Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir. AD⊥BCAD \perp BC ve m(ABC^)=45∘m(\widehat{ABC}) = 45^\circ’dir. ∣AD∣=60 cm|AD| = 60\text{ cm} ve ∣BC∣=140 cm|BC| = 140\text{ cm} olduğuna göre, DD noktasından [AC][AC] kenarına çizilen dikmenin [AC][AC]'yi kestiği nokta EE olmak üzere, ∣AE∣|AE| uzunluğu kaç cm\text{cm}'dir?

  1. 36Cevap
  2. B
    48
  3. C
    50
  4. D
    64
  5. E
    40

Cevap

36
Verilen bilgilere göre, ABDABD ikizkenar dik üçgeninden ∣BD∣=60 cm|BD| = 60\text{ cm} elde edilir. Buradan ∣CD∣=80 cm|CD| = 80\text{ cm} bulunur. ADCADC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı ile ∣AC∣=100 cm|AC| = 100\text{ cm} hesaplanır. ADCADC üçgeninde hipotenüse ait dikme inildiğinden, Öklid bağıntısı (∣AD∣2=∣AE∣⋅∣AC∣|AD|^2 = |AE| \cdot |AC|) kullanılarak 3600=∣AE∣⋅100  ⟹  ∣AE∣=36 cm3600 = |AE| \cdot 100 \implies |AE| = 36\text{ cm} olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninin özelliklerini belirleme
∣BD∣=60 cm|BD| = 60\text{ cm}
AD⊥BCAD \perp BC olduğundan ABDABD bir dik üçgendir. m(ABC^)=45∘m(\widehat{ABC}) = 45^\circ olduğu için ABDABD üçgeni 45∘−45∘−90∘45^\circ - 45^\circ - 90^\circ ikizkenar dik üçgenidir. Dolayısıyla dik kenarlar birbirine eşittir: ∣BD∣=∣AD∣=60 cm|BD| = |AD| = 60\text{ cm}.
2
∣CD∣|CD| uzunluğunu hesaplama
∣CD∣=80 cm|CD| = 80\text{ cm}
∣BC∣=∣BD∣+∣CD∣|BC| = |BD| + |CD| olduğundan, verilen ∣BC∣=140 cm|BC| = 140\text{ cm} değerinden ∣BD∣=60 cm|BD| = 60\text{ cm} çıkarılır: ∣CD∣=140−60=80 cm|CD| = 140 - 60 = 80\text{ cm}.
3
ADCADC dik üçgeninde hipotenüs ∣AC∣|AC|'yi bulma
∣AC∣=100 cm|AC| = 100\text{ cm}
ADCADC üçgeninde AD⊥BCAD \perp BC olduğundan m(ADC^)=90∘m(\widehat{ADC}) = 90^\circ olan bir dik üçgendir. Pisagor teoremi uygulanırsa: ∣AC∣2=∣AD∣2+∣CD∣2  ⟹  ∣AC∣2=602+802=3600+6400=10000  ⟹  ∣AC∣=100 cm|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 \implies |AC|^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000 \implies |AC| = 100\text{ cm} bulunur. (Bu üçgen, kenarları 3−4−53-4-5 oranına sahip olan özel dik üçgenin 2020 katıdır).
4
Öklid bağıntısı yardımıyla ∣AE∣|AE| uzunluğunu bulma
∣AE∣=36 cm|AE| = 36\text{ cm}
ADCADC dik üçgeninde, DD köşesinden [AC][AC] hipotenüsüne DEDE dikmesi inilmiştir. Öklid'in dik kenar bağıntısına göre: ∣AD∣2=∣AE∣⋅∣AC∣  ⟹  602=∣AE∣⋅100  ⟹  3600=∣AE∣⋅100  ⟹  ∣AE∣=36 cm|AD|^2 = |AE| \cdot |AC| \implies 60^2 = |AE| \cdot 100 \implies 3600 = |AE| \cdot 100 \implies |AE| = 36\text{ cm} elde edilir.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Pisagor teoremi, özel açılı üçgenler (45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ) ve Öklid bağıntıları yardımıyla uzunluk hesabı yapmak.
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru