Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bir ABCABC üçgeninde m(ABC^)=135∘m(\widehat{ABC}) = 135^\circ, ∣AB∣=7 cm|AB| = 7\text{ cm} ve ∣BC∣=52 cm|BC| = 5\sqrt{2}\text{ cm} olduğuna göre, ∣AC∣|AC| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. 1313Cevap
  2. B
    3113\sqrt{11}
  3. C
    29\sqrt{29}
  4. D
    119\sqrt{119}
  5. E
    1717

Cevap

AC uzunluğu 13 cm'dir.
Doğru cevap olan 13 cm uzunluğu, B köşesindeki dış açının 45 derece olmasından yararlanılarak dışarıda bir ikizkenar dik üçgen oluşturulması ve ardından oluşan 5-12-13 özel dik üçgeninde Pisagor teoreminin uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Geniş açılı ABCABC üçgeninde ABAB kenarı AA yönünde uzatılarak CC köşesinden bu uzantıya dikme indirilir ve HH dikme noktası belirlenir.
HH noktasında dik açı (m(CHA^)=90∘m(\widehat{CHA}) = 90^\circ) oluşur ve bütünler açılardan m(HBC^)=180∘−135∘=45∘m(\widehat{HBC}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ bulunur.
Dışarıda 45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ özel dik üçgeni elde ederek bilinmeyen kenarları hesaplamak.
2
HBCHBC ikizkenar dik üçgeninde hipotenüs ∣BC∣=52 cm|BC| = 5\sqrt{2}\text{ cm} olduğundan dik kenar uzunlukları hesaplanır.
∣HB∣=∣HC∣=522=5 cm|HB| = |HC| = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5\text{ cm} olarak bulunur.
45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ üçgeninde dik kenarların 2\sqrt{2} katı hipotenüse eşittir.
3
AHCAHC dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanır. Burada ∣AH∣=∣AB∣+∣HB∣=7+5=12 cm|AH| = |AB| + |HB| = 7 + 5 = 12\text{ cm} ve ∣HC∣=5 cm|HC| = 5\text{ cm}'dir.
∣AC∣2=∣AH∣2+∣HC∣2  ⟹  ∣AC∣2=122+52=144+25=169  ⟹  ∣AC∣=13 cm|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2 \implies |AC|^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \implies |AC| = 13\text{ cm} bulunur.
Büyük dik üçgende Pisagor teoremi yardımıyla hipotenüs olan ∣AC∣|AC| uzunluğunu bulmak.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde dış dikme yardımıyla özel dik üçgen (45-45-90) oluşturma ve Pisagor teoremini uygulama.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir: ∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(135∘)|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(135^\circ). Burada cos⁡(135∘)=−22\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} yazıldığında ∣AC∣2=49+50−2⋅7⋅52⋅(−22)=99+70=169  ⟹  ∣AC∣=13 cm|AC|^2 = 49 + 50 - 2 \cdot 7 \cdot 5\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 99 + 70 = 169 \implies |AC| = 13\text{ cm} bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru