Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Köşeleri AA, BB ve CC olan bir üçgende BB köşesindeki iç açının ölçüsü m(ABC^)=120∘m(\widehat{ABC}) = 120^\circ olarak verilmiştir. Bu üçgende ABAB kenarının uzunluğu ∣AB∣=3 cm|AB| = 3\text{ cm} ve BCBC kenarının uzunluğu ∣BC∣=5 cm|BC| = 5\text{ cm}'dir.

Buna göre, ACAC kenarının uzunluğu ∣AC∣|AC| kaç cm\text{cm}'dir?

  1. A
    19\sqrt{19}
  2. B
    34\sqrt{34}
  3. 7Cevap
  4. D
    8
  5. E
    434\sqrt{3}

Cevap

AC kenarının uzunluğu 7 cm'dir.
Üçgenin geniş açısının dışındaki 60∘60^\circ kullanılarak oluşturulan dik üçgende, 30∘−60∘−90∘30^\circ - 60^\circ - 90^\circ üçgeni kuralları gereği ∣BH∣=1,5 cm|BH| = 1,5\text{ cm} ve ∣AH∣=1,53 cm|AH| = 1,5\sqrt{3}\text{ cm} bulunur. Büyük AHCAHC dik üçgeninde kenarlar ∣AH∣=1,53 cm|AH| = 1,5\sqrt{3}\text{ cm} ve ∣HC∣=6,5 cm|HC| = 6,5\text{ cm} olup Pisagor bağıntısından ∣AC∣2=6,75+42,25=49|AC|^2 = 6,75 + 42,25 = 49 elde edilir. Buradan karekök alınarak ACAC kenarının uzunluğu 7 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninin CBCB kenarını BB köşesi yönünde doğrusal olarak uzatalım ve AA köşesinden bu uzantıya dik inerek bir [AH][AH] yüksekliği oluşturalım.
[AH]⊥[HC][AH] \perp [HC] olacak şekilde AHCAHC ve ABHABH dik üçgenleri elde edilir.
120∘120^\circ geniş açısının bütünler (dış) açısı 60∘60^\circ olduğundan, dışarıda bir 30∘−60∘−90∘30^\circ - 60^\circ - 90^\circ özel dik üçgeni oluşturarak bilinmeyen uzunlukları hesaplamak.
2
ABHABH dik üçgeninde açıları ve kenar uzunluklarını belirleyelim.
m(ABH^)=180∘−120∘=60∘m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ ve m(BAH^)=30∘m(\widehat{BAH}) = 30^\circ olur. Hipotenüs ∣AB∣=3 cm|AB| = 3\text{ cm} olduğuna göre, 30∘30^\circ'lik açının karşısındaki kenar ∣BH∣=32=1,5 cm|BH| = \frac{3}{2} = 1,5\text{ cm} ve 60∘60^\circ'lik açının karşısındaki kenar ∣AH∣=1,53 cm|AH| = 1,5\sqrt{3}\text{ cm} olarak bulunur.
30∘−60∘−90∘30^\circ - 60^\circ - 90^\circ dik üçgeninde 30∘30^\circ'nin karşısındaki dik kenar hipotenüsün yarısına, 60∘60^\circ'nin karşısındaki dik kenar ise bu yarının 3\sqrt{3} katına eşittir.
3
AHCAHC büyük dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak ∣AC∣|AC| uzunluğunu hesaplayalım.
Taban uzunluğu ∣HC∣=∣HB∣+∣BC∣=1,5+5=6,5 cm|HC| = |HB| + |BC| = 1,5 + 5 = 6,5\text{ cm}'dir. Yükseklik ∣AH∣=1,53 cm|AH| = 1,5\sqrt{3}\text{ cm}'dir. Pisagor bağıntısı kurulduğunda:
∣AC∣2=∣AH∣2+∣HC∣2|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2
∣AC∣2=(1,53)2+(6,5)2|AC|^2 = (1,5\sqrt{3})^2 + (6,5)^2
∣AC∣2=6,75+42,25=49|AC|^2 = 6,75 + 42,25 = 49
∣AC∣=7 cm|AC| = 7\text{ cm} bulunur.
Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde dış yükseklik yardımıyla dik üçgen oluşturma ve Pisagor bağıntısı / Kosinüs teoremi uygulaması.

İpuçları

1
Geniş açılı üçgenlerde açının bütünlerini (180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ) kullanabilmek için dış yükseklik çizmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi doğrudan uygulanabilir: ∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(120∘)|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(120^\circ) formülünde cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 yazılarak ∣AC∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅(−1/2)=9+25+15=49  ⟹  ∣AC∣=7 cm|AC|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-1/2) = 9 + 25 + 15 = 49 \implies |AC| = 7\text{ cm} bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Uzunluk ve Özel Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru