Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] ve m(ABC^)=30∘m(\widehat{ABC}) = 30^\circ’dir. BCBC hipotenüsü üzerinde alınan bir DD noktasından [AB][AB] kenarına çizilen dikme ayağı EE, [AC][AC] kenarına çizilen dikme ayağı ise FF’dir.

∣BE∣=33 cm|BE| = 3\sqrt{3}\text{ cm} ve ∣CF∣=2 cm|CF| = 2\text{ cm} olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm\text{cm}'dir?

  1. A
    5
  2. B
    13\sqrt{13}
  3. C
    15\sqrt{15}
  4. 21\sqrt{21}Cevap
  5. E
    93\sqrt{93}

Cevap

Doğru cevap 21 cm\sqrt{21}\text{ cm}'dir.
Dikdörtgen ve 30∘−60∘−90∘30^\circ - 60^\circ - 90^\circ üçgenlerinin kenar özelliklerini uygulayarak ∣AF∣=3 cm|AF| = 3\text{ cm} ve ∣DF∣=23 cm|DF| = 2\sqrt{3}\text{ cm} uzunluklarına ulaşılır. Ardından △AFD\triangle AFD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulandığında ∣AD∣2=32+(23)2=21|AD|^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 = 21 denkleminden ∣AD∣=21 cm|AD| = \sqrt{21}\text{ cm} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
AEDFAEDF dörtgeninin köşe açılarından yararlanarak geometrik türünün belirlenmesi.
AEDFAEDF dörtgeni bir dikdörtgendir. Buradan ∣AE∣=∣DF∣|AE| = |DF| ve ∣AF∣=∣ED∣|AF| = |ED| eşitlikleri elde edilir.
[AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olduğundan ∠A=90∘\angle A = 90^\circ’dir. [DE]⊥[AB][DE] \perp [AB] ve [DF]⊥[AC][DF] \perp [AC] olduğundan ∠E=90∘\angle E = 90^\circ ve ∠F=90∘\angle F = 90^\circ’dir. Üç iç açısı dik açı olan dörtgen bir dikdörtgendir.
2
BDEBDE dik üçgeninde 30∘−60∘−90∘30^\circ - 60^\circ - 90^\circ özel üçgeni kurallarının uygulanması.
∣DE∣=3 cm|DE| = 3\text{ cm} (dolayısıyla ∣AF∣=3 cm|AF| = 3\text{ cm}) ve ∣BD∣=6 cm|BD| = 6\text{ cm} olarak bulunur.
ABCABC dik üçgeninde ∠A=90∘\angle A = 90^\circ ve ∠B=30∘\angle B = 30^\circ olduğundan ∠C=60∘\angle C = 60^\circ’dir. △BDE\triangle BDE dik üçgeninde ∠B=30∘\angle B = 30^\circ ise ∠BDE=60∘\angle BDE = 60^\circ olur. 60∘60^\circ'nin karşısındaki kenar ∣BE∣=33 cm|BE| = 3\sqrt{3}\text{ cm} olduğundan, 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenar ∣DE∣=333=3 cm|DE| = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3\text{ cm} olarak elde edilir.
3
CDFCDF dik üçgeninde 30∘−60∘−90∘30^\circ - 60^\circ - 90^\circ özel üçgeni kurallarının uygulanması.
∣DF∣=23 cm|DF| = 2\sqrt{3}\text{ cm} (dolayısıyla ∣AE∣=23 cm|AE| = 2\sqrt{3}\text{ cm}) ve ∣CD∣=4 cm|CD| = 4\text{ cm} olarak bulunur.
△CDF\triangle CDF dik üçgeninde ∠C=60∘\angle C = 60^\circ olduğundan ∠CDF=30∘\angle CDF = 30^\circ olur. 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenar ∣CF∣=2 cm|CF| = 2\text{ cm} olduğundan, 60∘60^\circ'nin karşısındaki kenar ∣DF∣=23 cm|DF| = 2\sqrt{3}\text{ cm} olarak elde edilir.
4
AFDAFD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak ∣AD∣|AD| uzunluğunun hesaplanması.
∣AD∣=21 cm|AD| = \sqrt{21}\text{ cm} olarak bulunur.
AFDAFD dik üçgeninde hipotenüs ADAD uzunluğudur. Pisagor bağıntısı uygulandığında ∣AD∣2=∣AF∣2+∣DF∣2  ⟹  ∣AD∣2=32+(23)2=9+12=21  ⟹  ∣AD∣=21 cm|AD|^2 = |AF|^2 + |DF|^2 \implies |AD|^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 = 9 + 12 = 21 \implies |AD| = \sqrt{21}\text{ cm} sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Dik üçgende özel açılı üçgenlerin (30∘−60∘−90∘30^\circ - 60^\circ - 90^\circ) kenar uzunlukları arasındaki oranlar ve Pisagor bağıntısının uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru