmak.

Key Concept

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların tanımları, özellikleri ve cebirsel olarak modellenmesi.

Question 46Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & x < 5 \\ 3x - 7, & x \ge 5 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f(f(3))$ ifadesinin değeri ka��tır?

-1

17

20

21

71

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

İfadenin doğru değeri 20'dir.

Verilen parçalı fonksiyonda f(3) değeri için 3 < 5 olduğundan üstteki kural uygulanır ve 9 elde edilir. f(f(3)) yani f(9) değeri için ise 9 >= 5 olduğundan alttaki kural uygulanır ve 20 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İçteki fonksiyon değeri olan f(3) hesaplanır.

f(3) = 9

3 < 5 olduğundan f(x) = 2x + 3 dalı kullanılır: 2(3) + 3 = 9.

2

Bulunan değer dıştaki fonksiyona yazılıp f(9) hesaplan��r.

f(9) = 20

9 >= 5 olduğundan f(x) = 3x - 7 dalı kullanılır: 3(9) - 7 = 20.

Key Concept

Parçalı fonksiyonlarda girdinin değerine göre uygun dalın seçilerek değer bulma işleminin yapılması.

Estimated Time:1m 30s

Question 47Question →

$\mathbb{N}$ doğal sayılar, $\mathbb{Z}$ tam sayılar ve $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi olmak üzere,

I. $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ , $f(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 + 1}$
II. $g: \mathbb{R} \setminus \{1\} \rightarrow \mathbb{R}$ , $g(x) = \frac{x + 1}{|x| - 1}$
III. $h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ , $h(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + 1$

bağıntıları veriliyor.

Buna göre, yukarıda verilen bağıntılardan hangileri bir fonksiyon belirtir?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

II ve III

Show answer & explanation

Answer: Yalnız III

Answer

Yalnız III

Sadece üçüncü öncüldeki bağıntı, tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki benzersiz elemanlara eşler. Kareköklü ifade mutlak değer olarak dışarı çıkarıldığında tüm doğal sayı girdileri için sonuç da bir doğal sayı olur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci öncüldeki bağıntının incelenmesi

x = 2 \in \mathbb{Z}

seçildiğinde

f(2) = \frac{2^3 - 2}{2^2 + 1} = \frac{6}{5} \notin \mathbb{Z}

elde edilir.

Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü değer kümesinde (tam sayılarda) bulunmalıdır. Ancak

x=2

için elde edilen değer tam sayı olmadığından bu bağıntı fonksiyon olamaz.

2

İkinci öncüldeki bağıntının incelenmesi

Paydayı sıfır yapan değerler

|x| - 1 = 0 \implies x = 1

veya

x = -1

olarak bulunur.

Tanım kümesi olan

\mathbb{R} \setminus \{1\}

kümesinde

x = -1

elemanı yer almaktadır. Bu değer için fonksiyon tanımsız olacağından tanım kümesindeki bir eleman açıkta kalır ve bağıntı fonksiyon belirtmez.

3

Üçüncü öncüldeki bağıntının incelenmesi

h(x) = \sqrt{(x-2)^2} + 1 = |x - 2| + 1

elde edilir. Her

x \in \mathbb{N}

için

|x - 2| + 1 \in \mathbb{N}

olur.

Kareköklü çift dereceli terim mutlak değer içinde dışarı çıkar. Her doğal sayı girdisi için bu ifade tanımlıdır ve sonuç daima pozitif tam sayı olacağından değer kümesine (doğal sayılara) aittir. Bu bağıntı bir fonksiyondur.

Key Concept

Fonksiyon tanımı, tanım ve değer kümelerinin sınırları ile tanımsızlık durumları

Estimated Time:2m 0s

Question 48Question →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x \text{ tek sayı ise} \\ 2x + 3, & x \text{ çift sayı ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f(3) + f(4)$ toplamının değeri kaçtır?

16

19

20

23

24

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Fonksiyon değerlerinin toplamı 19'dur.

Doğru cevap olan 19 değerine ulaşmak için, 3 sayısının tek sayı olduğu belirlenip

x^2 - 1

kuralıyla

f(3) = 8

hesaplanır. Ardından, 4 sayısının çift sayı olduğu belirlenip

2x + 3

kuralıyla

f(4) = 11

hesaplanır. Bu iki değerin toplamı

8 + 11 = 19

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

3 sayısının tek veya çift olma durumunu inceleyip uygun fonksiyon kuralını seçerek

f(3)

değerini hesaplamak.

f(3) = 8

3 bir tek sayı olduğundan parçalı fonksiyonun ilk kuralı olan

f(x) = x^2 - 1

kullanılır. Buradan

f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8

elde edilir.

2

4 sayısının tek veya çift olma durumunu inceleyip uygun fonksiyon kuralını seçerek

f(4)

değerini hesaplamak.

f(4) = 11

4 bir çift sayı olduğundan parçalı fonksiyonun ikinci kuralı olan

f(x) = 2x + 3

kullanılır. Buradan

f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11

elde edilir.

3

Elde edilen

f(3)

ve

f(4)

değerlerini toplamak.

8 + 11 = 19

Soruda bizden

f(3) + f(4)

toplamı istendiği için bulunan değerler toplanır.

Key Concept

Parçalı fonksiyonlarda, girdi değerinin tanım aralıklarından veya koşullarından hangisini sağladığı belirlenmeli ve sadece o koşula ait olan kural uygulanmalıdır.

Estimated Time:50s

Question 49Question →

Tanım kümeleri gerçel sayılar olan $f$ doğrusal, $g$ sabit ve $h$ birim fonksiyonları için

f(h(x)) - g(x) = 3x - 5

h(g(x)) + f(g(1)) = 35

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $f(g(2)) - g(f(2))$ ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Fonksiyonların kuralları belirlendikten sonra yapılan işlemlerle f(g(2)) - g(f(2)) ifadesinin değeri 19 olarak bulunur.

Birim fonksiyon

h(x)=x

, sabit fonksiyon

g(x)=c

ve doğrusal fonksiyon

f(x)=px+q

özellikleri kullanılarak oluşturulan denklem sisteminde

p=3

,

q=3

ve

c=8

değerleri bulunur. Buradan

f(x)=3x+3

ve

g(x)=8

kurallarına ulaşılır. İstenen

f(g(2)) - g(f(2))

ifadesinde

f(8) - g(f(2)) = 27 - 8 = 19

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların genel gösterimleri belirlenir.

h(x) = x

,

g(x) = c

ve

f(x) = px + q

Fonksiyon türlerinin tanımları gereği bu formüller geçerlidir.

2

Birinci eşitlik kullanılarak katsayılar ve sabitler karşılaştırılır.

p = 3

ve

c = q + 5

f(h(x)) - g(x) = 3x - 5

ifadesi

(px + q) - c = 3x - 5

biçimine dönüşür ve polinom eşitliği uygulanır.

3

İkinci eşitlik yardımıyla bilinmeyen parametreler çözülür.

q = 3

ve

c = 8

h(g(x)) + f(g(1)) = 35 \implies c + (3c + q) = 35

denkleminde

c = q + 5

yerine konularak çözüm yapılır.

4

Elde edilen

f(x) = 3x + 3

ve

g(x) = 8

kuralları ile istenen değer hesaplanır.

f(g(2)) - g(f(2)) = 19

f(g(2)) = f(8) = 27

ve

g(f(2)) = 8

değerleri farkı alınarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların cebirsel tanımları ve bileşke işlemleriyle ilişkileri

Question 50Question →

Tanımlı olduğu aralıkta bir

f

fonksiyonu için

f(2x + 3) = x^2 - 3x + 4

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $f(7)$ değeri kaçtır?

32

14

2

6

-6

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Fonksiyonun değeri 2 olarak bulunur.

Doğru değer olan 2'yi bulmak için fonksiyonun girdisi olan

2x + 3

ifadesi 7'ye eşitlenir. Buradan

x = 2

elde edilir. Fonksiyonun kuralında

x

yerine 2 yazıldığında

f(7) = 2^2 - 3(2) + 4 = 4 - 6 + 4 = 2

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Girdiyi eşitleme

2x + 3 = 7

denkleminden

x = 2

bulunur.

f(7)

değerini elde etmek için fonksiyonun içindeki ifadenin

7

olması gerekir.

2

Değişkeni yerine yazma

x = 2

değeri kuralda yerine yazıldığında

f(7) = 2^2 - 3(2) + 4

elde edilir.

x

değerinin fonksiyondaki karşılığını hesaplamak için.

3

Aritmetik hesaplama

4 - 6 + 4 = 2

bulunur.

İşlem önceliğine göre toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek için.

Key Concept

Fonksiyonlarda Değer Bulma

Estimated Time:1m 0s

Question 51Question →

Tanım ve değer kümeleriyle birlikte verilen aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tanımlı olduğu aralıklarda bire bir ve örtendir?

f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}

,

f(x) = 3x - 2

g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

,

g(x) = |x| + x

h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

,

h(x) = x + 2

k: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{0\}

,

k(x) = \frac{2}{x}

s: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

,

s(x) = x^2 + 1

Show answer & explanation

Answer: $k: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{0\}$ , $k(x) = \frac{2}{x}$

Answer

k: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{0\}

,

k(x) = \frac{2}{x}

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

Sıfırdan farklı gerçel sayılardan sıfırdan farklı gerçel sayılara tanımlı

x \mapsto \frac{2}{x}

fonksiyonunda, her

x

değeri için benzersiz bir görüntü oluşur (bire birlik) ve sıfır dışındaki tüm gerçel sayılar bir girdinin görüntüsü olarak elde edilebilir (örtenlik).

Step-by-Step Solution

1

Bire birlik tanımını her seçenek için kontrol etme

Tanım kümesindeki farklı her elemanın görüntüsünün de farklı olması gerekir.

k(x) = \frac{2}{x}

için

k(x_1) = k(x_2) \implies \frac{2}{x_1} = \frac{2}{x_2} \implies x_1 = x_2

olduğundan bire birdir.

Bir fonksiyonun bire bir olup olmadığını belirlemek için farklı girdilerin farklı çıktılar verdiğini doğrulamalıyız.

2

Örtenlik tanımını her seçenek için kontrol etme

Değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.

k(x) = \frac{2}{x}

fonksiyonunda değer kümesinden seçilen her

y \neq 0

için tanım kümesinde

x = \frac{2}{y} \neq 0

elemanı mevcuttur ve

k(x) = y

olur. Dolayısıyla örtendir.

Örtenliği kontrol etmek için değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı olduğunu göstermeliyiz.

Key Concept

Bire bir fonksiyonlarda tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşirken, örten fonksiyonlarda değer kümesinde eşleşmeyen eleman kalmaz.

Question 52Question →

Tanımlı oldukları aralıklarda $f(x) = 3x - 1$ ve $g(x) = x^2 - 3$ fonksiyonları veriliyor. Buna göre, $(2f + g)(3)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

İşlemler sonucunda elde edilen doğru cevap 22'dir.

Fonksiyonlarda dört işlem kuralları gereği,

(2f + g)(3)

ifadesi

2 \cdot f(3) + g(3)

değerine eşittir. Verilen fonksiyon tanımlarından

f(3) = 8

ve

g(3) = 6

olarak bulunur. Bu değerler yerine yazıldığında

2 \cdot 8 + 6 = 22

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

f(3)

değerinin hesaplanması

f(3) = 8

f(x) = 3x - 1

fonksiyonunda

x = 3

yazılarak

f

fonksiyonunun bu noktadaki değeri bulunur.

2

g(3)

değerinin hesaplanması

g(3) = 6

g(x) = x^2 - 3

fonksiyonunda

x = 3

yazılarak

g

fonksiyonunun bu noktadaki değeri bulunur.

3

(2f + g)(3)

ifadesinin açılması ve değerlerin yerine yazılması

(2f + g)(3) = 2 \cdot 8 + 6 = 22

Fonksiyonlarda toplama ve skalerle çarpma kurallarına göre

(2f + g)(3) = 2f(3) + g(3)

eşitliği kullanılır.

Key Concept

Fonksiyonlarda Dört İşlem

Question 53Question →

Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x) = \frac{\sqrt{a - |x - 3|}}{x^2 - 5x - 14}

fonksiyonunun tanım kümesinde tam olarak 8 tane tam sayı bulunmaktadır.

Buna göre, $a$ tam sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Fonksiyonun tanım kümesinde tam olarak 8 tane tam sayı bulunmasını sağlayan

a

tam sayısı 4'tür.

Doğru cevap olan 4 değeri, fonksiyonun tanımlı olduğu aralıktaki tam sayıların adedini tam olarak 8 yapar.

a=4

için kök içi koşulundan elde edilen

[-1, 7]

aralığındaki 9 tam sayıdan, paydayı sıfır yapan

x=7

değeri çıkarıldığında geriye tam olarak 8 tam sayı kalır.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun tanımlı olması için gerekli olan koşulları belirlemek.

a - |x - 3| \geq 0

ve

x^2 - 5x - 14 \neq 0

olmalıdır.

Çift dereceli köklü ifadelerin içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerde payda sıfır olamaz.

2

Paydayı sıfır yapan ve tanım kümesinden çıkarılması gereken

x

değerlerini bulmak.

x = 7

ve

x = -2

değerleri tanımsızlık yaratır.

x^2 - 5x - 14 = 0

denkleminin çarpanlarına ayrılmış hali

(x-7)(x+2) = 0

şeklindedir.

3

Kök içerisindeki eşitsizliği çözerek tanım aralığını

a

parametresine bağlı olarak yazmak.

3 - a \leq x \leq 3 + a

kapalı aralığı elde edilir.

|x-3| \leq a

eşitsizliği

-a \leq x-3 \leq a

şeklinde açılır ve her tarafa 3 eklenir.

4

Farklı

a

tam sayı değerleri için tanımsızlık noktalarını da hesaba katarak tanım kümesindeki tam sayı adedini analiz etmek.

a = 4

için aralık

[-1, 7]

olup tanımsız yapan

7

çıkarıldığında geriye 8 tam sayı kalır.

a=3

için aralık

[0, 6]

olur ve bu aralıkta tanımsız yapan değer olmadığından 7 tam sayı bulunur.

a=5

için aralık

[-2, 8]

olur ve tanımsız yapan

-2

ile

7

çıkarıldığında 9 tam sayı kalır. Dolayısıyla tam olarak 8 tam sayı sağlayan değer

a = 4

'tür.

Key Concept

Fonksiyonlarda Tanım Kümesi ve Tanımsızlık Koşulları

Question 54Question →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f$ birim fonksiyon, $g$ sabit fonksiyon ve $h$ doğrusal fonksiyondur.

Her

x

gerçek sayısı için,

h(f(x) + g(x)) = 3x - 6

h(f(2)) - g(h(1)) = 4

eşitlikleri sağlandığına göre,

h(g(3)) + f(h(-2))

toplamı kaçtır?

-15

5

-12

0

-5

Show answer & explanation

Answer: -15

Answer

Doğru cevap

-15

değeridir.

Doğru cevap olan seçenekteki değer, birim fonksiyonun

f(x)=x

, sabit fonksiyonun

g(x)=c

ve doğrusal fonksiyonun

h(x)=3x-3

kuralları doğru bir şekilde belirlenip yerine yazılmasıyla elde edilen

-15

değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonların genel ifadelerini belirlemek.

f(x) = x

(birim fonksiyon),

g(x) = c

(

c

bir gerçek sayı olmak üzere sabit fonksiyon) ve

h(x) = ax + b

(

a

ve

b

birer gerçek sayı ve

a \neq 0

olmak üzere doğrusal fonksiyon).

Soruda verilen fonksiyon türlerinin matematiksel tanımlarını cebirsel olarak ifade etmek gerekir.

2

Birinci eşitliği kullanarak doğrusal fonksiyonun katsayılarını ilişkilendirmek.

h(f(x) + g(x)) = h(x + c) = a(x + c) + b = ax + ac + b

elde edilir. Bu ifade

3x - 6

ifadesine eşit olduğundan,

a = 3

ve

3c + b = -6

denklemleri bulunur.

Polinomların/fonksiyonların eşitliği ilkesine göre aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.

3

İkinci eşitliği kullanarak ikinci bir denklem elde etmek ve katsayıları çözmek.

h(f(2)) - g(h(1)) = h(2) - c = (3(2) + b) - c = 6 + b - c = 4

olduğundan,

b - c = -2

elde edilir. Elde edilen

3c + b = -6

ve

b - c = -2

denklemleri ortak çözüldüğünde

c = -1

ve

b = -3

bulunur. Böylece

g(x) = -1

ve

h(x) = 3x - 3

olarak elde edilir.

Birim fonksiyon

f(2)=2

değerini verir, sabit fonksiyon ise her girdi için

c

değerini üretir. İki bilinmeyenli denklem sistemi çözülerek bilinmeyen parametreler bulunur.

4

İstenen ifadenin değerini hesaplamak.

g(3) = -1

olduğundan

h(g(3)) = h(-1) = 3(-1) - 3 = -6

olur.

h(-2) = 3(-2) - 3 = -9

olup

f(h(-2)) = f(-9) = -9

bulunur. Bu iki değer toplandığında

-6 + (-9) = -15

elde edilir.

Bulunan fonksiyon kuralları kullanılarak istenen bileşke ve değerlerin toplamı hesaplanır.

Key Concept

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların tanımları ve bu tanımların bileşke işlemleriyle birlikte cebirsel olarak uygulanması.

Alternative Method

Denklem sistemi kurmadan önce

x=2

yazarak

h(f(2)+g(2)) = h(2+c)

ifadesinin

3(2)-6=0

olduğunu görebiliriz. Buradan doğrusal fonksiyonun kökünün

2+c

olduğunu saptayıp çözümü pratikleştirebiliriz.

Estimated Time:2m 30s

Question 55Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ doğrusal fonksiyon, $g$ sabit fonksiyon ve $h$ birim fonksiyondur.

Her

x

gerçek sayısı i��in,

f(x) + g(x) = 3x + 7

(f \circ h)(g(1)) = 13

olduğuna göre, $f(g(5)) + h(g(2))$ toplamının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İstenen toplamın değeri 16'dır.

Birim fonksiyon tanımından

h(3) = 3

, sabit fonksiyon tanımından

g(5) = 3

ve katsayı eşitlemelerinden elde edilen

f(x) = 3x + 4

kuralı kullanılarak

f(3) = 13

bulunur. Bu iki değer toplandığında doğru sonuç 16 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların genel tanımlarını yazmak.

h(x) = x

,

g(x) = c

ve

f(x) = ax + b

olarak belirlendi.

Fonksiyonların türlerine göre cebirsel ifadelerini oluşturmak için.

2

f(x) + g(x) = 3x + 7

eşitliğini kullanarak katsayıları eşitlemek.

a = 3

ve

b + c = 7

elde edildi.

İki polinomun eşitliği ilkesini uygulamak için.

3

(f \circ h)(g(1)) = 13

eşitliğini düzenlemek.

f(c) = 13 \implies 3c + b = 13

elde edildi.

Bileşke fonksiyon bileşenlerini ve sabit fonksiyon değerini yerine koymak için.

4

b + c = 7

ve

3c + b = 13

denklem sistemini çözmek.

c = 3

ve

b = 4

bulundu. Dolayısıyla

f(x) = 3x + 4

ve

g(x) = 3

oldu.

Bilinmeyen katsayıları bulup fonksiyonların kurallarını tam olarak belirlemek için.

5

f(g(5)) + h(g(2))

ifadesinin değerini hesaplamak.

f(3) + h(3) = 13 + 3 = 16

bulundu.

Bulunan fonksiyon kurallarını kullanarak istenen bileşke ve değer işlemlerini yapmak için.

Key Concept

Birim, sabit ve doğrusal fonksiyonların tanımları ve bu tanımların cebirsel denklemlerde uygulanması.

Question 56Question →

Gerçel sayılar kümesinin en geniş

K

alt kümesinde tanımlı bir

f

fonksiyonu

f(x) = \sqrt{\frac{5 - |x - 1|}{|x - 1| - 2}}

kuralıyla veriliyor.
Buna göre,

f

fonksiyonunun tanım kümesi olan

K

kümesindeki tüm tam sayıların toplamı kaçtır?

3

4

6

8

9

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Tam sayıların toplamı 6'dır.

Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. Bu şartlar

\frac{5 - |x - 1|}{|x - 1| - 2} \geq 0

eşitsizliğini doğurur. Eşitsizlik çözüldüğünde en geniş tanım kümesi

[-4, -1) \cup (3, 6]

olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar sırasıyla

-4, -3, -2, 4, 5, 6

olup, bu sayıların toplamı 6'dır.

Step-by-Step Solution

1

Çift dereceden köklü ifadenin tanım şartını belirleme

\frac{5 - |x - 1|}{|x - 1| - 2} \geq 0

Kökün derecesi çift (2) olduğundan, fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.

2

Paydanın sıfır olmama şartını belirleme

|x - 1| - 2 \neq 0 \implies |x - 1| \neq 2 \implies x \neq 3 \text{ ve } x \neq -1

Rasyonel bir ifadenin tanımlı olabilmesi için paydanın sıfır olmaması gerekir.

3

Değişken değiştirme yöntemiyle eşitsizliği basitleştirme ve çözme

u = |x - 1| \geq 0 \implies \frac{5 - u}{u - 2} \geq 0 \implies 2 < u \leq 5

Mutlak değerli ifadeye

u

diyerek rasyonel eşitsizliğin köklerini bulup işaret tablosu yardımıyla çözüm aralığını belirleriz. Paydayı sıfır yapan

u = 2

değeri çözüme dahil edilemezken, payı sıfır yapan

u = 5

değeri dahil edilebilir.

4

Bulunan aralığı mutlak değerli eşitsizlik olarak çözme

2 < |x - 1| \leq 5 \implies 3 < x \leq 6 \text{ veya } -4 \leq x < -1

Mutlak değerli eşitsizlik

2 < |x - 1| \leq 5

şeklinde iki parçaya ayrılarak çözülür. Buradan tanım kümesi

K = [-4, -1) \cup (3, 6]

olarak elde edilir.

5

Tanım kümesindeki tam sayıları bulup toplama

\{-4, -3, -2, 4, 5, 6\} \implies (-4) + (-3) + (-2) + 4 + 5 + 6 = 6

Elde edilen aralıklardaki tam sayılar tek tek belirlenir ve toplanarak sonuç bulunur.

Key Concept

Köklü ve Rasyonel İfadelerin Tanım Kümeleri ile Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Çözümü

Question 57Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları

f(x) = 3x + 1

g(x) = 2x - 5

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $(f \circ g)(4)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İşlemler sonucunda (f o g)(4) değeri 10 olarak bulunur.

Bileşke fonksiyon tanımına göre (f o g)(4) ifadesi f(g(4)) şeklinde yazılır. g(4) değeri 3 olarak bulunduktan sonra f(3) değeri hesaplanır ve sonuç 10 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

g(4) değerinin hesaplanması

g(4) = 3

Bileşke fonksiyon tanımı gereği (f o g)(4) = f(g(4)) olduğundan, öncelikle en içteki g(4) değeri hesaplanır.

2

f(3) değerinin hesaplanması

f(3) = 10

g(4) = 3 değeri f fonksiyonunda yerine yazılarak bileşke işleminin sonucu elde edilir.

Key Concept

Bileşke fonksiyon işleminde sağdaki fonksiyonun görüntüsü soldaki fonksiyonun girdisi olur.

Estimated Time:1m 0s

Question 58Question →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir

f

fonksiyonu

f(x) = -3x

biçiminde tanımlanıyor.

a

ve

b

sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere,

ab

ve

ba

iki basamaklı doğal sayılardır.

f(ab) + f(ba) > -198

olduğuna göre, bu eşitsizliği sağlayan en büyük

a+b

toplamı kaçtır?

5

7

32

33

1

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

En büyük

a+b

toplamı 5 olmalıdır.

Verilen fonksiyon tanımına göre iki basamaklı sayıların çözümlenmiş halleri fonksiyonda yerine yazıldığında

-33(a+b) > -198

eşitsizliği elde edilir. Negatif sayıya bölme kuralı gereğince yön değiştirilerek

a+b < 6

sonucuna ulaşılır.

a

ve

b

sıfırdan farklı rakamlar olduğundan bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı değeri 5'tir.

Step-by-Step Solution

1

İki basamaklı sayıları çözümleme

ab = 10a + b

ve

ba = 10b + a

Fonksiyon girdilerini basamak değerlerine göre ifade etmek için.

2

Fonksiyon değerlerini hesaplama

f(ab) = -3(10a + b) = -30a - 3b

ve

f(ba) = -3(10b + a) = -30b - 3a

f(x) = -3x

kuralına göre girdileri yerine yazmak için.

3

Fonksiyon de��erlerini toplama ve sadeleştirme

f(ab) + f(ba) = -33(a + b)

Verilen eşitsizlikteki sol tarafı tek bir terim haline getirmek için.

4

Eşitsizliği çözme

-33(a+b) > -198 \implies a+b < 6

Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıya bölerken yönü tersine çevirmek için.

5

Kısıtlamalara göre en büyük değeri belirleme

a+b

en çok 5 olabilir.

a

ve

b

rakam olduğu için

a+b

toplamı tam sayı olmalıdır ve 6'dan küçük en büyük tam sayı 5'tir.

Key Concept

Fonksiyonlarda değer bulma işlemi yapılırken değişken yerine cebirsel ifadelerin yazılması ve iki basamaklı sayıların çözümlenmesi.

Alternative Method

Fonksiyonda doğrudan

a

ve

b

yerine uygun rakamlar seçilip denenerek de eşitsizlik kontrol edilebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 59Question →

$\mathbb{R}$ 'den $\mathbb{R}$ 'ye tanımlı $f$ çift ve $g$ tek fonksiyondur.

Her

x

gerçel sayısı için,

(x+2) \cdot f(x) + g(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 5x - 6

eşitliği sağlandığına göre,

f(2) + g(2)

toplamının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

27

Verilen denklemde sırasıyla

x = -2

ve

x = 2

değerleri yazılarak elde edilen

g(-2) = -28

ve

4f(2) + g(2) = 24

eşitlikleri kullanılır.

g

tek fonksiyon olduğundan

g(2) = 28

olur. Bu değer yerine yazıldığında

f(2) = -1

bulunur. İkisinin toplamı ise

27

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen eşitlikte

x = -2

yazılır.

g(-2) = -28

elde edilir.

f(-2)

teriminin katsayısını sıfırlayarak doğrudan

g

fonksiyonuna bağlı bir değer elde etmek için

x = -2

seçilir.

2

g

fonksiyonunun tek fonksiyon olma özelliğini kullanmak.

g(2) = 28

bulunur.

Tek fonksiyonlar için

g(-x) = -g(x)

kuralı geçerlidir.

3

Verilen eşitlikte

x = 2

yazılır.

4 \cdot f(2) + g(2) = 24

elde edilir.

f(2)

değerine ulaşmak amacıyla denklemde

x = 2

yazarak yeni bir eşitlik oluşturulur.

4

Bulunan

g(2) = 28

değeri eşitlikte yerine yazılarak

f(2)

hesaplanır.

f(2) = -1

bulunur.

İki bilinmeyenli denklemde bilinen değeri yerine koyarak diğer bilinmeyeni elde etmek için.

5

f(2) + g(2)

toplamı hesaplanır.

f(2) + g(2) = -1 + 28 = 27

olarak bulunur.

Soruda bizden istenen toplam değerine ulaşmak için.

Key Concept

Tek ve çift fonksiyonların tanımı ve simetri özellikleri (

f(-x) = f(x)

ve

g(-x) = -g(x)

).

Question 60Question →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan

f

sabit,

g

birim ve

h

doğrusal fonksiyonları her

x

gerçel sayısı için,

h(x) - f(x) = g(2x + 5)

h(f(3)) = 17

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(8) + h(1)$ toplamının değeri kaçtır?

7

11

19

15

23

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

15

Birim fonksiyon tanımından

g(2x+5)=2x+5

yazılır. Sabit fonksiyon tanımından

f(x)=c

kabul edilirse ilk denklem

h(x) = 2x + c + 5

biçiminde bir doğrusal fonksiyon belirtir. İkinci denklemde

f(3)=c

olacağından

h(c)=17

eşitliği kurulur. Buradan

2c+c+5=17 \implies 3c=12 \implies c=4

elde edilir. Bu durumda

f(8)=4

ve

h(1)=2(1)+4+5=11

bulunur. İstenen toplamın değeri 15 olur.

Step-by-Step Solution

1

Birim fonksiyonun tanımı eşitliğe uygulanır.

g(2x + 5) = 2x + 5

olur.

g

birim fonksiyon olduğundan her girdi kendisiyle eşleşir.

2

Sabit fonksiyon tanımı kullanılarak doğrusal fonksiyon yalnız bırakılır.

f(x) = c

(sabit) alınırsa,

h(x) - c = 2x + 5 \implies h(x) = 2x + c + 5

olur.

f

sabit fonksiyon olduğundan her gerçel sayıyı aynı sabit

c

değerine götürür.

3

İkinci denklem kullanılarak sabit

c

değeri çözülür.

h(f(3)) = h(c) = 17

olur. Doğrusal fonksiyonda

x = c

yazılırsa,

2c + c + 5 = 17 \implies 3c = 12 \implies c = 4

bulunur.

f(3) = c

olduğundan bileşke işleminde içteki değer yerine yazılır.

4

Elde edilen fonksiyon kuralında istenen değerler yerine yazılıp toplanır.

f(8) = 4

ve

h(1) = 2(1) + 9 = 11

olup

f(8) + h(1) = 4 + 11 = 15

elde edilir.

c = 4

değeri doğrultusunda fonksiyon kuralları

f(x) = 4

ve

h(x) = 2x + 9

olarak netleşir.

Key Concept

Birim, Sabit ve Doğrusal Fonksiyonların Tanımları

Estimated Time:2m 0s

Fonksiyonlar

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer