Sayı Problemleri Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 2

Question 21Question →

Bir lojistik firmasında paketler, ağırlıklarına göre 'Standart' ve 'Ağır' olmak üzere iki gruba ayrılmıştır. Bu paketlerin ağırlıkları ve sayılarıyla ilgili bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Paket Türü	Bir Adedinin Ağırlığı
Standart	$5\text{ kg}$
Ağır	$12\text{ kg}$

Bu firmadaki standart ve ağır paketlerin toplam sayısı $18$ ve tüm paketlerin toplam ağırlığı $118\text{ kg}$ 'dır.
Bu paketlerin tamamı, tek seferde en fazla $24\text{ kg}$ yük taşıyabilen bir el arabasıyla taşınacaktır.
Buna göre, tüm paketlerin taşınması için el arabasıyla en az kaç sefer yapılmalıdır?

4

5

6

7

8

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6

Doğru yanıt olan 6 sefer, paket adetlerinin (14 standart, 4 ağır) denklem sistemiyle çözülmesinden sonra, el arabasının 24 kg'lık kapasitesine uygun olarak en verimli şekilde gruplandırılmasıyla elde edilir. Yapılan analizde 5 seferin matematiksel olarak imkansız olduğu, en az 6 seferle tüm paketlerin güvenle taşınabileceği kanıtlanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Standart ve ağır paketlerin sayılarını bulmak için denklem sistemini kurup çözelim.

Standart paket sayısı

x

, ağır paket sayısı

y

olsun.

x + y = 18

ve

5x + 12y = 118

denklemleri elde edilir. Birinci denklemi

5

ile çarpıp ikinci denklemden çıkardığımızda

7y = 28

yani

y = 4

ağır paket ve

x = 14

standart paket bulunur.

Her bir paket türünden kaçar adet olduğunu belirlemek, taşıma analizini yapabilmek için gereklidir.

2

El arabasının taşıma kapasitesine göre bir seferdeki paket kombinasyonlarını analiz edelim.

Taşıma kapasitesi en fazla

24\text{ kg}

'dır. Ağır paketler (

12\text{ kg}

) en fazla ikişerli taşınabilir (

12 + 12 = 24\text{ kg}

). Bir ağır paketin yanına en fazla iki adet standart paket (

12 + 5 + 5 = 22\text{ kg}

) konabilir; çünkü üç standart paket eklenirse ağırlık

12 + 15 = 27\text{ kg}

olur ve kapasite aşılır. Sadece standart paket taşınan bir seferde ise en fazla dört standart paket (

4 \times 5 = 20\text{ kg}

) taşınabilir.

Maksimum kapasite sınırını aşmadan her seferde en fazla kaç paket taşınabileceğini belirlemek için bu analiz gereklidir.

3

5 seferin neden yetersiz olduğunu ve en az 6 sefer gerektiğini matematiksel olarak kanıtlayalım.

4 ağır paketi taşımak için iki durum vardır:
Durum 1: Ağır paketlerin her biri farklı bir seferde taşınırsa (4 sefer). Bu seferlerin her birinde en fazla 2 standart paket taşınabileceğinden, toplamda en fazla

4 \times 2 = 8

standart paket taşınır. Kalan

14 - 8 = 6

standart paketi taşımak için ağır paket içermeyen en az 2 sefer daha gerekir. Toplam sefer sayısı

4 + 2 = 6

olur.
Durum 2: Ağır paketlerin ikisi aynı seferde taşınırsa (1 sefer,

24\text{ kg}

). Kalan 2 ağır paket diğer seferlerde taşınır (en fazla 2 sefer). Bu seferlerde en fazla

2 \times 2 = 4

standart paket taşınır. Kalan

14 - 4 = 10

standart paketi taşımak için en az

\lceil 10/4 \rceil = 3

sefer daha gerekir. Toplam sefer sayısı

1 + 2 + 3 = 6

olur.

Paketlerin bölünemez yapısı nedeniyle matematiksel olarak 5 seferin imkansız olduğunu gösterip en az 6 sefer yapılması gerektiğini kanıtlamak için bu adım gereklidir.

4

6 seferlik örnek bir dağılım planı hazırlayalım.

- 1. Sefer: 2 ağır paket (

24\text{ kg}

)
- 2. Sefer: 1 ağır paket + 2 standart paket (

22\text{ kg}

)
- 3. Sefer: 1 ağır paket + 2 standart paket (

22\text{ kg}

)
- 4. Sefer: 4 standart paket (

20\text{ kg}

)
- 5. Sefer: 3 standart paket (

15\text{ kg}

)
- 6. Sefer: 3 standart paket (

15\text{ kg}

)
Toplamda 4 ağır ve 14 standart paket taşınır.

Bulunan sonucun geçerliliğini ve uygulanabilirliğini göstermek için somut bir dağılım planı sunulur.

Key Concept

Sayı Problemleri ve Bölünebilirlik/Gruplama

Question 22Question →

Bir kafede bir bardak çay $8\text{ TL}$ , bir bardak kahve ise $15\text{ TL}$ 'dir. Bu kafede bir gün boyunca toplam $30$ bardak çay ve kahve içilmiştir.

Çay ve kahveler için ödenen toplam tutar $310\text{ TL}$ olduğuna göre, bu kafede kaç bardak çay içilmiştir?

10

15

18

20

22

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

İçilen çay bardağı sayısı 20'dir.

İçilen çay bardağı sayısına

x

dersek, kahve sayısı

30 - x

olur. Toplam ödenen ücret

8x + 15(30 - x) = 310

denklemi ile hesaplanır. Parantez dağıtıldığında

8x + 450 - 15x = 310 \Rightarrow -7x = -140 \Rightarrow x = 20

elde edilir. Bu nedenle doğru cevap, çay bardağı sayısının 20 olduğunu gösteren seçenektir.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin tanımlanması ve toplam bardak sayısına göre denklemin kurulması

İçilen çay bardağı sayısına

x

diyelim. Toplam

30

bardak içecek tüketildiğine göre, içilen kahve bardağı sayısı

30 - x

olur.

Çay ve kahve adetlerini tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek için.

2

Toplam ücrete bağlı denklemin kurulması

Çayın bardağı

8\text{ TL}

ve kahvenin bardağı

15\text{ TL}

olduğundan, toplam tutar:

8 \times x + 15 \times (30 - x) = 310

olarak yazılır.

Toplam harcama miktarını matematiksel bir eşitliğe dönüştürmek için.

3

Kurulan denklemin çözülmesi

8x + 450 - 15x = 310 \Rightarrow -7x + 450 = 310 \Rightarrow -7x = -140 \Rightarrow x = 20

bulunur.

Bilinmeyen

x

değerini (çay adedini) yalnız bırakarak sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme

Estimated Time:1m 30s

Question 23Question →

Bir fabrikada üretilen belirli miktardaki zeytinyağı; A, B ve C tipi tenekelere doldurulacaktır. Bu tenekelerin her birinin hacmi litre cinsinden birer pozitif tam sayıdır. Tenekelerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A tipi tenekenin hacmi B tipininkinden $3$ litre fazla, C tipininkinden ise $2$ litre azdır.
* Sadece A tipi tenekeler kullanılıp zeytinyağının tamamı doldurulduğunda, kullanılan son tenekede $3$ litrelik boşluk kalmaktadır.
* Sadece B tipi tenekeler kullanıldığında, kullanılan teneke sayısı A tipi tenekelerin kullanıldığı durumdan $5$ fazla olmakta ve tüm tenekeler tamamen dolmaktadır.
* Sadece C tipi tenekeler kullanılıp zeytinyağının tamamı doldurulduğunda, kullanılan teneke sayısı A tipi tenekelerin kullanıldığı durumdan $2$ eksik olmakta ve kullanılan son tenekede $3$ litrelik boşluk kalmaktadır.

Buna göre, doldurulacak toplam zeytinyağı miktarı kaç litredir?

84

96

108

120

171

Show answer & explanation

Answer: 96

Answer

Toplam zeytinyağı miktarı 96 litredir.

Doğru cevap olan 96 değeri, B tipi teneke hacminin 6 litre, A tipi teneke sayısının 11 adet ve toplam teneke hacimlerinin sistem eşitliklerinden doğru çözülmesiyle elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin tanımlanması ve teneke hacimlerinin belirlenmesi

B tipi tenekenin hacmi

x

litre olsun. Bu durumda A tipi tenekenin hacmi

x+3

litre, C tipi tenekenin hacmi ise

(x+3)+2 = x+5

litre olur.

Teneke hacimleri arasındaki ilişkileri tek bir değişken cinsinden ifade etmek çözümü kolaylaştırır.

2

A tipi teneke sayıs��na bağlı olarak zeytinyağı miktarını veren denklemlerin kurulması

A tipi teneke sayısı

n

olsun. Toplam zeytinyağı miktarı

W

olmak üzere:
1) A tipi tenekeler için:

W = n(x+3) - 3

2) B tipi tenekeler için:

W = (n+5)x

3) C tipi tenekeler için:

W = (n-2)(x+5) - 3

Her üç durum için toplam zeytinyağı miktarının sabit olmasından yararlanarak denklemleri eşitleriz.

3

Denklem sisteminin çözülerek

x

ve

n

değerlerinin bulunması

1. ve 2. denklemlerin eşitliğinden:

n(x+3) - 3 = (n+5)x \Rightarrow nx + 3n - 3 = nx + 5x \Rightarrow 3n - 5x = 3

elde edilir.
2. ve 3. denklemlerin eşitliğinden:

(n+5)x = (n-2)(x+5) - 3 \Rightarrow nx + 5x = nx + 5n - 2x - 10 - 3 \Rightarrow 5n - 7x = 13

elde edilir.
Bu iki denklem ortak çözüldüğünde:

3n - 5x = 3 \Rightarrow n = \frac{5x+3}{3}

5\left(\frac{5x+3}{3}\right) - 7x = 13 \Rightarrow 25x + 15 - 21x = 39 \Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = 6

bulunur.

x = 6

için

n = \frac{5(6)+3}{3} = 11

olur.

İki bilinmeyenli iki denklem sistemi çözülerek teneke kapasitesi (

x

) ve A tipi teneke sayısı (

n

) bulunur.

4

Toplam zeytinyağı miktarının hesaplanması

W = (n+5)x = (11+5) \cdot 6 = 16 \cdot 6 = 96

litredir.

Bulunan

x

ve

n

değerleri zeytinyağı miktarı formülünde yerine konularak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Değişkenler yardımıyla sözel durumları denklem sistemine dönüştürme ve çözme

Question 24Question →

Bir sınıftaki öğrencilerin tamamı, her bir grupta eşit sayıda öğrenci olacak şekilde gruplara ayrılacaktır. Sınıf mevcudu iki basamaklı $AB$ sayısıdır.

* Bu sınıf $A$ tane gruba ayrıldığında her grupta $B+4$ öğrenci,
* Aynı sınıf $B$ tane gruba ayrıldığında ise her grupta $2A-2$ öğrenci

olmaktadır.

Buna göre, bu sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?

39

42

48

77

84

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Sınıf mevcudu 48'dir.

Sınıf mevcudu olan

AB

iki basamaklı sayısı

10A+B

olarak çözümlenir. Soruda verilen gruplandırma koşulları denklemleştirildiğinde

6A+B=AB

ve

10A+3B=2AB

bağıntıları elde edilir. İlk bağıntıdan

B = \frac{6A}{A-1}

yazılır ve

A

ile

B

'nin rakam olma şartı incelendiğinde olası

(A, B)

çiftleri

(3, 9)

,

(4, 8)

ve

(7, 7)

bulunur. Bu çiftlerden yalnızca

(4, 8)

çifti ikinci bağıntıyı (

10A+3B=2AB

) doğruladığından, sınıf mevcudu olan

AB

sayısı 48'dir.

Step-by-Step Solution

1

Sınıf mevcudu olan iki basamaklı

AB

sayısını basamak çözümlemesi kullanarak

10A + B

şeklinde ifade etmek ve verilen koşullara göre iki adet denklem kurmak.

Birinci koşuldan

10A + B = A(B + 4) \Rightarrow 6A + B = AB

denklemi, ikinci koşuldan

10A + B = B(2A - 2) \Rightarrow 10A + 3B = 2AB

denklemi elde edilir.

Problemi cebirsel olarak modellemek ve bilinmeyenleri bulmak için denklem sistemini oluşturmak gerekir.

2

Birinci denklemi kullanarak

B

değişkenini

A

cinsinden yalnız bırakmak ve

A

ile

B

'nin rakam olma koşulunu göz önünde bulundurarak olası değer çiftlerini belirlemek.

6A + B = AB \Rightarrow B(A - 1) = 6A \Rightarrow B = \frac{6A}{A-1}

elde edilir.

A

ve

B

birer rakam ve

A \neq 0, B \neq 0

olduğundan,

A-1

ifadesi

6

'yı tam bölmelidir. Buradan olası

(A, B)

��iftleri

(3, 9)

,

(4, 8)

ve

(7, 7)

olarak bulunur.

Değişkenlerin rakam olma sınırlandırmasını kullanarak olası çözümlerin sayısını azaltmak.

3

Bulunan olası

(A, B)

çiftlerini ikinci denklemde (

10A + 3B = 2AB

) yerine yazarak her iki koşulu birden sağlayan doğru çifti tespit etmek.

(4, 8)

çifti için

10(4) + 3(8) = 64

ve

2(4)(8) = 64

olup eşitlik sağlanır.

(3, 9)

ve

(7, 7)

çiftleri ise bu denklemi sağlamaz.

Sistemdeki tüm denklemleri ve kısıtları sağlayan tekil ve doğru çözüme ulaşmak.

4

Bulunan

A

ve

B

rakamlarını kullanarak

AB

iki basamaklı sayısını oluşturmak.

A=4

ve

B=8

olduğundan, sınıf mevcudu

AB = 48

olarak bulunur.

Soruda bizden istenen nihai sınıf mevcudu değerine ulaşmak.

Key Concept

Sayı Problemleri ve Basamak Analizi

Question 25Question →

Bir trende her biri eşit yolcu kapasitesine sahip toplam 12 vagon bulunmaktadır. Bu trendeki vagonların 6 tanesi tamamen doluyken, geri kalan vagonların her birinde 10'ar koltuk boş kalmıştır.

Trendeki toplam yolcu sayısı 300 olduğuna göre, bir vagonun yolcu kapasitesi kaçtır?

20

30

35

40

50

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Bir vagonun yolcu kapasitesi 30'dur.

Vagon kapasitesine

x

dediğimizde, tamamen dolu 6 vagonun her birinde

x

yolcu, diğer 6 vagonun her birinde ise

x - 10

yolcu bulunur. Trendeki toplam yolcu sayısı bu iki grubun toplamına eşit olduğundan

6x + 6(x-10) = 300

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

12x - 60 = 300 \implies 12x = 360 \implies x = 30

olarak bulunur. Dolayısıyla bir vagonun yolcu kapasitesi 30'dur.

Step-by-Step Solution

1

Değişken tanımlama ve vagonlardaki yolcu sayısını ifade etme

Bir vagonun kapasitesine

x

diyelim. Tamamen dolu olan 6 vagonun her birinde

x

yolcu bulunur. Geri kalan 6 vagonun her birinde 10 koltuk boş olduğundan, bu vagonların her birinde

x - 10

yolcu bulunur.

Problemi cebirsel olarak modellemek için bilinmeyen kapasiteyi bir değişkenle ifade etmemiz gerekir.

2

Toplam yolcu sayısı denklemini kurma

Toplam yolcu sayısı:

6 \cdot x + 6 \cdot (x - 10) = 300

olur.

Dolu vagonlar ile boşluğu olan vagonlardaki yolcu sayılarının toplamının, trendeki toplam yolcu sayısı olan 300'e eşitlenmesi gerekir.

3

Denklemi çözme

6x + 6x - 60 = 300 \implies 12x - 60 = 300 \implies 12x = 360 \implies x = 30

bulunur.

Bilinmeyeni yalnız bırakarak bir vagonun kapasitesini hesaplamak için toplama ve bölme işlemleri uygulanır.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri birinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürme ve çözme.

Estimated Time:1m 0s

Question 26Question →

Bir kargo firmasında çalışan Ahmet ve Barış, gün boyunca toplam $80$ paket teslim etmiştir. Ahmet'in teslim ettiği paket sayısı, Barış'ın teslim ettiği paket sayısının $3$ katından $4$ eksiktir. Buna göre, Ahmet gün boyunca kaç paket teslim etmiştir?

21

28

59

60

61

Show answer & explanation

Answer: $59$

Answer

Ahmet'in teslim ettiği paket sayısı 59'dur.

Barış'ın paket sayısına

x

dendiğinde Ahmet'in paket sayısı

3x - 4

olur. Toplam paket sayısı

x + (3x - 4) = 80

denklemini verir. Buradan

4x - 4 = 80 \implies 4x = 84 \implies x = 21

bulunur. Ahmet'in paket sayısı ise

3(21) - 4 = 59

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Barış'ın teslim ettiği paket sayısına

x

diyelim. Bu durumda Ahmet'in teslim ettiği paket sayısı, Barış'ınkinin

3

katından

4

eksik olduğu için

3x - 4

olur.

Değişkenler belirlendi: Barış =

x

, Ahmet =

3x - 4

.

Problemdeki sözel ifadeyi cebirsel olarak göstermek için.

2

İkisinin teslim ettiği toplam paket sayısı

80

olduğuna göre, bu iki ifadeyi toplayıp

80

'e eşitleyelim:

x + (3x - 4) = 80

.

Denklem kuruldu:

4x - 4 = 80

.

Toplam paket miktarını veren denklemi oluşturmak için.

3

Elde edilen denklemi çözelim:

4x = 84 \implies x = 21

buluruz. Bu değer Barış'ın teslim ettiği paket sayısıdır. Ahmet'in paket sayısını bulmak için

3x - 4

ifadesinde

x

yerine

21

yazalım:

3(21) - 4 = 63 - 4 = 59

elde edilir.

Ahmet'in paket sayısı 59 olarak bulunur.

Soruda istenen Ahmet'in paket sayısına ulaşmak için.

Key Concept

Sayı problemlerinde sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dönüştürme ve birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözme.

Alternative Method

Ahmet ve Barış'ın paket sayıları toplamı 80'dir. Seçeneklerdeki Ahmet'in paket sayısı (A) için Barış'ın paket sayısı 80 - A olur. Ahmet'in paket sayısı Barış'ınkinin 3 katından 4 eksik olduğuna göre A = 3(80 - A) - 4 denklemi kurulup çözülebilir.

Estimated Time:1m 0s

Question 27Question →

Bir e-ticaret sitesi; $A$ , $B$ ve $C$ ürünlerini sipariş miktarlarına göre aşağıdaki kurallarla kolilemektedir:

* Her kolide ya yalnızca tek bir ürün çeşidi (sadece $A$ , sadece $B$ veya sadece $C$ ) ya da üç üründen de birer tane ( $A$ , $B$ ve $C$ birlikte) bulunmaktadır.
* Sadece $A$ ürünü içeren bir kolide 12 adet $A$ ürünü vardır.
* Sadece $B$ ürünü içeren bir kolide 8 adet $B$ ürünü vardır.
* Sadece $C$ ürünü içeren bir kolide 6 adet $C$ ürünü vardır.
* $A$ , $B$ ve $C$ ürünlerinden birer tane içeren bir kolide ise toplam 3 ürün bulunmaktadır.

Belirli bir günde paketlenen toplam koli say��sı 90'dır. Bu kolilerde bulunan toplam $B$ ürünü sayısı, toplam $C$ ürünü sayısının 2 katıdır. Paketlenen toplam $A$ ürünü sayısı ise 260'tır.

Buna göre, bu günde paketlenen kolilerden sadece $B$ ürünü içeren koli sayısı en çok kaç olabilir?

25

30

31

37

43

Show answer & explanation

Answer: 37

Answer

Sadece B ürünü içeren koli sayısı en çok 37 olabilir.

Doğru cevap, koli sayılarının negatif olamayacağı sınır koşulundan hareketle

x_A

değerinin en fazla 21 seçilebilmesi ve bu durumda

x_B = 6x_A - 89

bağıntısından sadece

B

ürünü içeren koli sayısının en çok 37 olarak hesaplanmasıdır.

Step-by-Step Solution

1

Koli çeşitlerine göre değişkenleri tanımlama

Sadece

A

içeren koli sayısı

x_A

, sadece

B

içeren koli sayısı

x_B

, sadece

C

içeren koli sayısı

x_C

ve ortak (

A, B, C

) koli sayısı

y

olsun. Toplam koli sayısı:

x_A + x_B + x_C + y = 90

olur.

Soru içerisindeki verileri matematiksel olarak modellemek amacıyla koli sayıları değişkenlerle ifade edilmiştir.

2

Ürün miktarları arasındaki ilişkileri denklem olarak yazma

Toplam

A

ürünü sayısı:

12x_A + y = 260

olur.
Toplam

B

ürünü sayısı:

8x_B + y

olur.
Toplam

C

ürünü sayısı:

6x_C + y

olur.

B

ürünlerinin toplam sayısının,

C

ürünlerinin toplam sayısının 2 katı olduğu verilmiştir:

8x_B + y = 2(6x_C + y) \implies 8x_B + y = 12x_C + 2y \implies 8x_B - 12x_C = y

elde edilir.

Ürün adetleri arasındaki kısıtlamaları kullanarak

y

ile

x_B

ve

x_C

arasındaki ilişkiyi kurmak.

3

Denklem sistemini çözerek değişkenleri tek bir değişkene indirgeme

y = 260 - 12x_A

ifadesi toplam koli denkleminde yerine yazılırsa:

x_A + x_B + x_C + (260 - 12x_A) = 90 \implies x_B + x_C = 11x_A - 170

(I. denklem) olur.
Diğer yandan,

y = 8x_B - 12x_C = 260 - 12x_A \implies 2x_B - 3x_C = 65 - 3x_A

(II. denklem) elde edilir.
Bu iki denklem ortak çözüldüğünde:

x_C = 11x_A - 170 - x_B

ifadesi II. denklemde yerine yazılırsa:

2x_B - 3(11x_A - 170 - x_B) = 65 - 3x_A \implies 5x_B - 33x_A + 510 = 65 - 3x_A \implies 5x_B = 30x_A - 445 \implies x_B = 6x_A - 89

bulunur.
Buradan

x_C = 5x_A - 81

elde edilir.

Farklı koli sayıları arasındaki ilişkileri tek bir bağımsız değişken (

x_A

) cinsinden ifade edip analiz edilebilir hale getirmek.

4

Değişkenlerin sınır koşullarını belirleme ve en büyük değeri hesaplama

Tüm koli adetleri fiziksel olarak pozitif tam sayı veya sıfır olmalıdır (

x_A, x_B, x_C, y \ge 0

):
1)

y \ge 0 \implies 260 - 12x_A \ge 0 \implies 12x_A \le 260 \implies x_A \le 21

(çünkü

x_A

tam sayıdır).
2)

x_C \ge 0 \implies 5x_A - 81 \ge 0 \implies 5x_A \ge 81 \implies x_A \ge 17

.
Bu durumda

17 \le x_A \le 21

olmalıdır.
Sadece

B

ürünü içeren koli sayısı

x_B = 6x_A - 89

olduğuna göre, bu değerin en büyük olması için en büyük

x_A = 21

seçilmelidir:

x_B = 6(21) - 89 = 126 - 89 = 37

bulunur.

Koli adetlerinin negatif olamayacağı sınır şartını uygulayarak, en büyük

x_B

tam sayı değerini belirlemek.

Key Concept

Doğrusal denklem sistemleri kurma, kısıtlayıcı sınırlar altında tamsayı optimizasyonu yapma.

Estimated Time:3m 0s

Question 28Question →

Bir tur şirketi, düzenleyeceği bir gezi için A, B ve C otobüs firmalarıyla anlaşmıştır. Bu firmaların otobüs kapasiteleri ve otobüs başına talep ettikleri ücretler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Firma	Otobüs Kapasitesi (Kişi)	Otobüs Başına Ücret (TL)
A	30	4500
B	40	5600
C	50	6800

Tur şirketi, geziye katılacak $N$ kişi için bu firmalardan otobüsler kiralayacaktır. Şirket, kiraladığı otobüslerdeki tüm koltukların tamamen dolmasını ve hiç boş koltuk kalmamasını istemektedir.

Aşağıdaki tabloda, bu koşulu sağlayan bazı katılımcı sayıları için ödenecek en az toplam ücretler verilmiştir:

* 120 kişi için en az toplam ücret: $X$ TL
* 130 kişi için en az toplam ücret: $Y$ TL
* 170 kişi için en az toplam ücret: $Z$ TL

Buna göre, $X + Y + Z$ toplam�� kaç TL'dir?

57200

58400

58500

58700

59800

Show answer & explanation

Answer: 58400

Answer

58400

Doğru yanıt olan 58400 değeri, her üç katılımcı grubu için de tamsayı sınırlamaları altında denklem çözülerek elde edilen en düşük maliyetlerin (16800, 18000 ve 23600) toplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kişi sayısının otobüs kapasitelerine tam bölünmesi koşulu matematiksel olarak ifade edilir.

30a + 40b + 50c = N

denklemi kurulur. Her iki taraf 10 ile bölünerek

3a + 4b + 5c = \frac{N}{10}

sadeleşmiş denklemi elde edilir. Burada

a, b, c

sırasıyla A, B, C firmalarından kiralanan otobüs sayılarıdır ve negatif olmayan tam sayılardır.

Kiralama işleminin tam sayı kısıtları altında yapılması gerektiğinden, problem bir Diophantus denklemi olarak modellenmelidir.

2

120 kişi için en az toplam ücret (

X

) hesaplanır.

N = 120

için denklem

3a + 4b + 5c = 12

olur.

c=2

için tamsayı çözümü yoktur.

c=1

için

3a + 4b = 7 \Rightarrow (a,b)=(1,1)

olup maliyet

4500(1) + 5600(1) + 6800(1) = 16900

TL'dir.

c=0

için

3a + 4b = 12 \Rightarrow (a,b)=(4,0)

için maliyet 18000 TL,

(a,b)=(0,3)

için maliyet

3 \times 5600 = 16800

TL'dir. Buradan en az ücret

X = 16800

TL olarak bulunur.

120 katılımcıyı tam olarak taşıyacak en ucuz otobüs kombinasyonu belirlenir.

3

130 kişi için en az toplam ücret (

Y

) hesaplanır.

N = 130

için denklem

3a + 4b + 5c = 13

olur.

c=2

için

3a + 4b = 3 \Rightarrow (a,b)=(1,0)

olup maliyet

4500 + 2 \times 6800 = 18100

TL'dir.

c=1

için

3a + 4b = 8 \Rightarrow (a,b)=(0,2)

olup maliyet

2 \times 5600 + 6800 = 18000

TL'dir.

c=0

için

3a + 4b = 13 \Rightarrow (a,b)=(3,1)

olup maliyet

3 \times 4500 + 5600 = 19100

TL'dir. Buradan en az ücret

Y = 18000

TL olarak bulunur.

130 katılımcıyı tam olarak taşıyacak en ucuz otobüs kombinasyonu belirlenir.

4

170 kişi için en az toplam ücret (

Z

) hesaplanır.

N = 170

için denklem

3a + 4b + 5c = 17

olur.

c=3

için tamsayı çözümü yoktur.

c=2

için

3a + 4b = 7 \Rightarrow (a,b)=(1,1)

olup maliyet

4500 + 5600 + 2 \times 6800 = 23700

TL'dir.

c=1

için

3a + 4b = 12 \Rightarrow (a,b)=(0,3)

için maliyet

3 \times 5600 + 6800 = 23600

TL'dir.

c=0

için

3a + 4b = 17 \Rightarrow (a,b)=(3,2)

için maliyet

3 \times 4500 + 2 \times 5600 = 24700

TL'dir. Buradan en az ücret

Z = 23600

TL olarak bulunur.

170 katılımcıyı tam olarak taşıyacak en ucuz otobüs kombinasyonu belirlenir.

5

Hesaplanan minimum ücretler toplanır.

X + Y + Z = 16800 + 18000 + 23600 = 58400

TL elde edilir.

Soruda bizden istenen toplam değere ulaşılır.

Key Concept

Sayı problemlerinde denklem kurma ve kısıtlar altında en küçükleme (optimizasyon) yapma

Alternative Method

Kişi başına düşen ücretler A için 150 TL, B için 140 TL, C için 136 TL'dir. Koltukların tamamen dolması kısıtı altında, C firmasının birim ücretinin en az olmasına güvenerek doğrudan C odaklı çözümler aramak yerine, her durum için uygun kombinasyonlar listelenerek maliyetler doğrudan kıyaslanabilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 29Question →

Bir kırtasiyeci, elindeki 80 adet defteri ikişerli ve üçerli paketler hâlinde gruplandırarak paketlemiştir. Toplam paket sayısı 30 olduğuna göre, ikişerli paket sayısı kaçtır?

15

18

10

12

20

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İkişerli paket sayısı 10'dur.

İkişerli paket sayısı

x

, üçerli paket sayısı

y

olarak seçilirse, paket sayısından

x + y = 30

ve defter sayısından

2x + 3y = 80

elde edilir. Birinci denklem

-2

ile genişletilip ikinci denklem ile toplandığında

y = 20

ve dolayısıyla

x = 10

bulunur. Bu nedenle doğru cevap 10'dur.

Step-by-Step Solution

1

Bilinmeyenlerin tanımlanması

İkişerli paket sayısı

x

, üçerli paket sayısı

y

olsun.

Problemi çözmek için değişkenleri belirlememiz gerekir.

2

Denklem sisteminin kurulması

Toplam paket sayısı:

x + y = 30

Toplam defter sayısı:

2x + 3y = 80

Verilen iki ilişkiyi matematiksel denklemlere dönüştürürüz.

3

Denklem sisteminin çözülmesi

İlk denklemi

-2

ile çarpıp taraf tarafa toplarsak:

-2x - 2y = -60

2x + 3y = 80

Buradan

y = 20

bulunur.

x + y = 30

denkleminde

y

yerine 20 yazıldığında

x = 10

elde edilir.

Yok etme metodunu kullanarak ikişerli paket sayısına ulaşırız.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla sayı problemlerini çözme.

Estimated Time:1m 0s

Question 30Question →

Bir kitabın sayfalarını 1'den başlayarak numaralandırmak için toplam 189 adet rakam kullanılmıştır. Buna göre, bu kitap kaç sayfadır?

90

94

99

180

69

Show answer & explanation

Answer: 99

Answer

Kitap 99 sayfadır.

Kitabın ilk 9 sayfası tek basamaklı sayılardan (1-9) oluşur ve toplam 9 rakam harcanır. Geriye kalan 180 rakam ise iki basamaklı sayfa numaraları (10-99) için kullanılır. İki basamaklı her bir sayfa numarası için 2 rakam gerektiğinden, iki basamaklı toplam sayfa sayısı 180 / 2 = 90 olur. Böylece kitabın toplam sayfa sayısı 9 + 90 = 99 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Tek basamaklı sayfalar için kullanılan rakam sayısını belirleme.

1'den 9'a kadar olan 9 sayfanın her biri için 1 rakam kullanıldığından toplam 9 rakam kullanılmışt��r.

Sayfa numaralandırma 1'den başlar ve tek basamaklı sayılar 9'a kadar sürer.

2

İki basamaklı sayfa numaraları için kalan rakam sayısını bulma.

189 - 9 = 180 rakam kalmıştır.

Toplam rakam sayısından tek basamaklı sayfalar için kullanılan rakamlar çıkarılır.

3

İki basamaklı sayfa sayısını ve toplam sayfa sayısını hesaplama.

Her iki basamaklı sayfa için 2 rakam kullanıldığından 180 / 2 = 90 adet iki basamaklı sayfa vardır. Toplam sayfa sayısı 9 + 90 = 99 sayfadır.

10'dan başlayan sayfa numaraları ikişer rakamdan oluşur ve toplam sayfa sayısı tek basamaklı ile iki basamaklı sayfaların toplamıdır.

Key Concept

Sayı problemlerinde gruplandırma ve basamak sayılarına göre rakam kullanım hesabı yapma.

Estimated Time:50s

Question 31Question →

Deniz, cep telefonundaki adım sayar uygulamasında hafta içi her gün eşit sayıda, hafta sonu ise hafta içi her bir günde attığı adım sayısının $2$ katı kadar adım atmaktadır.

Deniz'in bir haftada attığı toplam adım sayısı $81.000$ olduğuna göre, bir hafta sonu gününde attığı adım sayısı kaçtır?

9.000

27.000

18.000

36.000

45.000

Show answer & explanation

Answer: $18.000$

Answer

Bir hafta sonu gününde atılan adım sayısı

18.000

olmalıdır.

Hafta içi her bir gün için

x

adım atıldığı kabul edilirse hafta içi toplam

5x

adım atılır. Hafta sonu her bir gün için bunun 2 katı, yani

2x

adım atılacağından hafta sonu toplam

2 \times 2x = 4x

adım atılır. Bir haftadaki toplam adım sayısı

5x + 4x = 9x = 81.000

eşitliğinden

x = 9.000

olarak bulunur. Bir hafta sonu gününde atılan adım sayısı ise

2x

olduğundan,

2 \times 9.000 = 18.000

olur.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin tanımlanması ve günlerin belirlenmesi

Hafta içi bir günde atılan adım sayısı

x

olsun. Bu durumda hafta sonu bir günde atılan adım sayısı

2x

olur.

Hafta sonu atılan adım sayısının hafta içi atılanın

2

katı olduğu belirtilmiştir.

2

Bir haftalık toplam adım sayısının denklem olarak yazılması

Haftalık toplam adım sayısı:

5 \cdot x + 2 \cdot (2x) = 5x + 4x = 9x

olur. Buradan

9x = 81.000

denklemi elde edilir.

Bir haftada 5 hafta içi ve 2 hafta sonu günü vardır.

3

Denklemin çözülmesi ve istenen değerin hesaplanması

9x = 81.000 \implies x = 9.000

bulunur. İstenen bir hafta sonu günündeki adım sayısı

2x = 2 \cdot 9.000 = 18.000

olarak hesaplanır.

Bilinmeyen

x

değeri bulunduktan sonra hafta sonu gününe ait adım sayısı olan

2x

ifadesi hesaplanır.

Key Concept

Bilinmeyenli denklem kurarak sayı problemlerini çözme

Question 32Question →

Selim, bir kırtasiyeden tanesi $15$ TL olan kurşun kalemlerden ve tanesi $25$ TL olan tükenmez kalemlerden toplam 12 adet satın almıştır. Selim'in bu alışveriş için ödediği toplam tutar en fazla $230$ TL olduğuna göre, Selim en az kaç adet kurşun kalem satın almıştır?

5

6

7

8

9

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Kurşun kalem sayısı en az 7 olmalıdır.

Toplam kurşun kalem sayısı

x

olarak alındığında, tükenmez kalem sayısı

12 - x

olur. Toplam harcama tutarı en fazla 230 TL olduğundan

15x + 25(12 - x) \leq 230

eşitsizliği yazılır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde

-10x \leq -70

elde edilir. Her iki taraf

-10

ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek

x \geq 7

sonucuna ulaşılır. Kurşun kalem sayısı en az 7 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Bilinmeyenleri tanımlama ve eşitsizliği kurma

Kurşun kalem sayısı

x

olsun. Bu durumda tükenmez kalem sayısı

12 - x

olur. Toplam tutarı veren ifade:

15x + 25(12 - x) \leq 230

şeklindedir.

Alışveriş tutarının en fazla

230

TL olmasını matematiksel olarak ifade etmek için eşitsizlik kurulur.

2

Eşitsizliği sadeleştirme ve çözme

15x + 300 - 25x \leq 230 \Rightarrow -10x + 300 \leq 230 \Rightarrow -10x \leq -70

elde edilir.

Değişkenleri bir araya getirerek

x

değerini yalnız bırakmak amaçlanır.

3

Eşitsizlik yönünü değiştirerek sonucu bulma

-10x \leq -70

eşitsizliğinin her iki tarafı

-10

ile bölündüğünde yön değiştirir ve

x \geq 7

bulunur.

Negatif bir sayıya bölme işlemi yapıldığından eşitsizlik yön değiştirir. Kurşun kalem sayısı adet belirttiği için bir tam sayı olmalıdır ve en az 7 olabilir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik yardımıyla sayı problemlerini çözme

Question 33Question →

Bir bilgisayar oyununda yan yana dizilmiş 120 adet basamak bulunmaktadır. Bu oyundaki bir karakter başlangıçta 1. basamakta durmaktadır. Karakterin hareket kuralları şu şekildedir:

* İleriye doğru attığı her adımda ya $5$ basamak ya da $8$ basamak ileri gitmektedir.
* Geriye doğru attığı her adımda ya $3$ basamak ya da $7$ basamak geri gitmektedir.
* Karakterin oyun boyunca 1. basamaktan daha geriye gitmesi veya 120. basamaktan daha ileriye gitmesi yasaktır.

Karakter toplam 15 adım atarak tekrar başladığı 1. basamağa döndüğüne göre, oyun boyunca bastığı tüm basamakların (başlangıçtaki ve her adımdan sonraki basamaklar dahil) numaraları toplamı en fazla kaç olabilir?

394

406

436

420

435

Show answer & explanation

Answer: 436

Answer

Maksimum basamak numaraları toplamı 436 olmalıdır.

Doğru cevap olan 436 değeri; karakterin atabileceği izin verilen adım kombinasyonları (

7

adet

+8

ve

8

adet

-7

adımı) belirlendikten sonra, basamak numaraları toplamını maksimize etmek amacıyla tüm ileri adımların en başta ve tüm geri adımların en sonda atılmasıyla elde edilen basamak değerlerinin toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenlerin tanımlanması ve denklem sisteminin kurulması

İleri atılan

5

ve

8

basamaklık adım sayıları sırasıyla

x_1

ve

x_2

; geri atılan

3

ve

7

basamaklık adım sayıları sırasıyla

y_1

ve

y_2

olsun. Bu durumda toplam adım sayısı:

x_1 + x_2 + y_1 + y_2 = 15

olur. Net yer değiştirme sıfır olduğundan:

5x_1 + 8x_2 - 3y_1 - 7y_2 = 0

denklemi elde edilir.

Karakterin toplam adım sayısı ve başlangıç noktasına geri dönmesi koşullarını matematiksel olarak ifade etmek gerekir.

2

Diophant denklem sisteminin sadeleştirilmesi

y_2 = 15 - x_1 - x_2 - y_1

ifadesini yer değiştirme denkleminde yerine yazalım:

5x_1 + 8x_2 - 3y_1 - 7(15 - x_1 - x_2 - y_1) = 0 \Rightarrow 12x_1 + 15x_2 + 4y_1 = 105

denklemi bulunur.

Bilinmeyen sayısını azaltarak tam sayı çözümlerini bulmayı kolaylaştırmak hedeflenir.

3

Denklem çözümlerinin analizi

12x_1 + 15x_2 + 4y_1 = 105

denkleminde

12x_1, 15x_2

ve

105

sayıları

3

'ün katı olduğundan

4y_1

de

3

'ün katı olmalıdır. Buradan

y_1 = 3k

(

k \geq 0

) yazılabilir. Denklem

3

ile sadeleştirilirse:

4x_1 + 5x_2 + 4k = 35 \Rightarrow 4(x_1 + k) + 5x_2 = 35

olur.

5x_2 \leq 35 \Rightarrow x_2 \leq 7

ve

5x_2 \equiv 35 \equiv 3 \pmod 4 \Rightarrow x_2 \equiv 3 \pmod 4

olmalıdır. Bu koşulu sağlayan

x_2

değerleri

7

ve

3

'tür.

Tam sayı katsayılı denklemin modüler aritmetik özellikleri kullanılarak tüm olası adım kombinasyonları tespit edilir.

4

Adım kombinasyonlarının belirlenmesi

Eğer

x_2 = 7

ise,

4(x_1 + k) = 0 \Rightarrow x_1 = 0

ve

k = 0 \Rightarrow y_1 = 0

olur. Buradan

y_2 = 15 - 7 = 8

bulunur. (Kombinasyon: 7 adet +8, 8 adet -7). Eğer

x_2 = 3

ise,

4(x_1 + k) = 20 \Rightarrow x_1 + k = 5

olur. Buradan

y_1 = 3k

için farklı çözümler (

x_1=5, y_1=0, y_2=7

vb.) üretilebilir.

Maksimum basamak değerini verebilecek aday adım sayı grupları netleştirilir.

5

Sıralama optimizasyonu ve basamak toplamının hesaplanması

Basamak numaralarının toplamını en büyük yapmak için en büyük ileri adımlar en önce, geri adımlar ise en sonda atılmalıdır. 7 adet +8 ve 8 adet -7 adımı için en yüksek sıralama:

7

kez +8, ardından

8

kez -7 adımıdır. Bu durumda basamak sıralaması:

S_0 = 1

,

S_1 = 9

,

S_2 = 17

,

S_3 = 25

,

S_4 = 33

,

S_5 = 41

,

S_6 = 49

,

S_7 = 57

,

S_8 = 50

,

S_9 = 43

,

S_{10} = 36

,

S_{11} = 29

,

S_{12} = 22

,

S_{13} = 15

,

S_{14} = 8

,

S_{15} = 1

olur. Bu basamakların tamamı

[1, 120]

aralığında kaldığından kurallara uygundur. Toplamları ise:

1+9+17+25+33+41+49+57+50+43+36+29+22+15+8+1 = 436

bulunur. Diğer kombinasyonlar incelendiğinde daha küçük toplamlar elde edilir.

Prefix toplamlarını en yüksek seviyede tutacak şekilde sıralama yapılarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Sayı ve denklem kurma problemleri ile Diophant denklemleri kullanarak optimizasyon yapma.

Estimated Time:3m 0s

Question 34Question →

Bir manavda elmalar $3$ kilogramlık, portakallar ise $5$ kilogramlık paketler hâlinde satılmaktadır. Bu manavdan toplam $14$ paket elma ve portakal alan bir müşteri, toplam $58$ kilogram meyve almıştır.

Buna göre, bu müşteri kaç paket elma satın almıştır?

4

5

6

8

9

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Müşteri

6

paket elma satın almıştır.

Toplam elma paketi sayısına

x

denilirse, portakal paketi sayısı

14-x

olur. Toplam ağırlık olan

3x + 5(14-x) = 58

denklemi çözüldüğünde

x = 6

olarak elde edilir. Bu nedenle doğru cevap altı paket elma satın alındığını belirten seçenektir.

Step-by-Step Solution

1

Elma paketi sayısına

x

diyelim. Toplam

14

paket alındığına göre portakal paketi sayısı

14 - x

olur.

Elma paketi sayısı

x

, portakal paketi sayısı

14 - x

olarak belirlenir.

Bilinmeyenleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek denklemi kolayca çözmemizi sağlar.

2

Paketlerin ağırlıklarını kullanarak toplam ağırlığı veren denklemi kuralım:

3 \cdot x + 5 \cdot (14 - x) = 58

.

3x + 70 - 5x = 58 \implies 70 - 2x = 58

denklemi elde edilir.

Toplam meyve ağırlığının

58

kilogram olduğu bilgisini matematiksel olarak modellemek gerekir.

3

Elde edilen denklemi çözerek

x

değerini bulalım:

70 - 58 = 2x \implies 12 = 2x \implies x = 6

.

x = 6

bulunur.

Bilinmeyen elma paketi sayısını bulmak için denklemi çözeriz.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem yardımıyla sayı problemi çözme.

Estimated Time:1m 0s

Question 35Question →

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda A, B ve C olmak üzere üç farklı tipte toplam $60$ adet şarj ünitesi bulunmaktadır. Bu ünitelerin her birinin $1$ saatlik elektrik tüketimi sırasıyla $10\text{ kWh}$ , $25\text{ kWh}$ ve $15\text{ kWh}$ 'tir.

Bu istasyonla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* İstasyondaki her bir tip şarj ünitesinden en az birer adet bulunmaktadır.
* İstasyondaki tüm şarj üniteleri aynı anda ve tam kapasiteyle $4$ saat çalıştırıldığında toplam $3800\text{ kWh}$ elektrik enerjisi tüketilmektedir.
* B tipi şarj ünitesi sayısı, A tipi şarj ünitesi sayısından fazladır.

Buna göre, bu istasyondaki C tipi şarj ünitesi sayısı en fazla kaç olabilir?

40

46

49

52

55

Show answer & explanation

Answer: 52

Answer

C tipi şarj ünitesi sayısı en fazla 52 olabilir.

C tipi şarj ünitesi sayısının 52 olması durumunda, A tipi ünite sayısı 2, B tipi ünite sayısı ise 6 olur. Bu durum, toplam ünite sayısının 60 olması, toplam elektrik tüketiminin 4 saatte 3800 kWh olması ve B tipi ünite sayısının A tipi ünite sayısından fazla olması koşullarının tamamını sağlar. Yapılan sınır analizi sonucunda, bu koşulları sağlayan en büyük C tipi ünite sayısı 52 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İstasyondaki A, B ve C tipi şarj ünitelerinin sayılarını sırasıyla

a

,

b

ve

c

olarak belirleyip denklem sistemini kuralım.

a + b + c = 60

ve

4 \cdot (10a + 25b + 15c) = 3800

denklemleri elde edilir. İkinci denklem düzenlendiğinde

10a + 25b + 15c = 950 \implies 2a + 5b + 3c = 190

olur.

Soruda verilen toplam ünite sayısı ve 4 saatlik toplam elektrik tüketimini matematiksel olarak ifade etmek için.

2

Elde edilen iki bilinmeyenli denklemden

a

değişkenini yok ederek

b

ve

c

arasındaki ilişkiyi bulalım.

a = 60 - b - c

ifadesini

2a + 5b + 3c = 190

denkleminde yerine yazarsak,

2(60 - b - c) + 5b + 3c = 190 \implies 120 - 2b - 2c + 5b + 3c = 190 \implies 3b + c = 70

bulunur.

Değişken sayısını azaltıp

b

ve

c

arasındaki bağımlılığı incelemek için.

3

Bulunan

3b + c = 70

eşitliğinden

b

ve

a

değerlerini

c

cinsinden ifade edelim.

b = \frac{70 - c}{3}

ve

a = 60 - b - c = 60 - \frac{70-c}{3} - c = \frac{110 - 2c}{3}

elde edilir.

b > a

eşitsizliğini ve pozitif tam sayı olma koşullarını

c

değişkeni üzerinden inceleyebilmek için.

4

b > a

koşulunu ve

a \ge 1

koşulunu kullanarak

c

için değer aralığı belirleyelim.

b > a \implies \frac{70 - c}{3} > \frac{110 - 2c}{3} \implies 70 - c > 110 - 2c \implies c > 40

elde edilir. Ayrıca

a \ge 1 \implies \frac{110 - 2c}{3} \ge 1 \implies 110 - 2c \ge 3 \implies 2c \le 107 \implies c \le 53.5

elde edilir.

C tipi şarj ünitesi sayısının alabileceği sınır değerleri belirlemek için.

5

40 < c \le 53.5

aralığında,

b

ve

a

değerlerini tam sayı yapacak en büyük

c

tam sayısını bulalım.

b = \frac{70 - c}{3}

ifadesinin tam sayı olması için

70 - c

ifadesi 3'ün katı olmalıdır. Bu koşulu sağlayan ve belirlenen aralıkta olan

c

değerleri

43, 46, 49, 52

'dir. Bunlar arasından en büyük olan

c = 52

olarak bulunur.

Şarj ünitesi sayılarının tam sayı olması gerektiğinden, sınır koşulları altındaki en büyük tam sayı değerine ulaşmak için.

Key Concept

Sayı Problemlerinde Denklem Kurma ve Sınır Değer Analizi

Estimated Time:3m 0s

Question 36Question →

Bir toplantı salonundaki davetliler, masalara dörderli oturduklarında $6$ davetli ayakta kalıyor. Beşerli oturduklarında ise $2$ masa tamamen boş kalıyor.

Buna göre, bu salondaki toplam davetli sayısı kaçtır?

38

58

70

78

16

Show answer & explanation

Answer: 70

Answer

Toplam davetli sayısı 70'tir.

Toplam davetli sayısını bulmak için masa sayısını

x

olarak belirleriz. Dörderli oturma düzeninde

6

kişi ayakta kaldığı için davetli sayısı

4x + 6

olur. Beşerli oturma düzeninde

2

masa boş kaldığı için davetli sayısı

5(x - 2)

olur. Bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek

4x + 6 = 5(x - 2) \Rightarrow 4x + 6 = 5x - 10 \Rightarrow x = 16

buluruz. Masa sayısı yerine yazıldığında toplam davetli sayısı

70

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Salondaki masa sayısına bir değişken atayarak her iki durum için davetli sayısı bağıntılarını yazalım.

Masa sayısı

x

olsun. Dörderli oturma durumunda davetli sayısı

4x + 6

, beşerli oturma durumunda ise

2

masa boş kaldığından davetli sayısı

5(x - 2)

olur.

Sayı problemlerinde verilen sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dönüştürmek i��in ortak bir değişken tanımlanmalıdır.

2

Her iki durumdaki davetli sayıları birbirine eşit olduğundan bu iki ifadeyi eşitleyerek denklemi ��özelim.

4x + 6 = 5(x - 2) \Rightarrow 4x + 6 = 5x - 10 \Rightarrow x = 16

bulunur.

Salondaki masa sayısı ve davetli sayısı değişmediği için iki farklı durumun belirttiği davetli sayıları birbirine eşit olmalıdır.

3

Bulduğumuz masa sayısını (

x = 16

) davetli sayısı bağıntılarından birinde yerine yazarak toplam davetli sayısını hesaplayalım.

Davetli sayısı

= 4 \times 16 + 6 = 64 + 6 = 70

veya

5 \times (16 - 2) = 5 \times 14 = 70

olarak bulunur.

Soruda bizden masa sayısı değil, toplam davetli sayısı istenmektedir.

Key Concept

Sayı problemlerinde denklem kurma ve bilinmeyen yönetimi

Alternative Method

Denklem kurmadan da şu şekilde akıl yürütebiliriz: İkinci durumda

2

masa tamamen boş kalıyor. Eğer dörderli oturan davetlileri beşerli oturtmak istersek, her masaya

1

kişi eklememiz gerekir. İlk durumda ayakta kalan

6

kişi vardır. Ayrıca ikinci durumda boş kalan

2

masada oturan

2 \times 4 = 8

kişi de yerinden kalkıp diğer masalara dağıtılacaktır. Dağıtılacak toplam kişi sayısı

6 + 8 = 14

olur. Her masaya

1

kişi ekleyeceğimiz için bu

14

kişiyi dağıtmak için

14

masaya ihtiyaç vardır. Boş kalan

2

masa ile birlikte toplam masa sayısı

14 + 2 = 16

olur. Buradan toplam davetli sayısı

16 \times 4 + 6 = 70

bulunur.

Estimated Time:1m 0s

Question 37Question →

Bir okulda düzenlenen bilim şenli��i için okul bahçesine yan yana dizilen $A$ ve $B$ türü masaların toplam sayısı $45$ 'tir. Başlangıçta $A$ türü masaların her birine $3$ proje, $B$ türü masaların her birine ise $4$ proje yerleştirilmesi planlanmıştır.

Şenlik günü masaların yerleşimiyle ilgili aşağıdaki değişiklikler yapılmıştır:
- $A$ türü masaların yarısı şenlik alanından kaldırılmış ve bu masalara yerleştirilmesi planlanan tüm projeler, şenlik alanında kalan $A$ türü masalara her bir masada eşit sayıda proje olacak şekilde dağıtılmıştır.
- $B$ türü masaların bir kısmı şenlik alanından kaldırılmış ve kaldırılan $B$ türü masalara yerleştirilmesi planlanan tüm projeler, kalan $B$ türü masaların her birine $3$ 'er proje eklenecek şekilde dağıtılmıştır.

Son durumda şenlik alanında bulunan toplam masa sayısı $24$ olduğuna göre, şenlik alanındaki masalarda sergilenen toplam proje sayısı kaçtır?

84

150

156

168

177

Show answer & explanation

Answer: 156

Answer

Toplam proje sayısı 156'dır.

Doğru cevap 156'dır. Başlangıçtaki A ve B masalarının sayıları sırasıyla

a

ve

b

olsun.

a + b = 45

ve son durumda kalan masa sayısı

x + y = 24

bilgileri kullanılarak kurulan denklem sisteminde, A masalarının yarısı kaldırıldığı için kalan A masası sayısı

x = a/2

olur. Kaldırılan B masalarındaki projelerin kalan B masalarına dağıtılmasından elde edilen

4(b-y) = 3y

denklemiyle birlikte sistem çözüldüğünde

a = 24

ve

b = 21

bulunur. Toplam proje sayısı başlangıçtaki projelerin toplamına eşit olup

3(24) + 4(21) = 156

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki masa sayılarını harflendirip toplam masa sayısı denklemini kurun.

Başlangıçtaki A masası sayısı

a

, B masası sayısı

b

olsun. Buradan

a + b = 45

elde edilir.

Masa sayıları arasındaki ilk ilişkiyi matematiksel olarak ifade etmek için.

2

Son durumdaki kalan masa sayıları ve projelerin dağıtımı arasındaki ilişkileri belirleyin.

A masalarının yarısı kaldırıldığı için

a

çift sayı olmalıdır. Kalan A masası sayısı

x = \frac{a}{2}

(yani

a = 2x

) olur. Kalan B masası sayısı

y

olsun. Kaldırılan B masası sayısı

b - y

olur. Kaldırılan masalardaki

4(b - y)

adet proje, kalan

y

masaya 3'er adet dağıtıldığından

4(b - y) = 3y \implies 4b = 7y

elde edilir.

A ve B masalarında gerçekleşen değişimleri ayrı ayrı modellemek için.

3

Son durumdaki toplam masa sayısını kullanarak denklem sistemini çözün.

Son durumdaki toplam masa sayısı

x + y = 24

'tür.

2x + b = 45

denkleminde

b = \frac{7}{4}y

yazılırsa

2x + \frac{7}{4}y = 45 \implies 8x + 7y = 180

elde edilir.

x + y = 24

denklemini

-7

ile çarpıp taraf tarafa topladığımızda

x = 12

ve

y = 12

bulunur.

Kalan masa sayılarını hesaplayıp başlangıçtaki masa sayılarına ulaşmak için.

4

Başlangıçtaki masa sayılarını bulun ve toplam proje sayısını hesaplayın.

a = 2x = 24

ve

b = \frac{7}{4}y = 21

bulunur. Projelerin tamamı sergilenmeye devam ettiği için toplam proje sayısı

3a + 4b = 3(24) + 4(21) = 72 + 84 = 156

olarak bulunur.

Hiçbir proje şenlikten çıkarılmadığı için toplam proje sayısı değişmemiştir.

Key Concept

Sayı ve Denklem Kurma Problemleri

Question 38Question →

Bir belediyenin işlettiği otoparkta uygulanan ücret tarifesi ve abonelik kartı yükleme avantajları aşağıda verilmiştir:

* Abonelik kart��na tek seferde yüklenen her $100$ TL için karta $15$ TL hediye bakiye tanımlanmaktadır.
* Otoparkta ilk $1$ saat park etmenin ücreti $20$ TL'dir.
* İlk $1$ saatten sonraki her bir saatlik park s��resi için ek olarak $12$ TL ücret alınmaktadır. Park edilen sürenin tam sayı olmayan kısımları bir üst saate yuvarlanarak ücretlendirilir (Örneğin; $1$ saat $15$ dakika park eden bir araç, $2$ saat kalmış gibi ücretlendirilir).

Abonelik kartı edinen ve başlangıçta kartında hiç bakiye bulunmayan Murat, bu otoparkı farklı günlerde toplam $6$ kez kullanmış ve her seferinde otoparkta tam sayı saat olarak kalmıştır. Murat, kartına tek seferde belirli bir miktar para yüklemiş ve bu $6$ kullanımın sonunda hediye bakiyeler dahil kartındaki tüm bakiyeyi sıfırlamıştır.

Murat'��n otoparkta kaldığı sürelerin toplamı $18$ saat olduğuna göre, Murat'ın kartına tek seferde yüklediği para miktarı kaç TL'dir?

219

230

234

249

264

Show answer & explanation

Answer: 234

Answer

Murat'ın kartına tek seferde yüklediği para miktarı 234 TL'dir.

Toplam otopark ücreti

264

TL olarak hesaplanır. Murat'ın kartına tek seferde yüklediği para miktarı

234

TL olduğunda, bu tutar içerisinde 2 adet tam

100

TL bulunduğundan

30

TL hediye bakiye kazanılır. Böylece karttaki toplam bakiye

234 + 30 = 264

TL olur ve harcama sonunda sıfırlanır.

Step-by-Step Solution

1

Murat'ın 6 farklı günde yaptığı otopark kullanımlarının sürelerini

t_1, t_2, \dots, t_6

olarak isimlendirip, her kullanımın maliyet formülünü oluşturmak.

Her bir

t_i

saatlik kullanım için ücret:

20 + (t_i - 1) \times 12 = 12t_i + 8

TL'dir.

İlk saat için

20

TL sabit ücret alınırken, sonraki saatler için saat başına

12

TL eklenmektedir.

2

6 günlük toplam kullanım süresi olan

18

saati kullanarak toplam otopark maliyetini hesaplamak.

Toplam maliyet =

(12t_1 + 8) + \dots + (12t_6 + 8) = 12(t_1 + \dots + t_6) + 48 = 12 \times 18 + 48 = 264

TL.

Toplam park süresi 18 saat olduğundan ve 6 kez giriş yapıldığından toplam maliyet kalış sürelerinin tek tek nasıl dağıldığından bağımsızdır.

3

Yüklenen para miktarı

X

ile kazanılan hediye bakiye ilişkisini kurup

X

'i bulmak.

X + 15 \times \lfloor X/100 \rfloor = 264

denklemi kurulur.

\lfloor X/100 \rfloor = 2

için

X = 234

TL bulunur.

\lfloor 234/100 \rfloor = 2

olduğundan denklem sağlanır.

Yüklenen para miktarı ve kazanılan hediyelerin toplamı, otoparkta harcanan toplam ücrete eşit olmalıdır.

Key Concept

Sayı problemlerinde doğrusal ilişki kurma ve basamaklı (adım fonksiyonu) artış gösteren değişkenleri denkleme dökme.

Question 39Question →

Bir kafede $3$ sandalyeli ve $4$ sandalyeli olmak üzere toplam $15$ masa bulunmaktadır.

Bu kafedeki masalarda bulunan toplam sandalye sayısı $52$ olduğuna göre, $3$ sandalyeli masa sayısı kaçtır?

6

7

8

9

10

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

3 sandalyeli masa sayısı 8'dir.

3 sandalyeli masa sayısı

x

olarak kabul edilirse,

4

sandalyeli masa sayısı

15 - x

olur. Toplam sandalye sayısı

3x + 4(15 - x) = 52

denkleminden elde edilir. Parantez dağıtıldığında

3x + 60 - 4x = 52

olur ve buradan

60 - x = 52

eşitliğiyle

x = 8

değerine ulaşılır. Bu nedenle 8 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Bilinmeyenleri belirleyip değişken atamak

3 sandalyeli masa sayısı

x

olsun. Toplam

15

masa olduğundan,

4

sandalyeli masa sayısı

15 - x

olur.

Soruda istenen değeri tek bilinmeyenli bir denklem yardımıyla çözebilmek için.

2

Toplam sandalye sayısına göre denklem kurmak

3x + 4(15 - x) = 52

denklemi elde edilir.

Masa sayıları ile masalardaki sandalye kapasitelerinin çarpımlarının toplamı, kafedeki toplam sandalye sayısını vermelidir.

3

Kurulan denklemi çözmek

3x + 60 - 4x = 52 \Rightarrow 60 - x = 52 \Rightarrow x = 8

bulunur.

Matematiksel işlemleri gerçekleştirerek bilinmeyen

x

değerine ulaşmak için.

Key Concept

Sayı Problemlerinde Denklem Kurma ve Çözme

Alternative Method

Tüm masaların 4 sandalyeli olduğu varsayılırsa toplam sandalye sayısı

15 \times 4 = 60

olurdu. Gerçek sandalye sayısı 52 olduğuna göre,

60 - 52 = 8

sandalye eksiktir. Her 3 sandalyeli masa için 4 sandalyeli masaya göre 1 sandalye eksildiğinden, 3 sandalyeli masa sayısı 8 olarak bulunur.

Estimated Time:1m 0s

Question 40Question →

Bir tarım kooperatifi, ortaklarından topladığı kırmızı ve yeşil mercimek paketlerini nakliye etmek amacıyla iki farklı boyuttaki kolilere yerleştirecektir. Kolilerin her birine konulabilecek maksimum paket sayıları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Koli Türü	Kırmızı Mercimek Paketi	Yeşil Mercimek Paketi
Küçük Koli	4	6
Büyük Koli	10	12

Kooperatif; elindeki toplam $180$ paket kırmızı mercimek ile $168$ paket yeşil mercimek paketinin tamamını, her koli tamamen dolu olacak ve kolilerde farklı türde mercimek paketleri karışık bulunmayacak şekilde yerleştirmiştir.

Kırmızı mercimekler için kullanılan toplam koli sayısı, yeşil mercimekler için kullanılan toplam koli sayısına eşit olduğuna göre, bu işlemde kullanılan toplam büyük koli sayısı en az kaçtır?

8

11

13

18

28

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Büyük kolilerin toplam sayısı en az 13 olmalıdır.

Kırmızı mercimek koli sayıları için

x_b = 2a

ve

x_k = 45 - 5a

; yeşil mercimek koli sayıları için

y_b = b

ve

y_k = 28 - 2b

bağıntıları elde edilir. Koli sayılarının eşitliğinden (

45 - 3a = 28 - b

)

b = 3a - 17

bulunur.

b \ge 0

olması gerektiğinden

a \ge 6

olur. Toplam büyük koli sayısı

2a + b = 5a - 17

olup

a = 6

için bu değer en az 13 olarak bulunur. Bu durumda tüm koli sayıları tam sayı ve negatif dışı şartları sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Kırmızı mercimek paketleri için kullanılan küçük (

x_k

) ve büyük (

x_b

) koli sayıları cinsinden denklem kurulur ve sadeleştirilir.

4x_k + 10x_b = 180 \implies 2x_k + 5x_b = 90

denklemine ulaşılır.

Toplam kırmızı mercimek paketi sayısı ile koli kapasiteleri arasındaki ilişkiyi kurmak için.

2

x_k

ve

x_b

değerlerinin tam sayı olma şartı kullanılarak genel çözüm parametresi belirlenir.

2x_k

çift olduğundan

5x_b

de çift olmalıdır. Buradan

x_b = 2a

(

a

negatif olmayan bir tam sayı) yazılırsa,

x_k = 45 - 5a

bulunur. Kırmızı mercimekler için kullanılan toplam koli sayısı

x_k + x_b = 45 - 3a

olur (

x_k \ge 0 \implies a \le 9

).

Koli sayılarının tam sayı olması gerektiğinden parametrik bir çözüm elde etmek için.

3

Yeşil mercimek paketleri için kullanılan küçük (

y_k

) ve büyük (

y_b

) koli sayıları cinsinden denklem kurulur, sadeleştirilir ve toplam koli sayısı ifade edilir.

6y_k + 12y_b = 168 \implies y_k + 2y_b = 28

denklemine ulaşılır.

y_b = b

(

b

negatif olmayan bir tam sayı) yazılırsa,

y_k = 28 - 2b

olur. Yeşil mercimekler için kullanılan toplam koli sayısı

y_k + y_b = 28 - b

olur (

y_k \ge 0 \implies b \le 14

).

Yeşil mercimek koli sayıları ile kırmızı mercimek koli sayıları arasında bağlantı kurmak için.

4

Kırmızı ve yeşil mercimekler için kullanılan toplam koli sayılarının eşitliği kullanılarak parametreler arası ilişki ve sınır değerleri belirlenir.

45 - 3a = 28 - b \implies b = 3a - 17

elde edilir.

b \ge 0

olması gerektiğinden

3a - 17 \ge 0 \implies 3a \ge 17 \implies a \ge 6

(tam sayı olarak) bulunur.

Koli sayılarının eşitliği ve pozitifliği üzerinden değişkenlerin alabileceği değer aralığını bulmak için.

5

Toplam büyük koli sayısını veren ifade oluşturulur ve en küçük değeri hesaplanır.

Toplam büyük koli sayısı

x_b + y_b = 2a + b = 2a + (3a - 17) = 5a - 17

olur. Bu ifadenin en küçük değeri için

a

yerine en küçük değeri olan

6

yazılırsa,

5(6) - 17 = 13

büyük koli elde edilir.

Büyük koli sayısını en aza indiren parametre değerini yerine koymak için.

Key Concept

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerinde tam sayı çözümleri ve optimizasyon problemleri.

Sayı Problemleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes