Kümeler ve Mantık Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 8

Pozitif tam sayılar kümesinde $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

A = \{x \mid 10 < x < 50, \ x = 3k, \ k \in \mathbb{Z}^+\}

B = \{x \mid 15 \le x \le 75, \ x = 4m, \ m \in \mathbb{Z}^+\}

Buna göre, $A \cup B$ kümesinin elemanlarından kaç tanesi çift sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Birleşim kümesindeki çift sayı olan eleman sayısı 19'dur.

A ve B kümelerinin çift elemanlarının birleşimi bulunurken, her iki kümedeki çift elemanların toplamından ortak olan kesişim kümesindeki elemanlar çıkarılır. A kümesindeki çift eleman sayısı 7, B kümesindeki (tamamı çift olan) eleman sayısı 15 ve kesişim kümesindeki eleman sayısı 3 olduğundan, toplam çift eleman sayısı 7 + 15 - 3 = 19 olur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesindeki çift elemanların sayıs��nı belirleme

A \cap E = \{12, 18, 24, 30, 36, 42, 48\}

olup

s(A \cap E) = 7

bulunur.

A kümesindeki elemanlar arasından çift olanları (yani hem 3'ün hem de 2'nin katı olan 6'nın katlarını) bulmamız gerekir.

2

B kümesinin eleman sayısını belirleme

B = \{16, 20, 24, \dots, 72\}

olup

s(B) = 15

bulunur.

B kümesinin elemanları 4'ün katı olduğundan tamamı çift sayıdır. Dolayısıyla B kümesinin eleman sayısı doğrudan çift eleman sayısıdır.

3

A ve B kümelerinin kesişim kümesinin eleman sayısını bulma

A \cap B = \{24, 36, 48\}

olup

s(A \cap B) = 3

bulunur.

Her iki kümede ortak bulunan elemanlar hem 3'ün hem de 4'ün katı (yani 12'nin katı) ve

15 \le x < 50

aralığında olmalıdır. Bu elemanlar her iki kümede de çift olduğu için iki kez sayılmamaları adına kesişim kümesini bulmalıyız.

4

Birleşim kümesindeki çift eleman sayısını hesaplama

s((A \cup B) \cap E) = s(A \cap E) + s(B) - s(A \cap B) = 7 + 15 - 3 = 19

bulunur.

Birleşim kümesinin eleman sayısı bulunurken iki kümenin eleman sayıları toplanıp kesişim kümesinin eleman sayısı çıkarılır.

Key Concept

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayısı özellikleri ve küme belirtme

Estimated Time:2m 0s

Question 142Question →

x ve y gerçel sayıları için

* $p: x < y$
* $q: x \\cdot y < 0$
* $r: x + y > 0$

önermeleri veriliyor.

$(p \\land q) \\Rightarrow r$ önermesi yanlış olduğuna göre, a��ağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

x^2 > y^2

x + y < 0

x^2 \\ge y^2

x - y > 0

y^2 > x^2

Show answer & explanation

Answer: $x^2 \\ge y^2$

Answer

Karesel ilişkide

x^2 \\ge y^2

eşitsizliği her zaman doğrudur.

Mantıksal çözümlemeden elde edilen

x < 0

,

y > 0

ve

x + y \\le 0

koşulları

y \\le -x

eşitsizliğini gerektirir. Her iki tarafın karesi alındığında karesel ilişkideki büyük veya eşit olma durumu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini çözümleme

p \\land q \\equiv 1

ve

r \\equiv 0

elde edilir.

İse bağlacının yanlış (0) çıkması için hipotezin doğru, hükmün yanlış olması gerekir.

2

Bileşen önermelerin doğruluk değerlerini belirleme

x < 0

ve

y > 0

bulunur.

p \\land q \\equiv 1

olduğundan

p \\equiv 1

ve

q \\equiv 1

olmalıdır. Buradan

x < y

ve

x \\cdot y < 0

elde edilir, bu da zıt işaretli olmalarını gerektirir.

3

Bulunan koşulları birleştirerek eşitsizliği çözme

x^2 \\ge y^2

eşitsizliğine ulaşılır.

r \\equiv 0

olduğundan

x + y \\le 0 \\implies y \\le -x

olur.

y > 0

ve

-x > 0

olduğundan her iki tarafın karesi alındığında

y^2 \\le x^2

yani

x^2 \\ge y^2

elde edilir.

Key Concept

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri ve mantıksal bağlaçların gerçel sayı eşitsizlikleriyle ilişkisi

Question 143Question →

a, b

ve

c

birer tam sayı olmak üzere,

\begin{aligned} p&: a + b \text{ toplamı çift sayıdır.} \\ q&: b + c \text{ toplamı tek sayıdır.} \\ r&: a \cdot c \text{ çarpımı tek sayıdır.} \end{aligned}

önermeleri veriliyor.

$(p \land q) \Rightarrow r$ önermesi yanlış olduğuna göre,

I. $a + c$ toplamı tek sayıdır.
II. $b \cdot c$ çarpımı çift sayıdır.
III. $a + b + c$ toplamı çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II

Verilen koşullu önermenin yanlış olması için ön bileşenin doğru, art bileşenin ise yanlış olması gerekir. Buradan

p \equiv 1

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

elde edilir.

a+b

çift olduğundan

a

ve

b

aynı karakterdedir.

b+c

tek olduğundan

b

ve

c

zıt karakterdedir. Dolayısıyla

a

ve

c

de zıt karakterde olur. Bu durumda, zıt karakterdeki iki tam sayının toplamı her zaman tek, biri çift olmak zorunda olduğundan çarpımları her zaman çift olur. Dolayısıyla birinci ve ikinci ifadeler her zaman doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Koşullu önermenin doğruluk değerini analiz etme

p \equiv 1

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

(p \land q) \Rightarrow r \equiv 0

ise ise bağlacının özelliğinden dolayı hipotez doğru (

p \land q \equiv 1

), hüküm yanlı�� (

r \equiv 0

) olmalıdır.

p \land q \equiv 1

ise hem

p \equiv 1

hem de

q \equiv 1

olmalıdır.

2

Önermelerin doğruluk değerlerine g��re sayıların teklik-çiftlik durumlarını belirleme

a

ile

b

aynı teklik-çiftlik karakterine sahip,

c

ise bunlardan farklı karakterdedir.

p \equiv 1

olduğundan

a+b

çifttir, yani

a

ve

b

aynı karakterdedir (ikisi de çift veya ikisi de tek).

q \equiv 1

olduğundan

b+c

tektir, yani

b

ve

c

zıt karakterdedir. Bu durumda

a

ile

c

de zıt karakterde olur.

r \equiv 0

olduğundan

a \cdot c

çift sayıdır, bu da

a

ve

c

'den en az birinin çift olduğunu gösterir ki zıt karakterde oldukları için bu durum her zaman sağlanır.

3

Öncülleri teker teker değerlendirme

I. ve II. ifadeler her zaman doğrudur, III. ifade ise her zaman doğru değildir.

I.

a

ve

c

zıt karakterde olduğundan toplamları (

a+c

) her zaman tektir (Doğru). II.

b

ve

c

zıt karakterde olduğundan biri kesinlikle çift sayıdır, dolayısıyla çarpımları (

b \cdot c

) her zaman çifttir (Doğru). III.

a

ve

b

çift,

c

tek ise toplam tek olur;

a

ve

b

tek,

c

çift ise toplam çift olur, dolayısıyla her zaman doğru değildir.

Key Concept

Koşullu önermenin doğruluk değeri ve tam sayıların teklik-çiftlik durumları ile ilişkilendirilmesi

Estimated Time:2m 0s

Question 144Question →

Bir yaz kampındaki öğrencilerin tamamı Robotik ( $R$ ), Model Uçak ( $M$ ) ve Satranç ( $S$ ) kulüplerinden en az birine üyedir. Bu kulüplerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Robotik kulübüne üye olan öğrenci sayısı 40'tır.
* Model Uçak kulübüne üye olan öğrencilerin tamamı aynı zamanda Robotik kulübüne de üyedir.
* Satranç kulübüne üye olan öğrencilerin hiçbirisi Model Uçak kulübüne üye değildir.
* Sadece Robotik kulübüne üye olan öğrencilerin sayısı, sadece Satranç kulübüne üye olan öğrencilerin sayısının 2 katıdır.
* Hem Robotik hem de Satranç kulübüne üye olan öğrencilerin sayısı 12'dir.
* Model Uçak kulübüne üye olan öğrenci sayısı 6'dır.

Buna göre, bu yaz kampındaki toplam öğrenci sayısı kaçtır?

45

51

54

57

63

Show answer & explanation

Answer: 51

Answer

Toplam öğrenci sayısı 51'dir.

Doğru yanıt 51'dir. Model Uçak kulübünün Robotik kulübünün alt kümesi olduğu ve Satranç kulübü ile kesişiminin olmadığı göz önüne alındığında, Robotik kümesinin eleman sayısı sadece Robotik olanlar, Model Uçak olanlar ve Robotik ile Satranç'ın kesişimi olanların toplamına eşittir. Buradan sadece Satranç oynayanların sayısı 11 olarak bulunur. Toplam öğrenci sayısı ise Robotik kümesi ile sadece Satranç oynayanların toplamı olan 51'e eşittir.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin birbirleriyle olan ilişkilerini belirlemek ve şematik yapıyı kurmak.

M \subseteq R

ve

S \cap M = \emptyset

olduğu belirlenir.

Model Uçak (

M

) kulübüne üye olanların tamamı aynı zamanda Robotik (

R

) kulübünde olduğundan

M

,

R

'nin bir alt kümesidir. Satranç (

S

) ile Model U��ak (

M

) kulübünün ortak üyesi bulunmadığı için bu iki küme ayrıktır.

2

Bölgelerin eleman sayılarını değişkenler cinsinden yazmak ve

R

kümesinin eleman sayısı üzerinden denklem kurmak.

s(R) = \text{Sadece Robotik} + s(M) + s(R \cap S) \implies 40 = 2y + 6 + 12

denklemi elde edilir.

Sadece Satranç kulübüne üye olanların sayısına

y

dersek, sadece Robotik kulübüne üye olanların sayısı

2y

olur.

M \subseteq R

ve

S \cap M = \emptyset

olduğu için

R

kümesi; sadece Robotik olanlar, Model Uçak üyeleri (

M

) ve Robotik ile Satranç'ın kesişimi (

R \cap S

) şeklinde üç ayrık bölgeden oluşur.

3

Denklemi çözerek sadece Satranç kulübüne üye olan öğrenci sayısını bulmak.

2y + 18 = 40 \implies 2y = 22 \implies y = 11

bulunur.

Kurulan denklem çözülerek sadece Satranç kulübüne üye olan öğrenci sayısı (

y

) elde edilir.

4

Yaz kampındaki toplam öğrenci sayısını hesaplamak.

T = s(R \cup S) = s(R) + s(S \setminus R) = 40 + 11 = 51

bulunur.

Kampın tamamı

R \cup M \cup S

kümesidir.

M \subseteq R

olduğundan bu birleşim

R \cup S

kümesine eşittir. Birleşim kümesinin toplam eleman sayısı,

R

kümesinin tamamı ile sadece Satranç kulübünde olanların (

S \setminus R

) toplamına eşittir.

Key Concept

Kümelerde kesişim, birleşim ve alt küme ilişkilerini kullanarak eleman sayısı hesaplama.

Alternative Method

Venn şeması çizilerek eleman sayıları bölgelere doğrudan yerleştirilebilir. Robotik dairesi içerisine çizilen Model Uçak dairesine 6 yazılır. Robotik ve Satranç kesişimine 12 yazılır. Sadece Satranç bölgesine y yazıldığında, sadece Robotik bölgesi 2y olur. Robotik dairesinin toplamı 2y + 6 + 12 = 40 eşitliğinden y = 11 bulunur. Şemadaki tüm bölgeler toplandığında 22 + 6 + 12 + 11 = 51 sonucuna doğrudan ulaşılır.

Estimated Time:2m 0s

Question 145Question →

$A$ , $B$ ve $C$ boş kümeden farklı birer küme olmak üzere, bu kümelerin eleman sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* $A$ , $B$ ve $C$ kümelerinin birleşimi $46$ elemanlıdır.
* $A$ , $B$ ve $C$ kümelerinden yalnız birine ait olan elemanların toplam sayısı $30$ 'dur.
* Kümelerin ikişerli kesişimlerinin eleman sayıları birbirine eşit olup, her biri üç kümenin ortak kesişim kümesinin eleman sayısının $2$ katıdır.

Buna göre, $(A \cap B) \cup (B \cap C)$ kümesinin eleman sayısı kaçt��r?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

İstenen

(A \cap B) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısı 12'dir.

(A \cap B) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısı

s(A \cap B) + s(B \cap C) - s(A \cap B \cap C)

bağıntısı ile hesaplanır. Verilen eleman sayıları Venn şeması üzerinde yerleştirildiğinde birleşim kümesinin eleman sayısı

30 + 4x = 46

olur. Buradan

x = 4

bulunur. İstenen kümenin eleman sayısı olan

3x

ifadesinde

x = 4

yazıldığında doğru yanıt 12 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin kesişim bölgelerini değişkenlerle ifade etme

s(A \cap B \cap C) = x

iken sadece ikişerli kesişim bölgelerinin her birinin eleman sayısı

x

olarak bulunur.

İkişerli kesişimlerin her biri

2x

elemanlı olduğundan ve üçlü kesişimi (

x

) barındırdığından, sadece ikişerli kesişim bölgelerine

2x - x = x

eleman kalır.

2

Birleşim kümesinin eleman sayısı denklemini çözerek

x

değerini bulma

30 + 4x = 46 \implies x = 4

elde edilir.

Birleşim kümesindeki tüm ayrık bölgelerin toplamı birleşimin eleman sayısını verir.

3

İstenen

(A \cap B) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısını hesaplama

3x = 12

bulunur.

(A \cap B) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısı

s(A \cap B) + s(B \cap C) - s(A \cap B \cap C)

şeklinde ifade edilir ve bu da

2x + 2x - x = 3x

değerine eşittir.

Key Concept

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayısı hesaplamaları ile Venn şeması yardımıyla bölge analizi.

Question 146Question →

a, b

ve

c

sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

\begin{aligned} p&: a \cdot b < 0 \\ q&: a \cdot c > 0 \\ r&: b + c < 0 \end{aligned}

önermeleri veriliyor.

(p \Rightarrow q) \lor (q' \Rightarrow r)

önermesi yanlış olduğuna göre;

a, b

ve

c

sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

+, -, +

-, +, +

-, +, -

+, -, -

-, -, +

Show answer & explanation

Answer: -, +, +

Answer

Sırasıyla negatif, pozitif, pozitif

Bileşik önermenin doğruluk değerinin 0 olmasından hareketle

p \equiv 1

,

q \equiv 0

ve

r \equiv 0

olarak bulunur. Bu değerler

a

,

b

ve

c

sayılarının çarpım ve toplam özellikleri ile eşleştirildiğinde sırasıyla negatif, pozitif, pozitif işaretleri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini analiz etmek.

(p \Rightarrow q) \lor (q' \Rightarrow r) \equiv 0

olduğuna göre, veya bağlacının özelliğinden hem

p \Rightarrow q \equiv 0

hem de

q' \Rightarrow r \equiv 0

olmalıdır.

Veya (\lor) bağlacıyla bağlanan iki ifadenin sonucu yalnızca her iki bileşen de yanlış (0) olduğunda yanlış olur.

2

Bileşenlerden hareketle p, q ve r önermelerinin doğruluk değerlerini bulmak.

p \Rightarrow q \equiv 0

olduğundan ise (\Rightarrow) bağlacının kuralı gereği

p \equiv 1

ve

q \equiv 0

olmalıdır. Benzer şekilde,

q' \Rightarrow r \equiv 0

ifadesinden

q' \equiv 1

ve

r \equiv 0

bulunur (

q' \equiv 1

olması

q \equiv 0

olmasıyla tutarlıdır). Sonuç olarak

p \equiv 1

,

q \equiv 0

ve

r \equiv 0

doğruluk değerleri elde edilir.

İse (\Rightarrow) bağlacının sonucunun 0 olması, yalnızca birinci önermenin 1, ikinci önermenin 0 olması durumunda gerçekleşir.

3

Belirlenen doğruluk değerlerine göre a, b ve c sayılarının işaretlerini tespit etmek.

p \equiv 1

olduğundan

a \cdot b < 0

ifadesi doğrudur, yani

a

ve

b

zıt işaretlidir.

q \equiv 0

olduğundan

a \cdot c > 0

ifadesi yanlıştır; sayılar sıfırdan farklı olduğu için

a \cdot c < 0

olmalıdır, yani

a

ve

c

zıt işaretlidir.

a

sayısı hem

b

hem de

c

ile zıt işaretli olduğundan,

b

ve

c

aynı işaretli olmak zorundadır. Son olarak,

r \equiv 0

olduğundan

b + c < 0

ifadesi yanlıştır, yani

b + c \ge 0

olmalıdır.

b

ve

c

aynı işaretli ve sıfırdan farklı olduklarından toplamlarının negatif olmaması ancak her ikisinin de pozitif olmasıyla mümkündür (

b > 0, c > 0

).

b

pozitif olduğuna göre zıt işaretli olan

a

negatif olmalıdır (

a < 0

). Buradan işaretler sırasıyla

-, +, +

olarak bulunur.

Basit önermelerin doğruluk değerleri ve gerçel sayıların temel çarpma ve toplama özellikleri kullanılarak işaretler kesinleşir.

Key Concept

Koşullu önerme (ise bağlacı) ve veya bağlacının doğruluk değerlerinin gerçel sayılardaki işaret incelemesi ile ilişkilendirilmesi

Question 147Question →

Bir turizm acentesi ile seyahate çıkan 60 kişilik bir turist grubunun ziyaret ettiği bölgelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Her bir turist; Kapadokya ( $K$ ), Efes ( $E$ ) ve Pamukkale ( $P$ ) bölgelerinden en az birini ziyaret etmiştir.
* Kapadokya'yı ziyaret eden turistlerin tamamı Efes'i de ziyaret etmiştir.
* Bu üç bölgeyi de ziyaret eden turist bulunmamaktadır.
* Sadece Pamukkale'yi ziyaret edenlerin sayısı, bu üç bölgeden tam olarak ikisini ziyaret edenlerin toplam sayısına eşittir.
* Efes'i ziyaret eden turist sayısı, Pamukkale'yi ziyaret eden turist sayısından 12 fazladır.
* Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısı 9'dur.

Buna göre, yalnız Efes'i ziyaret eden turist sayısı kaçtır?

18

19

22

25

28

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Yalnız Efes'i ziyaret eden turist sayısı 22'dir.

Kapadokya, Efes kümesinin bir alt kümesidir (

K \subset E

) ve Kapadokya ile Pamukkale kümeleri ayrık kümelerdir (

K \cap P = \emptyset

). Sorudaki yönergeler doğrultusunda turistlerin dağılımı

k = 9

,

p = 9 + y

ve

e = p + 3

şeklinde yazılıp toplam turist sayısına eşitlendiğinde

p = 19

ve buradan yalnız Efes'i ziyaret edenlerin sayısı 22 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kümeler arasındaki alt küme ve kesişim ilişkilerini belirlemek.

Kapadokya'yı ziyaret edenlerin tamamı Efes'i de ziyaret ettiğinden

K \subset E

olur. Üç bölgeyi de ziyaret eden turist bulunmadığı için Kapadokya ile Pamukkale kümelerinin kesişimi boştur (

K \cap P = \emptyset

).

Soruda verilen sözel ifadeleri küme sembolleriyle ifade ederek bölgeleri sadeleştirmek gerekir.

2

Turist gruplarını Venn şeması bölgelerine göre harflendirmek ve denklemleri kurmak.

Yalnız Kapadokya ve Efes'e gidenler

k = 9

kişidir. Yalnız Efes'e gidenler

e

, Efes ve Pamukkale'ye gidenler

y

, yalnız Pamukkale'ye gidenler

p

olsun. Buradan;

k + e + y + p = 60 \implies 9 + e + y + p = 60 \implies e + y + p = 51

elde edilir. Tam iki bölgeyi ziyaret edenler

k + y = 9 + y

kişidir. O halde

p = 9 + y \implies y = p - 9

olur.

Turistlerin bölge dağ��lımlarını matematiksel olarak ifade ederek bilinmeyen sayısını azaltmak hedeflenir.

3

Efes ve Pamukkale'yi ziyaret edenlerin farkına dair denklemi kurup çözmek.

Efes'i ziyaret edenler

k + e + y

, Pamukkale'yi ziyaret edenler

y + p

kişidir. İki grubun farkı:

(9 + e + y) - (y + p) = 12 \implies 9 + e - p = 12 \implies e - p = 3 \implies e = p + 3

olur. Toplam denkleminde

e

ve

y

değerlerini

p

cinsinden yazarsak:

(p + 3) + (p - 9) + p = 51 \implies 3p - 6 = 51 \implies 3p = 57 \implies p = 19

bulunur. Buradan yalnız Efes'i ziyaret eden turist sayısı

e = 19 + 3 = 22

olarak elde edilir.

Elde edilen tek bilinmeyenli birinci dereceden denklem çözülerek istenen bölgedeki eleman sayısına ulaşılır.

Key Concept

Kümelerde kesişim, birleşim ve alt küme ilişkilerinin sözel problemler üzerinde denklem kurularak çözülmesi.

Question 148Question →

$x$ , $y$ ve $z$ birer tam sayı olmak üzere,

\begin{aligned} p&: x \cdot y \text{ çarpımı çift sayıdır.} \\ q&: y + z \text{ toplamı tek sayıdır.} \\\ r&: x + z \text{ toplamı çift sayıdır.} \end{aligned}

önermeleri veriliyor.

(p \land q) \Rightarrow r

önermesi yanlış olduğuna göre;

I. $x + y \cdot z$
II. $x \cdot z + y$
III. $x + y + z$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II ifadeleri her zaman çift sayıdır.

Koşullu önermenin yanlış olması, ise bağlacının solundaki ifadenin doğru, sağındaki ifadenin ise yanlış olmasını gerektirir. Bu durumdan yola çıkıldığında

x

ve

y

değişkenlerinin çift,

z

değişkeninin ise tek sayı olduğu sonucuna varılır. Bu değerler öncüllere uygulandığında birinci ve ikinci ifadelerin her zaman çift sayı ürettiği, üçüncü ifadenin ise tek sayı ürettiği gösterilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bileşik önermenin doğruluk değerini analiz etme.

p \equiv 1

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

bulunur.

(p \land q) \Rightarrow r \equiv 0

koşullu önermesinin yanlış olması için ise (

\Rightarrow

) bağlacının kuralı gereği önermenin sol tarafı (

p \land q

) doğru (1) ve sağ tarafı (

r

) yanlış (0) olmalıdır.

p \land q \equiv 1

ise hem

p

hem de

q

önermeleri doğru (1) olmalıdır.

2

Tam sayıların teklik-çiftlik durumlarını belirleme.

x

çift,

y

çift ve

z

tek sayı olarak bulunur.

r: x + z

toplamı çift sayıdır önermesi yanlış (

r \equiv 0

) olduğuna göre,

x + z

tek sayıdır. Bu durum

x

ve

z

'nin zıt paritede olduğunu gösterir.

q: y + z

toplamı tek sayıdır önermesi doğru (

q \equiv 1

) olduğuna göre,

y

ve

z

zıt paritededir. Buradan

x

ve

y

aynı paritede (her ikisi de tek veya her ikisi de ��ift) olmak zorundadır.

p: x \cdot y

çarpımı çift sayıdır önermesi doğru (

p \equiv 1

) olduğuna göre,

x

ve

y

'den en az biri çifttir.

x

ve

y

aynı paritede olduğundan her ikisi de çift sayı olmak zorundadır. Bu durumda

z

tek sayı olur.

3

Öncüllerdeki ifadelerin değerlerini inceleme.

I ve II. ifadelerin çift sayı olduğu görülür.

x \in \text{Ç}

,

y \in \text{Ç}

ve

z \in \text{T}

değerleri öncüllerde yerine yazılır:
I.

x + y \cdot z \rightarrow \text{Ç} + \text{Ç} \cdot \text{T} = \text{Ç} + \text{Ç} = \text{Ç}

(Her zaman çift).
II.

x \cdot z + y \rightarrow \text{Ç} \cdot \text{T} + \text{Ç} = \text{Ç} + \text{Ç} = \text{Ç}

(Her zaman çift).
III.

x + y + z \rightarrow \text{Ç} + \text{Ç} + \text{T} = \text{Ç} + \text{T} = \text{T}

(Her zaman tek).

Key Concept

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri ve tam sayıların teklik-çiftlik özellikleri.

Estimated Time:2m 0s

Question 149Question →

a

,

b

ve

c

birbirinden farklı pozitif tam sayılar olmak üzere,

\begin{aligned} a \cdot c &= 80 \\ a + b &= c \end{aligned}

eşitlikleri veriliyor.

$p$ : $a$ çift sayıdır.
$q$ : $b$ asal sayıdır.
$r$ : $c$ tek sayıdır.

önermeleri tanımlanıyor.

(p \Rightarrow q') \lor r

önermesi yanlış olduğuna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

18

20

24

32

42

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Sayıların toplamı 20'dir.

Bileşik önermenin yanlış (0) olabilmesi için r önermesinin yanlış (0), p => q' önermesinin ise yanlış (0) olması gerekir. Buradan r'nin yanlış olmasıyla c'nin çift, p'nin doğru olmasıyla a'nın çift, ve q'nun doğru olmasıyla b'nin asal sayı olduğu belirlenir. a + b = c denkleminde a ve c çift olduğundan b de çift olmak zorundadır. Çift olan tek asal sayı 2 olduğundan b = 2 olur. a.c = 80 ve c - a = 2 denklemleri birlikte çözüldüğünde a = 8 ve c = 10 bulunur. Sayıların toplamı ise 8 + 2 + 10 = 20 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bileşik önermenin doğruluk değerini inceleme.

(p \Rightarrow q') \lor r \equiv 0

olduğundan,

p \Rightarrow q' \equiv 0

ve

r \equiv 0

olmalıdır.

Veya (\lor) bağlacı ile bağlanan iki ifadenin sonucu yanlış (0) ise, her iki ifadenin de ayrı ayrı yanlış (0) olması gerekir.

2

Koşullu önermenin bileşenlerinin doğruluk değerlerini bulma.

p \Rightarrow q' \equiv 0

ise

p \equiv 1

ve

q' \equiv 0 \implies q \equiv 1

olur.

İse (\Rightarrow) bağlacının sonucunun yanlış (0) çıkması için tek durum birincinin doğru (1), ikincinin yanlış (0) olmasıdır.

3

Önermelerin doğruluk değerlerine göre sayı özelliklerini belirleme.

a

çift sayıdır,

b

asal sayıdır ve

c

çift sayıdır.

p \equiv 1

olduğundan

a

çift,

q \equiv 1

olduğundan

b

asal ve

r \equiv 0

olduğundan

c

çift (tek olmayan) sayı olmalıdır.

4

Sayılar arasındaki eşitlikten b değerini tespit etme.

a + b = c \implies b = c - a

olur. Çift sayıdan çift sayı çıkarıldığında sonuç çift olacağından

b

çift sayıdır.

b

hem çift hem de asal sayı olduğundan

b = 2

olur.

İki çift sayının farkı çift sayıdır ve tek çift asal sayı 2'dir.

5

Denklemleri çözerek a ve c sayılarını bulma ve toplamı hesaplama.

c - a = 2

ve

a \cdot c = 80

eşitliklerinden

a(a+2) = 80 \implies a = 8

ve

c = 10

bulunur.

a + b + c = 8 + 2 + 10 = 20

elde edilir.

Çarpımları 80 olan ve aralarındaki fark 2 olan pozitif tam sayılar 8 ve 10'dur.

Key Concept

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerinin bulunması ve sayı özellikleriyle ilişkilendirilmesi

Question 150Question →

Bir teknoloji şirketinde çalışan 92 yazılımcının tamamı Python veya Java dillerinden en az birini bilmektedir. Bu yazılımcılardan Python bilenlerin kümesi $P$ , Java bilenlerin kümesi $J$ ile gösterilmektedir.

Bu kümelerle ilgili,
* $s(P \setminus J) = 3 \cdot s(P \cap J)$
* $s(J \setminus P) = s(P \setminus J) + 8$

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, Java bilen yazılımcı sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 56

Answer

Java bilen yazılımcı sayısı 56'dır.

Kesişim kümesinin eleman sayısına

x

dediğimizde, sadece Python bilenlerin sayısı

3x

, sadece Java bilenlerin sayısı ise

3x+8

olur. Şirketteki tüm yazılımcıların kümesi bu üç ayrık bölgenin birleşimi olduğundan,

3x + x + 3x + 8 = 92

denklemini elde ederiz. Buradan

7x = 84

ve

x = 12

bulunur. Java bilenlerin sayısı ise sadece Java bilenler (

3x+8

) ile her iki dili de bilenlerin (

x

) toplamı, yani

4x+8

olur. Değeri yerine koyduğumuzda

4(12) + 8 = 56

sonucuna ulaşırız.

Step-by-Step Solution

1

Kesişim kümesinin eleman sayısını bir değişkenle ifade edin.

s(P \cap J) = x

olsun.

Diğer küme bölgelerinin eleman sayılarını bu değişken cinsinden yazabilmek için.

2

Verilen oranları kullanarak diğer bölgelerin eleman sayılarını

x

cinsinden belirleyin.

s(P \setminus J) = 3x

ve

s(J \setminus P) = 3x + 8

olur.

s(P \setminus J) = 3 \cdot s(P \cap J)

ve

s(J \setminus P) = s(P \setminus J) + 8

eşitliklerini uygulamak için.

3

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kullanarak

x

değerini bulun.

s(P \cup J) = s(P \setminus J) + s(P \cap J) + s(J \setminus P)

olduğundan,

92 = 3x + x + 3x + 8 \Rightarrow 92 = 7x + 8 \Rightarrow 7x = 84 \Rightarrow x = 12

bulunur.

Tüm yazılımcıların sayısı 92 olduğundan ve her yazılımcı en az bir dil bildiğinden, bu üç ayrık bölgenin toplamı 92'ye eşit olmalıdır.

4

Java bilen yazılımcı sayısını hesaplayın.

s(J) = s(J \setminus P) + s(P \cap J) = (3x + 8) + x = 4x + 8

olur.

x = 12

için

s(J) = 4(12) + 8 = 56

olarak bulunur.

Java bilen yazılımcılar, sadece Java bilenler ile her iki dili de bilenlerin toplamıdır.

Key Concept

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişki.

Estimated Time:2m 0s

Question 151Question →

a

ve

b

pozitif tam sayılar olmak üzere,

\begin{aligned} p&: a \text{ asal sayıdır.} \\ q&: a + b \text{ toplamı bir çift sayıdır.} \\ r&: b \text{ sayısı 3 ile tam bölünür.} \end{aligned}

önermeleri veriliyor.

$(p \Rightarrow q) \lor r'$ önermesi yanlış olduğuna göre, $a \cdot b$ çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

9

6

12

15

18

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Çarpımın alabileceği en küçük değer 6'dır.

Verilen

(p \Rightarrow q) \lor r' \equiv 0

bileşik önermesinden hareketle veya bağlacı kuralı gereği hem

p \Rightarrow q \equiv 0

hem de

r' \equiv 0

olmalıdır. Buradan

r \equiv 1

bulunur. İse bağlacının kuralı gereği

p \Rightarrow q \equiv 0

olması için

p \equiv 1

ve

q \equiv 0

olmalıdır. Bu bulgulara göre

a

asal sayı,

a+b

toplamı tek sayı (yani

a

ve

b

'den biri tek, diğeri çift) ve

b

sayısı 3 ile tam bölünen pozitif bir tam sayıdır.

a \cdot b

çarpımını minimize etmek için

b

sayısı 3'ün katı olan en küçük tek sayı (3) olarak seçildiğinde,

a

sayısı çift asal sayı olan 2 olur ve çarpım 6 değerini alır. Eğer

b

sayısı çift seçilirse (

b=6

),

a

tek asal sayı (

3

) olur ve çarpım 18 olur. Dolayısıyla minimum değer 6'dır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bileşik önermenin doğruluk değerlerinin çözümlenmesi

p \equiv 1

,

q \equiv 0

ve

r \equiv 1

(p \Rightarrow q) \lor r' \equiv 0

önermesinin yanlış olması için veya (

\lor

) bağlacının her iki yanındaki ifadelerin yanlış olması gerekir. Buradan

p \Rightarrow q \equiv 0

ve

r' \equiv 0

elde edilir. İse (

\Rightarrow

) bağlacının yanlış olması için önermenin birinci kısmının doğru (

p \equiv 1

), ikinci kısmının yanlış (

q \equiv 0

) olması gerekir.

r' \equiv 0

olduğundan

r \equiv 1

olur.

2

Doğruluk değerlerinin matematiksel ifadelere dönüştürülmesi

a

asal sayıdır,

a+b

toplamı tektir (çift değildir) ve

b

sayısı 3'ün katıdır.

p \equiv 1

olması

a

'nın asal sayı olduğunu,

q \equiv 0

olması

a+b

toplamının çift olmadığını (yani tek olduğunu),

r \equiv 1

olması ise

b

sayısının 3'ün katı olduğunu gösterir.

3

Matematiksel koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı değerlerinin belirlenmesi

a=2

ve

b=3

için

a \cdot b = 6

bulunur.

a+b

toplamı tek sayı olduğundan,

a

ve

b

sayılarından biri tek, diğeri çift olmalıdır.

b

pozitif tam sayısı 3'ün katı olduğuna göre

b \in \{3, 6, 9, 12, \dots\}

olabilir. Eğer

b

tek sayı olarak en küçük

b=3

seçilirse,

a

çift olmak zorundadır.

a

çift bir asal sayı olduğundan sadece

a=2

olabilir. Bu durumda

a \cdot b = 2 \cdot 3 = 6

elde edilir. Eğer

b

çift sayı olarak en küçük

b=6

seçilirse,

a

tek olmak zorundadır. En küçük tek asal sayı

a=3

olduğundan

a \cdot b = 3 \cdot 6 = 18

elde edilir. Bu iki durum karşılaştırıldığında en küçük çarpım değeri 6 olarak bulunur.

Key Concept

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri ve temel sayı özellikleri ile ilişkilendirilmesi

Question 152Question →

Tam sayılar kümesinin alt kümeleri olan $A$ , $B$ ve $C$ kümeleri

\begin{aligned} A &= \{x \in \mathbb{Z} \mid -15 \le x \le 15\} \\ B &= \{x \in A \mid x^2 < 50\} \\ C &= \{x \in A \mid x \text{ bir tek sayıdır}\} \end{aligned}

şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, $B \cup C$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 23

Answer

B U C kümesinin eleman sayısı 23'tür.

B ve C kümelerinin elemanları belirlendikten sonra, birleşim kümesinin eleman sayısı formülü s(B U C) = s(B) + s(C) - s(B ∩ C) şeklinde uygulanır. Kümelerin ortak elemanları olan { -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7 } kümesi 8 elemanlıdır ve birleşim eleman sayısı 15 + 16 - 8 = 23 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A, B ve C kümelerinin tanımlarını kullanarak elemanlarını listeleyin ve s(B) ile s(C) değerlerini bulun.

s(B) = 15 ve s(C) = 16 olarak elde edilir.

Birleşim kümesinin eleman sayısını hesaplamak için bileşen kümelerin eleman sayıları belirlenmelidir.

2

B ve C kümelerinin kesişim kümesini (B ∩ C) belirleyin ve eleman sayısını bulun.

s(B ∩ C) = 8 olarak bulunur.

Birleşim formülünde kesişim elemanlarının iki kez sayılmasını önlemek amacıyla kesişim kümesinin eleman sayısı çıkarılmalıdır.

3

Kümelerde birleşim formülünü uygulayarak s(B U C) değerini hesaplayın.

s(B U C) = 23 olarak bulunur.

s(B U C) = s(B) + s(C) - s(B ∩ C) formülü ile sonuca ulaşılır.

Key Concept

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının toplamından kesişimlerinin eleman sayısının çıkarılmasıyla hesaplanır.

Question 153Question →

A = \{3, 5, 7, 9, 12, 13, 15, 17\}

kümesi veriliyor.
Bu kümenin bir

n

elemanı için,

\begin{aligned} p&: n \text{ bir tek sayıdır.} \\ q&: n \geq 5 \\ r&: n \text{ bir asal sayıdır.} \end{aligned}

önermeleri tanımlanıyor.

$(p \wedge q) \Rightarrow r$ ��nermesi yanlış bir önerme olduğuna göre, $n$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

12

15

24

36

42

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Koşulları sağlayan değerlerin toplamı 24'tür.

Verilen

(p \wedge q) \Rightarrow r

önermesinin yanlış olması için önermenin birinci kısmının doğru (

p \wedge q \equiv 1

), ikinci kısmının ise yanlış (

r \equiv 0

) olması gerekir.

p \wedge q \equiv 1

olması için hem

p

hem de

q

önermelerinin doğru olması gerekir; yani

n

sayısı tek sayı ve 5'ten büyük veya eşit olmalıdır.

A

kümesinde bu şartı sağlayan sayılar 5, 7, 9, 13, 15 ve 17'dir.

r \equiv 0

şartı ise

n

sayısının asal olmaması gerektiğini ifade eder. Bu gruptaki sayılardan asal olmayanlar sadece 9 ve 15'tir. Bu değerlerin toplamı ise 24 yapar.

Step-by-Step Solution

1

Koşullu önermenin yanlış olma durumunu belirleme.

(p \wedge q) \Rightarrow r \equiv 0

olması için

p \wedge q \equiv 1

ve

r \equiv 0

olmalıdır.

Bir ise (\Rightarrow) bağlacı sadece birinci önerme doğru, ikinci önerme yanlış iken sıfır değerini alır.

2

İlk bileşenin doğru olma koşulunu inceleme.

p \wedge q \equiv 1

olması için hem

p \equiv 1

hem de

q \equiv 1

olmalıdır. Buradan

n

sayısının hem tek sayı olması hem de

5

veya daha büyük olması gerektiği anlaşılır.

Ve (\wedge) bağlacının sonucunun doğru olması için bağlanan her iki önermenin de doğru olması gerekir.

3

İlk koşulu sağlayan küme elemanlarını belirleme.

A

kümesindeki

5

ve

5

'ten büyük tek sayılar:

\{5, 7, 9, 13, 15, 17\}

elemanlarıdır.

Kümedeki çift eleman olan 12 ve 5'ten küçük eleman olan 3 elenir.

4

İkinci bileşenin yanlış olma koşulunu (asal olmama) uygulama.

r \equiv 0

olması

n

sayısının asal sayı olmaması (bileşik sayı olması) anlamına gelir. Belirlenen

\{5, 7, 9, 13, 15, 17\}

kümesindeki asal olmayan sayılar

9

ve

15

'tir.

9 sayısı

3 \times 3

, 15 sayısı ise

3 \times 5

şeklinde çarpanlara ayrılabildiği için asal değildir. Diğer sayılar asaldır.

5

Koşulları sağlayan değerlerin toplamını hesaplama.

9 + 15 = 24

Soru bizden bu koşulu sağlayan farklı n değerlerinin toplamını istemektedir.

Key Concept

İse bağlacının doğruluk tablosu ve temel sayı kümeleri özellikleri

Estimated Time:1m 30s

Question 154Question →

Bir kahve dükkanında bir gün boyunca satılan kahvelerde kullanılan çekirdek türleri incelenmiştir. Bu dükkandan kahve alan müşteriler ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Müşterilerin tamamı Arabica veya Robusta kahve çekirdeklerinden en az birini içeren kahveleri tercih etmiştir.
* Yalnızca Arabica çekirdeği içeren kahve sipariş edenlerin sayısı, her iki çekirdeği de içeren kahve sipariş edenlerin sayısının $3$ katıdır.
* Yalnızca Robusta çekirdeği içeren kahve sipariş edenlerin sayısı, Arabica çekirdeği içeren kahve sipariş edenlerin sayısından $10$ eksiktir.

Bu kahve dükkanında gün boyunca toplam $54$ müşteri kahve siparişi verdiğine göre, her iki çekirdek türünü de içeren kahve sipariş eden müşteri sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Her iki çekirdek türünü de içeren kahve sipariş eden müşteri sayısı 8'dir.

Her iki çekirdek türünü de içeren kahve sipariş edenlerin sayısı x olarak alındığında, yalnız Arabica sipariş edenlerin sayısı 3x, Arabica sipariş edenlerin toplam sayısı 4x ve yalnız Robusta sipariş edenlerin sayısı 4x - 10 olur. Bu üç grubun toplamı 3x + x + 4x - 10 = 54 eşitliğinden 8x = 64 ve dolayısıyla x = 8 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımlama

Arabica sipariş edenlerin kümesi

A

, Robusta sipariş edenlerin kümesi

R

olsun. Her iki çekirdek türünü de içeren kahve sipariş edenlerin sayısı

s(A \cap R) = x

olsun.

Soru bizden kesişim kümesinin eleman sayısını istemektedir.

2

Yalnızca Arabica sipariş edenlerin sayısını bulma

Yalnızca Arabica çekirdeği içeren kahve sipariş edenlerin sayısı

s(A \setminus R) = 3x

olur.

Yalnızca Arabica sipariş edenlerin sayısı, her ikisini de sipariş edenlerin sayısının 3 katı olarak verilmiştir.

3

Yalnızca Robusta sipariş edenlerin sayısını bulma

Arabica çekirdeği içeren kahve sipariş edenlerin sayısı

s(A) = s(A \setminus R) + s(A \cap R) = 3x + x = 4x

olur. Yalnızca Robusta çekirdeği içeren kahve sipariş edenlerin sayısı ise

s(R \setminus A) = s(A) - 10 = 4x - 10

olur.

Yalnızca Robusta sipariş edenlerin sayısının, Arabica sipariş edenlerin toplam sayısından 10 eksik olduğu belirtilmiştir.

4

Bilinmeyen x değerini bulmak için denklem kurma ve çözme

Tüm müşteriler en az bir kahve çekirdeği türünü sipariş ettiği için evrensel küme birleşim kümesine eşittir. Müşteri sayısı:

s(A \cup R) = s(A \setminus R) + s(R \setminus A) + s(A \cap R) = 3x + (4x - 10) + x = 54 \implies 8x - 10 = 54 \implies 8x = 64 \implies x = 8

bulunur.

Toplam müşteri sayısının 54 olduğu verilmiştir.

Key Concept

Kümelerde kesişim, birleşim ve fark işlemleri yardımıyla problem çözme

Question 155Question →

Bir kütüphanedeki okuyucuların kitap tercihleriyle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Macera romanı okuyanların kümesi $M$ ,
* Tarih romanı okuyanların kümesi $T$ ,
* Bilim kurgu romanı okuyanların kümesi $B$ 'dir.

Bu kütüphanedeki 80 okuyucunun tamamı bu üç kitap türünden en az birini okumaktadır.

* Bilim kurgu romanı okuyan okuyucuların tamamı tarih romanı da okumakta fakat macera romanı okumamaktadır.
* Sadece tarih romanı okuyan okuyucu sayısı, bilim kurgu romanı okuyan okuyucu sayısının 3 katıdır.
* Sadece macera romanı okuyan okuyucu sayısı, hem macera hem tarih romanı okuyan okuyucu sayısının 4 katıdır.
* Tarih romanı okuyan toplam okuyucu sayısı 32'dir.

Buna göre, bu okuyuculardan yalnız bir kitap türü okuyanların toplam sayısı kaçtır?

51

53

60

63

68

Show answer & explanation

Answer: 63

Answer

Yalnız bir kitap türü okuyanların toplam sayısı 63'tür.

Yalnız bir kitap türü okuyanlar, sadece macera romanı okuyanlar (

48

) ve sadece tarih romanı okuyanlardır (

15

). Bilim kurgu okuyanlar aynı zamanda tarih de okuduğu için yalnız bir kitap türü okuyanlar grubuna dahil edilemezler. Dolayısıyla toplam sayı

48 + 15 = 63

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin ilişkilerini ve birleşim kümesini belirleme

B \subseteq T

ve

B \cap M = \emptyset

olduğundan

M \cup T \cup B = M \cup T

olur. Dolayısıyla

s(M \cup T) = 80

olarak bulunur.

Bilim kurgu okuyanların tamamının tarih okuduğu ve macera okumadığı bilgisiyle kümelerin sınırlarını çizmek için.

2

Sadece macera romanı okuyanların sayısını bulma

s(M \cup T) = s(M \setminus T) + s(T) \implies 80 = s(M \setminus T) + 32 \implies s(M \setminus T) = 48

olur.

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kullanarak sadece macera okuyanların (

M \setminus T

) sayısına ulaşmak için.

3

Macera ve tarih romanı ortak okuyucu sayısını hesaplama

s(M \setminus T) = 4 \cdot s(M \cap T) \implies 48 = 4 \cdot s(M \cap T) \implies s(M \cap T) = 12

olur.

Soruda verilen 'sadece macera okuyanların sayısı, kesişim kümesinin 4 katıdır' oranını uygulamak için.

4

Tarih kümesinin alt bölgelerini ayrıştırma ve bilim kurgu okuyanların sayısını bulma

s(T) = s(M \cap T) + s(B) + s(T \setminus (M \cup B)) \implies 32 = 12 + s(B) + s(T \setminus (M \cup B)) \implies s(B) + s(T \setminus (M \cup B)) = 20

elde edilir.

Tarih kümesini oluşturan ayrık bölgelerin eleman sayıları toplamını yazmak için.

5

Bilim kurgu ve sadece tarih okuyanların sayılarını oranlayarak çözme

s(T \setminus (M \cup B)) = 3 \cdot s(B)

bilgisiyle

s(B) = b

denirse

b + 3b = 20 \implies 4b = 20 \implies b = 5

ve sadece tarih okuyanlar

3 \cdot 5 = 15

bulunur.

Verilen 3 katı ilişkisini kullanarak denklem sistemini çözmek için.

6

Yalnız bir kitap türü okuyanların toplam sayısını bulma

Sadece macera okuyanlar (

48

) ile sadece tarih okuyanların (

15

) toplamından

48 + 15 = 63

elde edilir.

Bilim kurgu okuyanların tamamı tarih de okuduğundan yalnız bir kitap türü okuyanlar kategorisine giremez, bu yüzden sadece macera ve sadece tarih okuyanlar toplanır.

Key Concept

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemlerinin Venn şeması üzerinde modellenmesi ve alt küme ilişkilerinin eleman sayılarına etkisi.

Alternative Method

Soru, Venn şeması çizilerek doğrudan çözülebilir. M ve T kümelerini kesiştirip, B kümesini T kümesinin içinde ve M'den tamamen bağımsız (kesişimleri boş küme olacak şekilde) çizerek her bölgeye değişkenler atanır. Verilen denklemler şema üzerinde yerine yazıldığında bilinmeyenler kolayca bulunur.

Estimated Time:2m 0s

Question 156Question →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

\begin{aligned} p&: x \text{ bir rasyonel sayıdır.} \\ q&: x \text{ bir tek tam sayıdır.} \\ r&: -2x < -4 \end{aligned}

önermeleri veriliyor.

$(p \Rightarrow q) \land r \equiv 1$ olduğuna göre, $x$ sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

\sqrt{3}

4

\sqrt{\frac{25}{4}}

\sqrt{5}

\frac{7}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\sqrt{5}$

Answer

Karekök 5 sayısı

Verilen bileşik önermede ve bağlacı kullanıldığı için hem ise bağlacının sonucu 1 olmalı hem de r önermesi doğru olmalıdır. Eşitsizlik çözüldüğünde x sayısının 2'den büyük olması gerektiği görülür. İse bağlacının 1 olması için ise ilk önermenin yanlış olması (x'in irrasyonel olması) veya iki önermenin birden doğru olması gerekir. Karekök 5 sayısı hem irrasyonel bir sayıdır hem de değeri 2'den büyüktür. Bu yüzden aranan koşulu sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini çözümleme

p \Rightarrow q \equiv 1

ve

r \equiv 1

olmalıdır.

Ve bağlacı ile bağlanan iki ifadenin sonucunun 1 çıkması için her iki bileşenin de doğruluk değerinin 1 olması gerekir.

2

Eşitsizlik koşulunu belirleme

x > 2

-2x < -4

eşitsizliğinde her iki taraf negatif bir sayı olan

-2

ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.

3

İse bağlacının koşulunu inceleme

x

ya irrasyonel bir sayı olmalı (

p \equiv 0

) ya da 2'den büyük bir tek tam sayı olmalı (

p \equiv 1 \land q \equiv 1

).

p \Rightarrow q \equiv 1

olması için

p \equiv 0

(yani

x

rasyonel değil/irrasyonel) veya her ikisinin birden doğru olması gerekir.

4

Seçenekleri analiz etme

Karekök 5 değeri hem 2'den büyüktür hem de irrasyonel olduğu için koşulları sa��lar.

Karekök 5 irrasyonel olduğundan

p

yanlıştır, dolayısıyla

p \Rightarrow q

doğrudur. Ayrıca karesi 5 olan bu sayı 2'den büyüktür.

Key Concept

İse bağlacı ve eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma/bölme kurallarının sayı kümeleriyle entegrasyonu

Estimated Time:2m 0s

Question 157Question →

Bir spor kulübündeki sporcuların antrenmanlarında kullandıkları A ve B salonları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Kulüpteki toplam sporcu sayısı 50'dir.
* A salonunu kullanan sporcu sayısı, B salonunu kullanan sporcu sayısının 2 katıdır.
* Sadece B salonunu kullanan sporcu sayısı, her iki salonu da kullanan sporcu sayısının 3 katıdır.
* Bu iki salonun hiçbirini kullanmayan sporcu sayısı 6'dır.

Buna göre, A salonunu kullanan sporcu sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

A salonunu kullanan sporcu sayısı 32'dir.

A ve B salonlarından en az birini kullanan sporcu sayısı 44'tür. Kesişim bölgesine

x

denildiğinde, sadece B salonunu kullananlar

3x

ve B salonunu kullananların tamamı

4x

olur. Bu durumda A salonunu kullananlar

8x

olur. Birleşim kümesi

s(A) + s(B \setminus A) = 8x + 3x = 11x

olarak ifade edilir. Buradan

11x = 44 \implies x = 4

bulunur. A salonunu kullanan sporcu sayısı ise

8x = 8 \cdot 4 = 32

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Salonları kullanmayan sporcuları toplam sporcu sayısından çıkarmak

s(A \cup B) = 44

En az bir salonu kullanan sporcu sayısını belirlemek amacıyla toplam sporcu sayısından hiçbir salonu kullanmayanları çıkarırız.

2

Küme bölgelerini bilinmeyen bir değişken cinsinden ifade etmek

s(A \cap B) = x

,

s(B \setminus A) = 3x

ve

s(B) = 4x

Kesişim bölgesine değişken atanarak verilen kat ilişkilerine göre B kümesinin alt bölgeleri tanımlanır.

3

A kümesinin eleman sayısını değişken cinsinden bulmak

s(A) = 8x

A salonunu kullananların sayısı, B salonunu kullananların 2 katı olarak verildiği için belirlenen ifade iki ile çarpılır.

4

Birleşim kümesinin eleman sayısı üzerinden değişkeni çözmek

x = 4

Birleşim kümesinin eleman sayısı, A kümesi ile sadece B salonunu kullananların toplamı şeklinde yazılarak denklem çözülür.

5

İstenen kümenin eleman sayısını hesaplamak

s(A) = 32

Değişkenin değeri yerine yazılarak A salonunu kullanan sporcu sayısı hesaplanır.

Key Concept

Kümelerde kesişim, birleşim ve fark işlemleri ile küme eleman sayılarının modellenmesi

Estimated Time:2m 0s

Question 158Question →

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir

ABC

doğal sayısı için,

\begin{aligned} p&: \text{Sayı tektir.}\\ q&: A + B \text{ toplamı çifttir.}\\ r&: B \cdot C \text{ çarpımı tektir.} \end{aligned}

önermeleri veriliyor.

$(p \wedge q) \Rightarrow r$ önermesi yanlış olduğuna göre, bu koşulları sağlayan en küçük $ABC$ doğal sayısı için $A + B + C$ toplamı kaçtır?

5

6

7

9

12

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Koşulları sağlayan en küçük ABC sayısı 241 olup rakamlarının toplamı 7'dir.

Verilen

(p \wedge q) \Rightarrow r

önermesinin yanlış olması,

p \equiv 1

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

olmasını gerektirir. Bu doğruluk değerleri incelendiğinde

C

'nin tek rakam,

A

ve

B

'nin ise çift rakamlar olduğu belirlenir. Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı en küçük

ABC

sayısı yüzler basamağı en küçük seçilerek

241

olarak oluşturulur. Bu sayının rakamları toplamı ise 7 olur.

Step-by-Step Solution

1

Bileşik önermenin doğruluk değerlerini belirleme

p \equiv 1

,

q \equiv 1

ve

r \equiv 0

İse (

\Rightarrow

) bağlacıyla kurulan bir koşullu önermenin yanlış (0) olabilmesi için ön bileşenin doğru (1), art bileşenin ise yanlış (0) olması gerekir. Buradan

p \wedge q \equiv 1

ve

r \equiv 0

bulunur. Ve (

\wedge

) bağlacının özelliğinden

p \equiv 1

ve

q \equiv 1

elde edilir.

2

Doğruluk değerlerine göre rakamların teklik/çiftlik durumlarını belirleme

C

tek rakam,

A

ve

B

ise çift rakamlardır.

p \equiv 1

olduğuna göre

ABC

sayısı tektir. Bu durumda birler basamağındaki

C

rakamı tek olmalıdır.

r \equiv 0

olduğuna göre

B \cdot C

çarpımı çifttir.

C

tek sayı olduğuna göre çarpımın çift olması için

B

çift rakam olmalıdır.

q \equiv 1

olduğuna göre

A + B

toplamı çifttir.

B

çift rakam olduğuna göre toplamın çift olması için

A

da çift rakam olmalıdır.

3

En küçük

ABC

sayısını oluşturup rakamları toplamını hesaplama

ABC = 241

ve rakamlar toplamı

2 + 4 + 1 = 7

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı en küçük üç basamaklı

ABC

sayısı için: Yüzler basamağındaki

A

en küçük pozitif çift rakam olan

2

, onlar basamağındaki

B

ise

A

'dan farklı en küçük pozitif çift rakam olan

4

seçilir. Birler basamağındaki

C

ise en küçük tek rakam olan

1

seçilir. Böylece en küçük sayı

241

olur. Bu sayının rakamları toplamı da

2 + 4 + 1 = 7

olarak bulunur.

Key Concept

İse bağlacının doğruluk tablosu ve sayıların teklik-çiftlik özellikleri ile ilişkilendirilmesi

Estimated Time:1m 50s

Question 159Question →

$120$ pozitif tam sayısının tüm pozitif bölenlerinin kümesi $U$ olsun.
- $U$ kümesinin çift sayılardan oluşan alt kümesi $A$ ,
- $U$ kümesinin 3'ün katı olan sayılardan oluşan alt kümesi $B$
olarak tanımlanıyor.

Buna göre, $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

10

12

14

16

18

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Birleşim kümesinin eleman sayısı 14'tür.

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

şeklindedir. Çift bölenlerin sayısı 12, 3'ün katı olan bölenlerin sayısı 8 ve hem çift hem 3'ün katı (yani 6'nın katı) olan ortak bölenlerin sayısı 6 olarak hesaplandığında, birleşim kümesinin eleman sayısı 12 + 8 - 6 = 14 olur.

Step-by-Step Solution

1

120 sayısını asal çarpanlarına ayırarak pozitif bölen sayısını bulunuz.

120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1

şeklindedir. Pozitif bölen sayısı

(3+1)(1+1)(1+1) = 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

olur.

Evrensel küme olan

U

kümesinin toplam eleman sayısını belirlemek için.

2

A

kümesinin eleman sayısını bulunuz.

A

kümesi, 120'nin çift pozitif bölenlerinden oluşur. Çift bölenleri bulmak için ifadeyi

2 \cdot (2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1)

şeklinde yazarız. Parantez içindeki ifadenin pozitif bölen sayısı

s(A) = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12

olur.

Çift olan bölenlerin sayısını belirlemek için.

3

B

kümesinin eleman sayısını bulunuz.

B

kümesi, 120'nin 3'ün katı olan pozitif bölenlerinden oluşur. Bu bölenleri bulmak için ifadeyi

3 \cdot (2^3 \cdot 5^1)

şeklinde yazarız. Parantez içindeki ifadenin pozitif bölen sayısı

s(B) = (3+1)(1+1) = 4 \cdot 2 = 8

olur.

3'ün katı olan bölenlerin sayısını belirlemek için.

4

A \cap B

kesişim kümesinin eleman sayısını bulunuz.

A \cap B

kümesi, hem çift hem de 3'ün katı olan (yani 6'nın katı olan) pozitif bölenlerden oluşur. Bu bölenleri bulmak için ifadeyi

6 \cdot (2^2 \cdot 5^1)

şeklinde yazarız. Parantez içindeki ifadenin pozitif bölen sayısı

s(A \cap B) = (2+1)(1+1) = 3 \cdot 2 = 6

olur.

Hem çift hem de 3'ün katı olan ortak elemanların sayısını belirlemek için.

5

A \cup B

kümesinin eleman sayısını birleşim formülü ile hesaplayınız.

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 12 + 8 - 6 = 14

bulunur.

Kümelerde birleşim işleminin eleman sayısı formülünü uygulamak için.

Key Concept

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişki ve pozitif bölen sayısı hesabı.

Alternative Method

120 sayısının pozitif bölenlerinin tamamından (16 eleman), hem tek olan hem de 3'ün katı olmayan elemanları çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Tek olan bölenler

\{1, 3, 5, 15\}

kümesidir. Bunlardan 3'ün katı olmayanlar ise

\{1, 5\}

olup 2 tanedir. Dolayısıyla

A \cup B

kümesinin eleman sayısı

16 - 2 = 14

bulunur.

Estimated Time:2m 0s

Question 160Question →

a

ve

b

pozitif tam sayılar olmak üzere,

\begin{aligned} p&: a + b \text{ toplamı bir asal sayıdır.} \\ q&: a \cdot b \text{ çarpımı bir çift sayıdır.} \\ r&: a^b \text{ bir tek sayıdır.} \end{aligned}

önermeleri veriliyor.

(p \wedge r) \Rightarrow q

önermesi yanlış olduğuna göre;
I.

a + b

toplamı bir çift sayıdır.
II.

a - b = 0

dır.
III.

a \cdot b

çarpımı bir asal sayıdır.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II

Verilen bileşik önermenin yanlış olabilmesi için ise bağlacının sol tarafının doğru, sağ tarafının yanlış olması gerekir. Buradan p ve r önermelerinin doğru, q önermesinin ise yanlış olduğu bulunur. Çarpımları tek olan iki pozitif tam sayı tek olmak zorundadır. Dolayısıyla hem a hem de b tek sayıdır. İki tek sayının toplamı çift sayı olacağından, asal sayı olduğu bilinen a + b toplamı ancak en küçük ve tek çift asal sayı olan 2 olabilir. Buradan a = 1 ve b = 1 bulunur. Bu değerler yerine yazıldığında toplamları 2 (çift) ve farkları 0 (çift) olduğundan birinci ve ikinci ifadeler her zaman doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Bileşik önermenin doğruluk değerini çözümleme

p \wedge r \equiv 1

ve

q \equiv 0

İse (

\Rightarrow

) bağlacının sonucunun yanlış (0) olması için, birinci kısmın doğru (1) ve ikinci kısmın yanlış (0) olması gerekir.

2

Bileşen önermelerin doğruluk değerlerini belirleme

p \equiv 1

,

r \equiv 1

ve

q \equiv 0

Ve (

\wedge

) bağlacının sonucunun 1 olması için her iki bileşenin de 1 olması gerekir.

3

Sayıların teklik ve çiftlik durumlarını belirleme

a

ve

b

sayılarının ikisi de tek sayıdır.

q \equiv 0

olduğundan çarpımları çift değildir, yani tektir. İki pozitif tam sayının çarpımının tek olması için her ikisinin de tek olması gerekir.

4

Toplamın alabileceği değeri bulma ve sayıları belirleme

a = 1

ve

b = 1

a

ve

b

tek sayılar olduğundan toplamları

a+b

çifttir.

p \equiv 1

olduğundan

a+b

bir asal sayıdır. Çift olan tek asal sayı 2 olduğundan

a+b=2

olmalıdır. Pozitif tam sayılarda bu durumu sağlayan tek ikili

a=1, b=1

durumudur.

5

Öncülleri elde edilen değerlere göre sınama

I ve II doğru, III yanlıştır.

a=1

ve

b=1

için

a+b=2

(çift),

a-b=0

(çift) olur.

a \cdot b = 1

olup 1 asal sayı değildir.

Key Concept

Önermelerin Doğruluk Değerleri ve Bileşik Önermeler

Estimated Time:2m 0s

Kümeler ve Mantık

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method