Examkin

Soru

Zorluk: KolayÜçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] ve BB köşesinden [AC][AC] hipotenüsüne indirilen dikme ayağı HH'dir.

m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ ve ∣AB∣=4 cm|AB| = 4\text{ cm} olduğuna göre, ∣BH∣|BH| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    22
  2. B
    252\sqrt{5}
  3. 232\sqrt{3}Cevap
  4. D
    434\sqrt{3}
  5. E
    88

Cevap

İstenen dikme uzunluğu olan 232\sqrt{3} cm
Verilen ABCABC dik üçgeninde, m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ ve [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] olduğundan m(BAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = 60^\circ olur. BH⊥ACBH \perp AC çizildiğinde oluşan ABHABH dik üçgeni de bir 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgenidir. Bu üçgende hipotenüs ∣AB∣=4 cm|AB| = 4\text{ cm} olduğundan, 30∘30^\circ'lik açının karşısındaki kenar ∣AH∣=2 cm|AH| = 2\text{ cm} ve 60∘60^\circ'lik açının karşısındaki kenar olan yükseklik ∣BH∣=23 cm|BH| = 2\sqrt{3}\text{ cm} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC dik üçgeninde verilmeyen açıyı bulma
m(BAC^)=60∘m(\widehat{BAC}) = 60^\circ
Bir dik üçgende iç açılar toplamı 180∘180^\circ olduğundan ve m(ABC^)=90∘m(\widehat{ABC}) = 90^\circ, m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ verildiğinden, m(BAC^)=90∘−30∘=60∘m(\widehat{BAC}) = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ olur.
2
ABHABH dik üçgeninin açılarını belirleme
ABHABH üçgeni bir 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgenidir
BH⊥ACBH \perp AC olduğundan m(AHB^)=90∘m(\widehat{AHB}) = 90^\circ olur. m(BAH^)=60∘m(\widehat{BAH}) = 60^\circ olduğundan, m(ABH^)=30∘m(\widehat{ABH}) = 30^\circ kalır.
3
ABHABH dik üçgeninde özel üçgen oranlarını kullanarak ∣BH∣|BH| uzunluğunu hesaplama
∣BH∣=23 cm|BH| = 2\sqrt{3}\text{ cm}
30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ dik üçgeninde 60∘60^\circ lik açının karşısındaki kenar (BHBH), hipotenüsün (AB=4 cmAB = 4\text{ cm}) yarısının 3\sqrt{3} katıdır: ∣BH∣=42×3=23 cm|BH| = \frac{4}{2} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ cm}.

Anahtar Kavram

30-60-90 özel dik üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki oranlar ve dik üçgende yükseklik bağıntıları.

Alternatif Yöntem

Büyük ABCABC üçgeninin alanı iki farklı şekilde yazılabilir: Alan=∣AB∣×∣BC∣2=∣AC∣×∣BH∣2\text{Alan} = \frac{|AB| \times |BC|}{2} = \frac{|AC| \times |BH|}{2}. Buradan ∣AB∣×∣BC∣=∣AC∣×∣BH∣|AB| \times |BC| = |AC| \times |BH| bağıntısı elde edilir. 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeni özelliklerinden ∣AC∣=8 cm|AC| = 8\text{ cm} ve ∣BC∣=43 cm|BC| = 4\sqrt{3}\text{ cm} bulunur. Değerler yerine yazılırsa: 4×43=8×∣BH∣  ⟹  163=8∣BH∣  ⟹  ∣BH∣=23 cm4 \times 4\sqrt{3} = 8 \times |BH| \implies 16\sqrt{3} = 8|BH| \implies |BH| = 2\sqrt{3}\text{ cm} elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru