Üçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir. $AD \perp BC$ ve $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ$ ’dir. $|AD| = 60\text{ cm}$ ve $|BC| = 140\text{ cm}$ olduğuna göre, $D$ noktasından $[AC]$ kenarına çizilen dikmenin $[AC]$ 'yi kestiği nokta $E$ olmak üzere, $|AE|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

36

48

50

64

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

36

Verilen bilgilere göre,

ABD

ikizkenar dik üçgeninden

|BD| = 60\text{ cm}

elde edilir. Buradan

|CD| = 80\text{ cm}

bulunur.

ADC

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı ile

|AC| = 100\text{ cm}

hesaplanır.

ADC

üçgeninde hipotenüse ait dikme inildiğinden, Öklid bağıntısı (

|AD|^2 = |AE| \cdot |AC|

) kullanılarak

3600 = |AE| \cdot 100 \implies |AE| = 36\text{ cm}

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

ABD

üçgeninin özelliklerini belirleme

|BD| = 60\text{ cm}

AD \perp BC

olduğundan

ABD

bir dik üçgendir.

m(\widehat{ABC}) = 45^\circ

olduğu için

ABD

üçgeni

45^\circ - 45^\circ - 90^\circ

ikizkenar dik üçgenidir. Dolayısıyla dik kenarlar birbirine eşittir:

|BD| = |AD| = 60\text{ cm}

.

2

|CD|

uzunluğunu hesaplama

|CD| = 80\text{ cm}

|BC| = |BD| + |CD|

olduğundan, verilen

|BC| = 140\text{ cm}

değerinden

|BD| = 60\text{ cm}

çıkarılır:

|CD| = 140 - 60 = 80\text{ cm}

.

3

ADC

dik üçgeninde hipotenüs

|AC|

'yi bulma

|AC| = 100\text{ cm}

ADC

üçgeninde

AD \perp BC

olduğundan

m(\widehat{ADC}) = 90^\circ

olan bir dik üçgendir. Pisagor teoremi uygulanırsa:

|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 \implies |AC|^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000 \implies |AC| = 100\text{ cm}

bulunur. (Bu üçgen, kenarları

3-4-5

oranına sahip olan özel dik üçgenin

20

katıdır).

4

Öklid bağıntısı yardımıyla

|AE|

uzunluğunu bulma

|AE| = 36\text{ cm}

ADC

dik üçgeninde,

D

köşesinden

[AC]

hipotenüsüne

DE

dikmesi inilmiştir. Öklid'in dik kenar bağıntısına göre:

|AD|^2 = |AE| \cdot |AC| \implies 60^2 = |AE| \cdot 100 \implies 3600 = |AE| \cdot 100 \implies |AE| = 36\text{ cm}

elde edilir.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Pisagor teoremi, özel açılı üçgenler (

45^\circ-45^\circ-90^\circ

) ve Öklid bağıntıları yardımıyla uzunluk hesabı yapmak.

Soru 2Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 135^\circ$ , $|AB| = 7\text{ cm}$ ve $|BC| = 5\sqrt{2}\text{ cm}$ olduğuna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

13

3\sqrt{11}

\sqrt{29}

\sqrt{119}

17

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $13$

Cevap

AC uzunluğu 13 cm'dir.

Doğru cevap olan 13 cm uzunluğu, B köşesindeki dış açının 45 derece olmasından yararlanılarak dışarıda bir ikizkenar dik üçgen oluşturulması ve ardından oluşan 5-12-13 özel dik üçgeninde Pisagor teoreminin uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Geniş açılı

ABC

üçgeninde

AB

kenarı

A

yönünde uzatılarak

C

köşesinden bu uzantıya dikme indirilir ve

H

dikme noktası belirlenir.

H

noktasında dik açı (

m(\widehat{CHA}) = 90^\circ

) oluşur ve bütünler açılardan

m(\widehat{HBC}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

bulunur.

Dışarıda

45^\circ-45^\circ-90^\circ

özel dik üçgeni elde ederek bilinmeyen kenarları hesaplamak.

2

HBC

ikizkenar dik üçgeninde hipotenüs

|BC| = 5\sqrt{2}\text{ cm}

olduğundan dik kenar uzunlukları hesaplanır.

|HB| = |HC| = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5\text{ cm}

olarak bulunur.

45^\circ-45^\circ-90^\circ

üçgeninde dik kenarların

\sqrt{2}

katı hipotenüse eşittir.

3

AHC

dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanır. Burada

|AH| = |AB| + |HB| = 7 + 5 = 12\text{ cm}

ve

|HC| = 5\text{ cm}

'dir.

|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2 \implies |AC|^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \implies |AC| = 13\text{ cm}

bulunur.

Büyük dik üçgende Pisagor teoremi yardımıyla hipotenüs olan

|AC|

uzunluğunu bulmak.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde dış dikme yardımıyla özel dik üçgen (45-45-90) oluşturma ve Pisagor teoremini uygulama.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir:

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(135^\circ)

. Burada

\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

yazıldığında

|AC|^2 = 49 + 50 - 2 \cdot 7 \cdot 5\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 99 + 70 = 169 \implies |AC| = 13\text{ cm}

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Düz bir zeminde bulunan dikey bir duvara yaslanmış olan $10\text{ metre}$ uzunluğundaki bir merdivenin alt ucunun duvara olan en kısa uzaklığı $6\text{ metredir}$ .

Buna göre, merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği kaç metredir?

4

2\sqrt{2}

8

2\sqrt{34}

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği 8 metredir.

Merdiven, duvar ve zemin birlikte bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin uzunluğu hipotenüs (10 m), alt ucun duvara olan uzaklığı ise dik kenarlardan biridir (6 m). Pisagor bağıntısı uygulandığında, bilinmeyen dik kenar olan yükseklik h için h^2 + 6^2 = 10^2 denklemi elde edilir. Buradan h^2 + 36 = 100, h^2 = 64 ve h = 8 m olarak bulunur. Bu durum aynı zamanda 3-4-5 özel üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 özel dik üçgenidir.

Adım Adım Çözüm

1

Merdiven, zemin ve duvar arasındaki geometrik ilişkiyi dik üçgen olarak modelleyin.

Hipotenüsü 10 m, bir dik kenarı 6 m ve diğer dik kenarı (yükseklik) h olan bir dik üçgen elde edilir.

Merdiven duvara yaslandığında duvar ile zemin dik kesiştiği için bir dik üçgen oluşur.

2

Pisagor bağıntısın�� uygulayın: h^2 + 6^2 = 10^2.

h^2 + 36 = 100 denklemi kurulur.

Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.

3

Denklemi çözerek h değerini bulun.

h^2 = 64 ve buradan h = 8 m olarak bulunur (Ayrıca bu üçgen 6-8-10 özel dik üçgenidir).

Bilinmeyen yüksekliği bulmak için kareköklü işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Pisagor bağıntısı ve özel dik üçgenler (3-4-5 üçgeninin katları)

İpuçları

1

Sorudaki merdiven, zemin ve duvarın oluşturduğu geometrik şekli bir dik üçgen olarak çizmeyi deneyin.

2

Bu dik üçgende hipotenüs merdivenin uzunluğu (10 m), dik kenarlardan biri ise merdivenin duvar tabanına olan uzaklığıdır (6 m).

3

Pisagor bağıntısını kullanabilir veya bu üçgenin en temel özel dik üçgenlerden biri olan 3-4-5 üçgeninin genişletilmiş bir hali (6-8-10) olduğunu fark edebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu 13 cm ve dik kenarlarından biri 5 cm ise diğer dik kenarın uzunluğunu bulmaya çalışarak bu konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

3-4-5 özel dik üçgeninin kenar uzunluklarının 2 katı alındığında 6-8-10 özel dik üçgeni elde edilir. Kenarları 6 m ve 10 m olan bu üçgende, bilinmeyen dik kenar doğrudan 8 m olarak bulunabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 4Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ , $m(\widehat{BAC}) = 60^\circ$ ve $|BC| = 6\sqrt{3}\text{ cm}$ 'dir.

Buna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

6

12

6\sqrt{2}

12\sqrt{3}

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12 (Hipotenüs uzunluğu

12\text{ cm}

'dir.)

Verilen

ABC

üçgeni bir

30^\circ-60^\circ-90^\circ

dik üçgenidir. Bu üçgende

60^\circ

lik açının karşısındaki dik kenarın uzunluğu (

|BC| = 6\sqrt{3}\text{ cm}

),

30^\circ

lik açının karşısındaki dik kenarın uzunluğunun (

|AB|

)

\sqrt{3}

katına eşittir. Buradan

|AB| = 6\text{ cm}

bulunur. Hipotenüs uzunluğu (

|AC|

) ise

30^\circ

lik açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun 2 katı olduğundan

2 \times 6 = 12\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin iç açılarından yola çıkarak verilmeyen açıyı bulun.

m(\widehat{BCA}) = 30^\circ

Bir dik üçgende dik açı dışındaki iki dar açının toplamı

90^\circ

olmalıdır. Dolayısıyla

90^\circ - 60^\circ = 30^\circ

bulunur.

2

30^\circ-60^\circ-90^\circ

özel üçgeninin kenar özelliklerini kullanarak

|AB|

kenarının uzunluğunu hesaplayın.

|AB| = 6\text{ cm}

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeninde,

60^\circ

lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu (

|BC|

),

30^\circ

lik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun (

|AB|

)

\sqrt{3}

katıdır.

6\sqrt{3} = |AB|\sqrt{3}

denkleminden

|AB| = 6\text{ cm}

elde edilir.

3

30^\circ

lik açının karşısındaki kenardan yararlanarak hipotenüs uzunluğunu (

|AC|

) hesaplayın.

|AC| = 12\text{ cm}

Aynı özel üçgende hipotenüs uzunluğu (

|AC|

),

30^\circ

lik açının karşısındaki kenarın (

|AB|

) uzunluğunun 2 katına eşittir. Dolayısıyla

|AC| = 2 \times 6 = 12\text{ cm}

olur.

Anahtar Kavram

30^\circ-60^\circ-90^\circ

Özel Dik Üçgeninde Kenar Uzunlukları İlişkisi

İpuçları

1

Sorudaki dik üçgenin iç açılarının ölçülerini belirleyerek işe başlayın.

2

30^\circ-60^\circ-90^\circ

özel üçgeninde

60^\circ

lik açının karşısındaki kenar ile

30^\circ

lik açının karşısındaki kenar arasındaki oranı hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir şekilde

45^\circ-45^\circ-90^\circ

ikizkenar dik üçgeninde hipotenüs ile dik kenarlar arasındaki ilişkiyi inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pisagor bağıntısını doğrudan kullanabilirsiniz. Eğer

30^\circ

lik açının karşısındaki kenara

x

dersek, hipotenüs

2x

olur. Pisagor teoremine göre

x^2 + (6\sqrt{3})^2 = (2x)^2 \implies x^2 + 108 = 4x^2 \implies 3x^2 = 108 \implies x^2 = 36 \implies x = 6\text{ cm}

bulunur. Buradan hipotenüs

2x = 12\text{ cm}

elde edilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 5Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ ve $B$ köşesinden $[AC]$ hipotenüsüne indirilen dikme ayağı $H$ 'dir.

$m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|AB| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $|BH|$ uzunluğu kaç cm'dir?

2

2\sqrt{5}

2\sqrt{3}

4\sqrt{3}

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2\sqrt{3}$

Cevap

İstenen dikme uzunluğu olan

2\sqrt{3}

cm

Verilen

ABC

dik üçgeninde,

m(\widehat{ACB}) = 30^\circ

ve

[AB] \perp [BC]

olduğundan

m(\widehat{BAC}) = 60^\circ

olur.

BH \perp AC

çizildiğinde oluşan

ABH

dik üçgeni de bir

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgenidir. Bu üçgende hipotenüs

|AB| = 4\text{ cm}

olduğundan,

30^\circ

'lik açının karşısındaki kenar

|AH| = 2\text{ cm}

ve

60^\circ

'lik açının karşısındaki kenar olan yükseklik

|BH| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

dik üçgeninde verilmeyen açıyı bulma

m(\widehat{BAC}) = 60^\circ

Bir dik üçgende iç açılar toplamı

180^\circ

olduğundan ve

m(\widehat{ABC}) = 90^\circ

,

m(\widehat{ACB}) = 30^\circ

verildiğinden,

m(\widehat{BAC}) = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ

olur.

2

ABH

dik üçgeninin açılarını belirleme

ABH

üçgeni bir

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgenidir

BH \perp AC

olduğundan

m(\widehat{AHB}) = 90^\circ

olur.

m(\widehat{BAH}) = 60^\circ

olduğundan,

m(\widehat{ABH}) = 30^\circ

kalır.

3

ABH

dik üçgeninde özel üçgen oranlarını kullanarak

|BH|

uzunluğunu hesaplama

|BH| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

30^\circ-60^\circ-90^\circ

dik üçgeninde

60^\circ

lik açının karşısındaki kenar (

BH

), hipotenüsün (

AB = 4\text{ cm}

) yarısının

\sqrt{3}

katıdır:

|BH| = \frac{4}{2} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ cm}

.

Anahtar Kavram

30-60-90 özel dik üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki oranlar ve dik üçgende yükseklik bağıntıları.

Alternatif Yöntem

Büyük

ABC

üçgeninin alanı iki farklı şekilde yazılabilir:

\text{Alan} = \frac{|AB| \times |BC|}{2} = \frac{|AC| \times |BH|}{2}

. Buradan

|AB| \times |BC| = |AC| \times |BH|

bağıntısı elde edilir.

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeni özelliklerinden

|AC| = 8\text{ cm}

ve

|BC| = 4\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur. Değerler yerine yazılırsa:

4 \times 4\sqrt{3} = 8 \times |BH| \implies 16\sqrt{3} = 8|BH| \implies |BH| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

elde edilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 6Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $m(\widehat{ABC}) = 30^\circ$ ’dir. $BC$ hipotenüsü üzerinde alınan bir $D$ noktasından $[AB]$ kenarına çizilen dikme ayağı $E$ , $[AC]$ kenarına çizilen dikme ayağı ise $F$ ’dir.

$|BE| = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ ve $|CF| = 2\text{ cm}$ olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

5

\sqrt{13}

\sqrt{15}

\sqrt{21}

\sqrt{93}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sqrt{21}$

Cevap

Doğru cevap

\sqrt{21}\text{ cm}

'dir.

Dikdörtgen ve

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

üçgenlerinin kenar özelliklerini uygulayarak

|AF| = 3\text{ cm}

ve

|DF| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

uzunluklarına ulaşılır. Ardından

\triangle AFD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulandığında

|AD|^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 = 21

denkleminden

|AD| = \sqrt{21}\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

AEDF

dörtgeninin köşe açılarından yararlanarak geometrik türünün belirlenmesi.

AEDF

dörtgeni bir dikdörtgendir. Buradan

|AE| = |DF|

ve

|AF| = |ED|

eşitlikleri elde edilir.

[AB] \perp [AC]

olduğundan

\angle A = 90^\circ

’dir.

[DE] \perp [AB]

ve

[DF] \perp [AC]

olduğundan

\angle E = 90^\circ

ve

\angle F = 90^\circ

’dir. Üç iç açısı dik açı olan dörtgen bir dikdörtgendir.

2

BDE

dik üçgeninde

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

özel üçgeni kurallarının uygulanması.

|DE| = 3\text{ cm}

(dolayısıyla

|AF| = 3\text{ cm}

) ve

|BD| = 6\text{ cm}

olarak bulunur.

ABC

dik üçgeninde

\angle A = 90^\circ

ve

\angle B = 30^\circ

olduğundan

\angle C = 60^\circ

’dir.

\triangle BDE

dik üçgeninde

\angle B = 30^\circ

ise

\angle BDE = 60^\circ

olur.

60^\circ

'nin karşısındaki kenar

|BE| = 3\sqrt{3}\text{ cm}

olduğundan,

30^\circ

'nin karşısındaki kenar

|DE| = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3\text{ cm}

olarak elde edilir.

3

CDF

dik üçgeninde

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

özel üçgeni kurallarının uygulanması.

|DF| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

(dolayısıyla

|AE| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

) ve

|CD| = 4\text{ cm}

olarak bulunur.

\triangle CDF

dik üçgeninde

\angle C = 60^\circ

olduğundan

\angle CDF = 30^\circ

olur.

30^\circ

'nin karşısındaki kenar

|CF| = 2\text{ cm}

olduğundan,

60^\circ

'nin karşısındaki kenar

|DF| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

olarak elde edilir.

4

AFD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak

|AD|

uzunluğunun hesaplanması.

|AD| = \sqrt{21}\text{ cm}

olarak bulunur.

AFD

dik üçgeninde hipotenüs

AD

uzunluğudur. Pisagor bağıntısı uygulandığında

|AD|^2 = |AF|^2 + |DF|^2 \implies |AD|^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 = 9 + 12 = 21 \implies |AD| = \sqrt{21}\text{ cm}

sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Dik üçgende özel açılı üçgenlerin (

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

) kenar uzunlukları arasındaki oranlar ve Pisagor bağıntısının uygulanması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 7Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 45^\circ$ ve $|AB| = 3\sqrt{2}\text{ cm}$ 'dir. $[BD] \perp [AC]$ olacak şekilde $AC$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $|DC| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $BC$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

5

\sqrt{7}

\sqrt{34}

7

2\sqrt{13}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5$

Cevap

BC kenarının uzunluğu 5 cm'dir.

Doğru cevap 5 cm'dir.

ABD

dik üçgeninin

45^\circ-45^\circ-90^\circ

üçgeni olmasından faydalanılarak

|BD| = 3\text{ cm}

bulunur. Ardından

BDC

dik üçgeninde kenarları

3\text{ cm}

ve

4\text{ cm}

olan dik üçgenin hipotenüsü

3-4-5

özel üçgeninden 5 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

ABD

dik üçgeninde özel üçgen kurallarını uygulayarak

|BD|

uzunluğunu bulunuz.

|BD| = 3\text{ cm}

ve

|AD| = 3\text{ cm}

m(\widehat{BAC}) = 45^\circ

ve

[BD] \perp [AC]

olduğundan,

ABD

üçgeni bir

45^\circ-45^\circ-90^\circ

ikizkenar dik üçgenidir. Hipotenüs uzunluğu

3\sqrt{2}\text{ cm}

olduğundan dik kenarlar bunun

\frac{1}{\sqrt{2}}

katı, yani

3\text{ cm}

olur.

2

BDC

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

|BC|

uzunluğunu bulunuz.

|BC| = 5\text{ cm}

BDC

üçgeninde

[BD] \perp [AC]

olduğundan bu bir dik üçgendir. Dik kenarları

|BD| = 3\text{ cm}

ve

|DC| = 4\text{ cm}

'dir.

3-4-5

özel dik üçgeni kuralından veya Pisagor bağıntısından (

|BC|^2 = 3^2 + 4^2 = 25

) hipotenüs

|BC| = 5\text{ cm}

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Özel dik üçgenler (

45^\circ-45^\circ-90^\circ

ve

3-4-5

üçgenleri) ve Pisagor bağıntısı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 8Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ 'dir. $[AC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası ve $[BC]$ hipotenüsü üzerinde bir $E$ noktası alınıyor. $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|AB| = 6\sqrt{3}\text{ cm}$ 'dir. $[DE] \perp [BC]$ ve $DEC$ üçgeninin çevresi, $ABC$ üçgeninin çevresinin yarısına eşit olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

9

12\sqrt{3} - 9

18 - 6\sqrt{3}

18 - 3\sqrt{3}

6\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $18 - 6\sqrt{3}$

Cevap

18 - 6\sqrt{3}

ABC ve DEC üçgenleri arasındaki A.A. benzerliği kullanılarak çevre oranı olan

1/2

, hipotenüs uzunlukları oranı olan

|DC|/|BC|

'ye eşitlenir.

|BC| = 12\sqrt{3}\text{ cm}

olduğundan

|DC| = 6\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur.

|AC| = 18\text{ cm}

uzunluğundan

|DC|

çıkarılarak

|AD| = 18 - 6\sqrt{3}\text{ cm}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

dik üçgeninin kenar uzunluklarını ve çevresini hesaplamak.

|BC| = 12\sqrt{3}\text{ cm}

ve

|AC| = 18\text{ cm}

olarak bulunur. Çevre ise

P(ABC) = 18 + 18\sqrt{3}\text{ cm}

olur.

m(\widehat{ACB}) = 30^\circ

olduğundan

ABC

üçgeni bir

30-60-90

özel üçgenidir.

30^\circ

'lik açının karşısındaki kenar

|AB| = 6\sqrt{3}\text{ cm}

olduğundan, hipotenüs

|BC| = 12\sqrt{3}\text{ cm}

ve diğer dik kenar

|AC| = 6\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 18\text{ cm}

olur.

2

DEC

ve

ABC

üçgenleri arasındaki benzerlik ilişkisini kurmak.

\triangle DEC \sim \triangle ABC

benzerliği elde edilir. Benzerlik oranı

\frac{P(DEC)}{P(ABC)} = \frac{|DC|}{|BC|} = \frac{1}{2}

'dir.

Hem

ABC

hem de

DEC

üçgenleri birer açısı

90^\circ

ve ortak açıları

m(\widehat{C}) = 30^\circ

olan dik üçgenlerdir. Dolayısıyla A.A. benzerlik kuralına göre benzerdirler. Çevreleri oranı benzerlik oranına eşittir.

3

|DC|

uzunluğunu hesaplamak.

|DC| = 6\sqrt{3}\text{ cm}

olarak bulunur.

Benzerlik oran��ndan

|DC| = \frac{1}{2} |BC| = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm}

elde edilir.

4

|AD|

uzunluğunu bulmak.

|AD| = 18 - 6\sqrt{3}\text{ cm}

olur.

D

noktası

[AC]

üzerinde olduğundan

|AD| = |AC| - |DC| = 18 - 6\sqrt{3}\text{ cm}

şeklinde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üçgende Benzerlik ve Özel Dik Üçgenler (

30^\circ-60^\circ-90^\circ

)

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanmak yerine,

DEC

dik üçgeninde

|DC| = x

diyerek

|DE| = \frac{x}{2}

ve

|EC| = \frac{x\sqrt{3}}{2}

yazılır. Çevre

x + \frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{3}}{2} = 9 + 9\sqrt{3}

denklemi çözülerek de

x = 6\sqrt{3}

bulunur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 9Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ , $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|AC| = 10\text{ cm}$ 'dir. Buna g��re, $|BC|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

5

5\sqrt{2}

5\sqrt{3}

10\sqrt{3}

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5\sqrt{3}$

Cevap

5\sqrt{3}

Verilen üçgen bir

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

özel dik üçgenidir. Bu üçgende

30^\circ

karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır (

|AB| = 5\text{ cm}

).

60^\circ

karşısındaki kenar ise

30^\circ

karşısındaki kenarın

\sqrt{3}

katıdır. Dolayısıyla

|BC| = 5\sqrt{3}\text{ cm}

ifadesi doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninin iç açılarının toplamı kuralından veya dik üçgenin dar açılarının toplamı kuralından bilinmeyen açıyı bulunuz.

m(\widehat{BAC}) = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ

olur. Dolayısıyla bu üçgen bir

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

özel dik üçgenidir.

Özel üçgen kurallarını uygulayabilmek için üçgenin açılarını belirlememiz gerekir.

2

30^\circ

'lik açının karşısındaki dik kenarın (

|AB|

) uzunluğunu hesaplayınız.

Hipotenüs

|AC| = 10\text{ cm}

olduğuna göre,

30^\circ

'nin karşısındaki

|AB|

kenarı hipotenüsün yarısıdır:

|AB| = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}

olur.

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

üçgeninde

30^\circ

'nin karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısına eşittir.

3

60^\circ

'lik açının karşısındaki dik kenarın (

|BC|

) uzunluğunu hesaplayınız.

60^\circ

'nin karşısındaki

|BC|

kenarının uzunlu��u,

30^\circ

'nin karşısındaki kenar uzunluğunun (

\text{5 cm}

)

\sqrt{3}

katıdır:

|BC| = 5\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur.

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

üçgeninde

60^\circ

'nin kar��ısındaki kenar,

30^\circ

'nin karşısındaki kenarın

\sqrt{3}

katına eşittir.

Anahtar Kavram

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

özel dik üçgeninde kenarlar arasındaki oranlar:

30^\circ

'nin karşısı

x

ise,

60^\circ

'nin karşısı

x\sqrt{3}

ve hipotenüs

2x

olur.

Soru 10Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 45^\circ$ ve $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ’dir. $[AC]$ kenarı üzerinde alınan bir $D$ noktası için $[BD] \perp [AC]$ çiziliyor. $|BD| = 6\text{ cm}$ olduğuna göre, $A$ noktasının $BC$ doğrusuna olan en kısa uzaklığı kaç $\text{cm}$ 'dir?

6

6 + 2\sqrt{3}

3 + 3\sqrt{3}

6 + 6\sqrt{3}

3\sqrt{3} - 3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3 + 3\sqrt{3}$

Cevap

3 + 3\sqrt{3}

santimetredir.

ABC

üçgeninin alanı, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Üçgenin alanı hem

AC

tabanı ve

BD

yüksekliği ile hem de

BC

tabanı ve bu tabana ait olan

h

yüksekliği (

A

noktasının

BC

doğrusuna olan en kısa uzaklığı) ile hesaplanabilir. Özel üçgen kurallarından

|BC| = 12\text{ cm}

ve

|AC| = 6 + 6\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur. Alan eşitliğinden

(6 + 6\sqrt{3}) \times 6 = 12 \times h

denklemi kurulur ve buradan

h = 3 + 3\sqrt{3}\text{ cm}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde verilen açıları ve

[BD]

yüksekliğini kullanarak oluşan dik üçgenleri belirlemek.

[BD] \perp [AC]

çizildiğinde, üçgenin içinde

ABD

ve

BCD

dik üçgenleri oluşur.

m(\widehat{BAC}) = 45^\circ

olduğundan

ABD

üçgeni bir

45^\circ-45^\circ-90^\circ

dik üçgenidir.

m(\widehat{ACB}) = 30^\circ

olduğundan

BCD

üçgeni bir

30^\circ-60^\circ-90^\circ

dik üçgenidir.

Özel dik üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki bağıntıları kullanabilmek için.

2

BDD

dik üçgenlerinin kurallarını uygulayarak üçgenin kenar uzunluklarını hesaplamak.

|BD| = 6\text{ cm}

olarak verilmiştir.

BCD

(

30^\circ-60^\circ-90^\circ

) üçgeninde

30^\circ

'nin karşısı

|BD| = 6\text{ cm}

ise, hipotenüs

|BC| = 2 \times 6 = 12\text{ cm}

ve

60^\circ

'nin karşısı

|CD| = 6\sqrt{3}\text{ cm}

olur.

ABD

(

45^\circ-45^\circ-90^\circ

) ikizkenar dik üçgeninde ise

|AD| = |BD| = 6\text{ cm}

ve hipotenüs

|AB| = 6\sqrt{2}\text{ cm}

olur. Buradan taban uzunluğu

|AC| = |AD| + |CD| = 6 + 6\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur.

ABC

üçgeninin alanını iki farklı yolla hesaplayabilmek amacıyla gerekli tüm kenar uzunluklarını elde etmek için.

3

ABC

üçgeninin alanını iki farklı taban ve bu tabanlara ait yükseklikler yardımıyla eşitlemek.

AC

tabanına ait yükseklik

BD

'dir.

BC

tabanına ait yükseklik ise

A

noktasının

BC

doğrusuna olan en kısa uzaklığıdır ve bu yüksekliğe

h

diyelim. Buradan

\text{Alan}(ABC) = \frac{|AC| \times |BD|}{2} = \frac{|BC| \times h}{2}

eşitliği elde edilir. Paydalar sadeleştiğinde

|AC| \times |BD| = |BC| \times h

olur.

İstenen en kısa uzaklık olan

h

değerini alan eşitliği prensibiyle çözmek için.

4

Bulunan kenar uzunluklarını eşitlikte yerine koyarak

h

yüksekliğini yalnız bırakıp hesaplamak.

(6 + 6\sqrt{3}) \times 6 = 12 \times h \implies 36 + 36\sqrt{3} = 12h \implies h = 3 + 3\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur.

İstenen dikme uzunluğunu nihai olarak belirlemek için.

Anahtar Kavram

Üçgende Alan Eşitliği ve Özel Açılı Dik Üçgenlerin Kenar Bağıntıları

Alternatif Yöntem

Alan eşitlemesi yerine,

A

noktasından

BC

doğrusuna indirilen dikmenin uzunluğunu (

h

) bulmak için trigonometrik oranlar kullanılabilir.

ABD

dik üçgeninden

|AB| = 6\sqrt{2}\text{ cm}

olarak bulunur.

m(\widehat{ABC}) = 105^\circ

(geniş açı) olduğundan,

A

köşesinden

BC

doğrusuna inilen dikme üçgenin dışına düşer ve oluşan dik üçgendeki dış açı

180^\circ - 105^\circ = 75^\circ

olur. Buradan

h = |AB| \cdot \sin(75^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{3} + 3\text{ cm}

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 11Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ 'dir. $A$ açısının açıortayı $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir. $|AB| = 6\text{ cm}$ ve $|BC| = 8\text{ cm}$ olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

3\sqrt{5}

3\sqrt{3}

5\sqrt{3}

2\sqrt{13}

\sqrt{61}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3\sqrt{5}$

Cevap

Doğru cevap

3\sqrt{5}

'tir.

Üçgende hipotenüs uzunluğu 6-8-10 üçgeninden

10\text{ cm}

olarak bulunur. İç açıortay teoremi kullanılarak

BC

kenarı

3:5

oranında bölünür ve

|BD| = 3\text{ cm}

elde edilir. Son olarak,

ABD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulandığında

|AD| = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5}\text{ cm}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

dik üçgeninde hipotenüs uzunluğu

|AC|

'yi bulmak.

|AC| = 10\text{ cm}

[AB] \perp [BC]

olduğundan,

6-8-10

özel dik üçgeni (veya Pisagor bağıntısı:

|AC|^2 = 6^2 + 8^2

) yardımıyla

|AC| = 10\text{ cm}

olarak bulunur.

2

D

noktası

[BC]

üzerinde olduğundan, iç açıortay teoremini uygulayarak

|BD|

uzunluğunu hesaplamak.

|BD| = 3\text{ cm}

AD

açıortay olduğundan,

\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

olur.

|BD| + |DC| = 8\text{ cm}

olduğundan,

|BD| = 3\text{ cm}

ve

|DC| = 5\text{ cm}

bulunur.

3

ABD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

|AD|

uzunluğunu bulmak.

|AD| = 3\sqrt{5}\text{ cm}

[AB] \perp [BC]

olduğundan

ABD

bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısından

|AD|^2 = |AB|^2 + |BD|^2 \Rightarrow |AD|^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45 \Rightarrow |AD| = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\text{ cm}

elde edilir.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

Soru 12Soru →

Köşeleri $A$ , $B$ ve $C$ olan bir üçgende $B$ köşesindeki iç açının ölçüsü $m(\widehat{ABC}) = 120^\circ$ olarak verilmiştir. Bu üçgende $AB$ kenarının uzunluğu $|AB| = 3\text{ cm}$ ve $BC$ kenarının uzunluğu $|BC| = 5\text{ cm}$ 'dir.

Buna göre, $AC$ kenarının uzunluğu $|AC|$ kaç $\text{cm}$ 'dir?

\sqrt{19}

\sqrt{34}

7

8

4\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

AC kenarının uzunluğu 7 cm'dir.

Üçgenin geniş açısının dışındaki

60^\circ

kullanılarak oluşturulan dik üçgende,

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

üçgeni kuralları gereği

|BH| = 1,5\text{ cm}

ve

|AH| = 1,5\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur. Büyük

AHC

dik üçgeninde kenarlar

|AH| = 1,5\sqrt{3}\text{ cm}

ve

|HC| = 6,5\text{ cm}

olup Pisagor bağıntısından

|AC|^2 = 6,75 + 42,25 = 49

elde edilir. Buradan karekök alınarak

AC

kenarının uzunluğu 7 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninin

CB

kenarını

B

köşesi yönünde doğrusal olarak uzatalım ve

A

köşesinden bu uzantıya dik inerek bir

[AH]

yüksekliği oluşturalım.

[AH] \perp [HC]

olacak şekilde

AHC

ve

ABH

dik üçgenleri elde edilir.

120^\circ

geniş açısının bütünler (dış) açısı

60^\circ

olduğundan, dışarıda bir

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

özel dik üçgeni oluşturarak bilinmeyen uzunlukları hesaplamak.

2

ABH

dik üçgeninde açıları ve kenar uzunluklarını belirleyelim.

m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

ve

m(\widehat{BAH}) = 30^\circ

olur. Hipotenüs

|AB| = 3\text{ cm}

olduğuna göre,

30^\circ

'lik açının karşısındaki kenar

|BH| = \frac{3}{2} = 1,5\text{ cm}

ve

60^\circ

'lik açının karşısındaki kenar

|AH| = 1,5\sqrt{3}\text{ cm}

olarak bulunur.

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

dik üçgeninde

30^\circ

'nin karşısındaki dik kenar hipotenüsün yarısına,

60^\circ

'nin karşısındaki dik kenar ise bu yarının

\sqrt{3}

katına eşittir.

3

AHC

büyük dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

|AC|

uzunluğunu hesaplayalım.

Taban uzunluğu

|HC| = |HB| + |BC| = 1,5 + 5 = 6,5\text{ cm}

'dir. Yükseklik

|AH| = 1,5\sqrt{3}\text{ cm}

'dir. Pisagor bağıntısı kurulduğunda:

|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2

|AC|^2 = (1,5\sqrt{3})^2 + (6,5)^2

|AC|^2 = 6,75 + 42,25 = 49

|AC| = 7\text{ cm}

bulunur.

Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde dış yükseklik yardımıyla dik üçgen oluşturma ve Pisagor bağıntısı / Kosinüs teoremi uygulaması.

İpuçları

1

Geniş açılı üçgenlerde açının bütünlerini (

180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

) kullanabilmek için dış yükseklik çizmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi doğrudan uygulanabilir:

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(120^\circ)

formülünde

\cos(120^\circ) = -1/2

yazılarak

|AC|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-1/2) = 9 + 25 + 15 = 49 \implies |AC| = 7\text{ cm}

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Üçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem