Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bir ABCABC üçgeninde m(BAC^)=45∘m(\widehat{BAC}) = 45^\circ ve m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ’dir. [AC][AC] kenarı üzerinde alınan bir DD noktası için [BD]⊥[AC][BD] \perp [AC] çiziliyor. ∣BD∣=6 cm|BD| = 6\text{ cm} olduğuna göre, AA noktasının BCBC doğrusuna olan en kısa uzaklığı kaç cm\text{cm}'dir?

  1. A
    66
  2. B
    6+236 + 2\sqrt{3}
  3. 3+333 + 3\sqrt{3}Cevap
  4. D
    6+636 + 6\sqrt{3}
  5. E
    33−33\sqrt{3} - 3

Cevap

3+333 + 3\sqrt{3} santimetredir.
ABCABC üçgeninin alanı, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Üçgenin alanı hem ACAC tabanı ve BDBD yüksekliği ile hem de BCBC tabanı ve bu tabana ait olan hh yüksekliği (AA noktasının BCBC doğrusuna olan en kısa uzaklığı) ile hesaplanabilir. Özel üçgen kurallarından ∣BC∣=12 cm|BC| = 12\text{ cm} ve ∣AC∣=6+63 cm|AC| = 6 + 6\sqrt{3}\text{ cm} bulunur. Alan eşitliğinden (6+63)×6=12×h(6 + 6\sqrt{3}) \times 6 = 12 \times h denklemi kurulur ve buradan h=3+33 cmh = 3 + 3\sqrt{3}\text{ cm} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde verilen açıları ve [BD][BD] yüksekliğini kullanarak oluşan dik üçgenleri belirlemek.
[BD]⊥[AC][BD] \perp [AC] çizildiğinde, üçgenin içinde ABDABD ve BCDBCD dik üçgenleri oluşur. m(BAC^)=45∘m(\widehat{BAC}) = 45^\circ olduğundan ABDABD üçgeni bir 45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ dik üçgenidir. m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ olduğundan BCDBCD üçgeni bir 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ dik üçgenidir.
Özel dik üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki bağıntıları kullanabilmek için.
2
BDDBDD dik üçgenlerinin kurallarını uygulayarak üçgenin kenar uzunluklarını hesaplamak.
∣BD∣=6 cm|BD| = 6\text{ cm} olarak verilmiştir. BCDBCD (30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ) üçgeninde 30∘30^\circ'nin karşısı ∣BD∣=6 cm|BD| = 6\text{ cm} ise, hipotenüs ∣BC∣=2×6=12 cm|BC| = 2 \times 6 = 12\text{ cm} ve 60∘60^\circ'nin karşısı ∣CD∣=63 cm|CD| = 6\sqrt{3}\text{ cm} olur. ABDABD (45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ) ikizkenar dik üçgeninde ise ∣AD∣=∣BD∣=6 cm|AD| = |BD| = 6\text{ cm} ve hipotenüs ∣AB∣=62 cm|AB| = 6\sqrt{2}\text{ cm} olur. Buradan taban uzunluğu ∣AC∣=∣AD∣+∣CD∣=6+63 cm|AC| = |AD| + |CD| = 6 + 6\sqrt{3}\text{ cm} bulunur.
ABCABC üçgeninin alanını iki farklı yolla hesaplayabilmek amacıyla gerekli tüm kenar uzunluklarını elde etmek için.
3
ABCABC üçgeninin alanını iki farklı taban ve bu tabanlara ait yükseklikler yardımıyla eşitlemek.
ACAC tabanına ait yükseklik BDBD'dir. BCBC tabanına ait yükseklik ise AA noktasının BCBC doğrusuna olan en kısa uzaklığıdır ve bu yüksekliğe hh diyelim. Buradan Alan(ABC)=∣AC∣×∣BD∣2=∣BC∣×h2\text{Alan}(ABC) = \frac{|AC| \times |BD|}{2} = \frac{|BC| \times h}{2} eşitliği elde edilir. Paydalar sadeleştiğinde ∣AC∣×∣BD∣=∣BC∣×h|AC| \times |BD| = |BC| \times h olur.
İstenen en kısa uzaklık olan hh değerini alan eşitliği prensibiyle çözmek için.
4
Bulunan kenar uzunluklarını eşitlikte yerine koyarak hh yüksekliğini yalnız bırakıp hesaplamak.
(6+63)×6=12×h  ⟹  36+363=12h  ⟹  h=3+33 cm(6 + 6\sqrt{3}) \times 6 = 12 \times h \implies 36 + 36\sqrt{3} = 12h \implies h = 3 + 3\sqrt{3}\text{ cm} bulunur.
İstenen dikme uzunluğunu nihai olarak belirlemek için.

Anahtar Kavram

Üçgende Alan Eşitliği ve Özel Açılı Dik Üçgenlerin Kenar Bağıntıları

Alternatif Yöntem

Alan eşitlemesi yerine, AA noktasından BCBC doğrusuna indirilen dikmenin uzunluğunu (hh) bulmak için trigonometrik oranlar kullanılabilir. ABDABD dik üçgeninden ∣AB∣=62 cm|AB| = 6\sqrt{2}\text{ cm} olarak bulunur. m(ABC^)=105∘m(\widehat{ABC}) = 105^\circ (geniş açı) olduğundan, AA köşesinden BCBC doğrusuna inilen dikme üçgenin dışına düşer ve oluşan dik üçgendeki dış açı 180∘−105∘=75∘180^\circ - 105^\circ = 75^\circ olur. Buradan h=∣AB∣⋅sin⁡(75∘)=62⋅6+24=33+3 cmh = |AB| \cdot \sin(75^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{3} + 3\text{ cm} elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru