Examkin

Soru

Zorluk: KolayÜçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC], m(BAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = 60^\circ ve ∣BC∣=63 cm|BC| = 6\sqrt{3}\text{ cm}'dir.

Buna göre, ∣AC∣|AC| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    6
  2. 12Cevap
  3. C
    626\sqrt{2}
  4. D
    12312\sqrt{3}
  5. E
    18

Cevap

12 (Hipotenüs uzunluğu 12 cm12\text{ cm}'dir.)
Verilen ABCABC üçgeni bir 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ dik üçgenidir. Bu üçgende 60∘60^\circ lik açının karşısındaki dik kenarın uzunluğu (∣BC∣=63 cm|BC| = 6\sqrt{3}\text{ cm}), 30∘30^\circ lik açının karşısındaki dik kenarın uzunluğunun (∣AB∣|AB|) 3\sqrt{3} katına eşittir. Buradan ∣AB∣=6 cm|AB| = 6\text{ cm} bulunur. Hipotenüs uzunluğu (∣AC∣|AC|) ise 30∘30^\circ lik açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun 2 katı olduğundan 2×6=12 cm2 \times 6 = 12\text{ cm} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılarından yola çıkarak verilmeyen açıyı bulun.
m(BCA^)=30∘m(\widehat{BCA}) = 30^\circ
Bir dik üçgende dik açı dışındaki iki dar açının toplamı 90∘90^\circ olmalıdır. Dolayısıyla 90∘−60∘=30∘90^\circ - 60^\circ = 30^\circ bulunur.
2
30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ özel üçgeninin kenar özelliklerini kullanarak ∣AB∣|AB| kenarının uzunluğunu hesaplayın.
∣AB∣=6 cm|AB| = 6\text{ cm}
30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeninde, 60∘60^\circ lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu (∣BC∣|BC|), 30∘30^\circ lik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun (∣AB∣|AB|) 3\sqrt{3} katıdır. 63=∣AB∣36\sqrt{3} = |AB|\sqrt{3} denkleminden ∣AB∣=6 cm|AB| = 6\text{ cm} elde edilir.
3
30∘30^\circ lik açının karşısındaki kenardan yararlanarak hipotenüs uzunluğunu (∣AC∣|AC|) hesaplayın.
∣AC∣=12 cm|AC| = 12\text{ cm}
Aynı özel üçgende hipotenüs uzunluğu (∣AC∣|AC|), 30∘30^\circ lik açının karşısındaki kenarın (∣AB∣|AB|) uzunluğunun 2 katına eşittir. Dolayısıyla ∣AC∣=2×6=12 cm|AC| = 2 \times 6 = 12\text{ cm} olur.

Anahtar Kavram

30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ Özel Dik Üçgeninde Kenar Uzunlukları İlişkisi

İpuçları

1
Sorudaki dik üçgenin iç açılarının ölçülerini belirleyerek işe başlayın.
2
30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ özel üçgeninde 60∘60^\circ lik açının karşısındaki kenar ile 30∘30^\circ lik açının karşısındaki kenar arasındaki oranı hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir şekilde 45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ ikizkenar dik üçgeninde hipotenüs ile dik kenarlar arasındaki ilişkiyi inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pisagor bağıntısını doğrudan kullanabilirsiniz. Eğer 30∘30^\circ lik açının karşısındaki kenara xx dersek, hipotenüs 2x2x olur. Pisagor teoremine göre x2+(63)2=(2x)2  ⟹  x2+108=4x2  ⟹  3x2=108  ⟹  x2=36  ⟹  x=6 cmx^2 + (6\sqrt{3})^2 = (2x)^2 \implies x^2 + 108 = 4x^2 \implies 3x^2 = 108 \implies x^2 = 36 \implies x = 6\text{ cm} bulunur. Buradan hipotenüs 2x=12 cm2x = 12\text{ cm} elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru