Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC]'dir. [AC][AC] kenarı üzerinde bir DD noktası ve [BC][BC] hipotenüsü üzerinde bir EE noktası alınıyor. m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ ve ∣AB∣=63 cm|AB| = 6\sqrt{3}\text{ cm}'dir. [DE]⊥[BC][DE] \perp [BC] ve DECDEC üçgeninin çevresi, ABCABC üçgeninin çevresinin yarısına eşit olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm\text{cm}'dir?

  1. A
    99
  2. B
    123−912\sqrt{3} - 9
  3. 18−6318 - 6\sqrt{3}Cevap
  4. D
    18−3318 - 3\sqrt{3}
  5. E
    636\sqrt{3}

Cevap

18−6318 - 6\sqrt{3}
ABC ve DEC üçgenleri arasındaki A.A. benzerliği kullanılarak çevre oranı olan 1/21/2, hipotenüs uzunlukları oranı olan ∣DC∣/∣BC∣|DC|/|BC|'ye eşitlenir. ∣BC∣=123 cm|BC| = 12\sqrt{3}\text{ cm} olduğundan ∣DC∣=63 cm|DC| = 6\sqrt{3}\text{ cm} bulunur. ∣AC∣=18 cm|AC| = 18\text{ cm} uzunluğundan ∣DC∣|DC| çıkarılarak ∣AD∣=18−63 cm|AD| = 18 - 6\sqrt{3}\text{ cm} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC dik üçgeninin kenar uzunluklarını ve çevresini hesaplamak.
∣BC∣=123 cm|BC| = 12\sqrt{3}\text{ cm} ve ∣AC∣=18 cm|AC| = 18\text{ cm} olarak bulunur. Çevre ise P(ABC)=18+183 cmP(ABC) = 18 + 18\sqrt{3}\text{ cm} olur.
m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ olduğundan ABCABC üçgeni bir 30−60−9030-60-90 özel üçgenidir. 30∘30^\circ'lik açının karşısındaki kenar ∣AB∣=63 cm|AB| = 6\sqrt{3}\text{ cm} olduğundan, hipotenüs ∣BC∣=123 cm|BC| = 12\sqrt{3}\text{ cm} ve diğer dik kenar ∣AC∣=63×3=18 cm|AC| = 6\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 18\text{ cm} olur.
2
DECDEC ve ABCABC üçgenleri arasındaki benzerlik ilişkisini kurmak.
△DEC∼△ABC\triangle DEC \sim \triangle ABC benzerliği elde edilir. Benzerlik oranı P(DEC)P(ABC)=∣DC∣∣BC∣=12\frac{P(DEC)}{P(ABC)} = \frac{|DC|}{|BC|} = \frac{1}{2}'dir.
Hem ABCABC hem de DECDEC üçgenleri birer açısı 90∘90^\circ ve ortak açıları m(C^)=30∘m(\widehat{C}) = 30^\circ olan dik üçgenlerdir. Dolayısıyla A.A. benzerlik kuralına göre benzerdirler. Çevreleri oranı benzerlik oranına eşittir.
3
∣DC∣|DC| uzunluğunu hesaplamak.
∣DC∣=63 cm|DC| = 6\sqrt{3}\text{ cm} olarak bulunur.
Benzerlik oran��ndan ∣DC∣=12∣BC∣=12×123=63 cm|DC| = \frac{1}{2} |BC| = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ cm} elde edilir.
4
∣AD∣|AD| uzunluğunu bulmak.
∣AD∣=18−63 cm|AD| = 18 - 6\sqrt{3}\text{ cm} olur.
DD noktası [AC][AC] üzerinde olduğundan ∣AD∣=∣AC∣−∣DC∣=18−63 cm|AD| = |AC| - |DC| = 18 - 6\sqrt{3}\text{ cm} şeklinde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üçgende Benzerlik ve Özel Dik Üçgenler (30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ)

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanmak yerine, DECDEC dik üçgeninde ∣DC∣=x|DC| = x diyerek ∣DE∣=x2|DE| = \frac{x}{2} ve ∣EC∣=x32|EC| = \frac{x\sqrt{3}}{2} yazılır. Çevre x+x2+x32=9+93x + \frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{3}}{2} = 9 + 9\sqrt{3} denklemi çözülerek de x=63x = 6\sqrt{3} bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru