Çokgenler ve Dörtgenler Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [CD]$ 'dir. Yamuğun köşegenlerinin kesim noktası $E$ 'dir. $E$ noktasından tabanlara paralel olarak çizilen $[KL]$ doğru parçası, köşegenlerin kesim noktasından geçmekte ve uç noktaları yan kenarlar üzerinde bulunmaktadır ( $K \in [AD]$ ve $L \in [BC]$ ).

$|AB| = 12\text{ cm}$ ve $|CD| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $|KL|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

3

4

6

8

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Köşegenlerin kesim noktasından tabanlara paralel çizilen ve uçları yan kenarlar üzerinde olan

[KL]

segmentinin uzunluğu 6 cm'dir.

Doğru cevap 6 cm'dir. Yamuğun köşegenlerinin kesim noktası olan E noktasından tabanlara paralel çizilen [KL] segmentinin uzunluğu, kelebek benzerliği ve temel orantı teoremi yardımıyla

|KE| = 3\text{ cm}

ve

|EL| = 3\text{ cm}

bulunarak toplamda 6 cm olarak hesaplanır. Alternatif olarak, köşegenlerin kesim noktasından geçen paralelin uzunluğu

|KL| = \frac{2ab}{a+b}

formülüyle de hesaplanabilir:

|KL| = \frac{2 \cdot 12 \cdot 4}{12 + 4} = 6\text{ cm}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kelebek benzerliğini kullanarak köşegenlerin kesim noktasındaki oranları bulun.

[AB] \parallel [CD]

olduğundan

\triangle DEC \sim \triangle BEA

(kelebek benzerliği) elde edilir. Benzerlik oranı:

\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

'tür. Buradan

\frac{|DE|}{|EB|} = \frac{1}{3}

ve

\frac{|CE|}{|EA|} = \frac{1}{3}

bulunur.

Köşegenlerin birbirini hangi oranda böldüğünü belirlemek, yan kenarlara kadar uzanan paralel parçaların uzunluklarını bulmak için gereklidir.

2

K

ve

E

noktaları arasındaki uzunluğu (

|KE|

) bulmak için üçgende benzerlik uygulayın.

\triangle DAB

üçgeninde

[KE] \parallel [AB]

olduğundan,

\frac{|DE|}{|DB|} = \frac{|KE|}{|AB|}

yazılır.

\frac{|DE|}{|DB|} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}

olduğundan,

\frac{1}{4} = \frac{|KE|}{12} \implies |KE| = 3\text{ cm}

elde edilir.

[KL]

doğru parçasının sol kısmının uzunluğunu hesaplamak amacıyla temel orantı teoremi kullanılır.

3

E

ve

L

noktaları arasındaki uzunluğu (

|EL|

) bulup toplam

|KL|

uzunluğunu hesaplayın.

Benzer şekilde,

\triangle CAB

üçgeninde

[EL] \parallel [AB]

olduğundan,

\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{|EL|}{|AB|}

olur.

\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{1}{4}

olduğundan,

\frac{1}{4} = \frac{|EL|}{12} \implies |EL| = 3\text{ cm}

bulunur. Böylece,

|KL| = |KE| + |EL| = 3 + 3 = 6\text{ cm}

olarak hesaplanır.

[KL]

doğru parçasının tamamının uzunluğunu elde etmek için iki parçanın uzunluğu toplanır.

Anahtar Kavram

Yamukta köşegenlerin kesim noktasından tabanlara paralel çizilen doğrunun uzunluğu, benzerlik oranları kullanılarak bulunur.

Soru 22Soru →

Köşelerinden ikisi $B$ ve $D$ olan bir $ABCD$ deltoidinde $AB = AD = 6$ birimdir. Deltoidin iç açılarından iki tanesinin ölçüsü $m(\widehat{BAD}) = 120^\circ$ ve $m(\widehat{BCD}) = 60^\circ$ olarak verilmiştir. Bu deltoidin $[BC]$ kenarının orta noktası $M$ noktası olduğuna göre, $D$ köşesi ile $M$ noktası arasındaki uzaklık ( $|DM|$ ) kaç birimdir?

3\sqrt{3}

6\sqrt{3}

9

18

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

D köşesi ile M noktası arasındaki uzaklık 9 birimdir.

Deltoidin köşegeninin açıortay olma özelliğinden

ABC

üçgeninin

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

dik üçgeni olduğu belirlenir. Bu üçgende

BC = 6\sqrt{3}

birim bulunur. Tepe açısı

60^\circ

olan

BCD

ikizkenar üçgeni aslında bir eşkenar üçgendir. Eşkenar üçgende kenarortay (

DM

) aynı zamanda yükseklik olduğundan uzunluğu

9

birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Deltoidin köşegen özelliklerini kullanarak

AC

köşegeninin tepe açılarının açıortayı olduğunu belirlemek.

m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DAC}) = 60^\circ

ve

m(\widehat{BCA}) = m(\widehat{DCA}) = 30^\circ

olarak bulunur.

Deltoidde eşit olmayan kenarların birleştiği köşeleri birleştiren köşegen (

AC

), tepe açıların��n açıortayıdır.

2

ABC

üçgeninin iç açılarından yola çıkarak kenar uzunluklarını hesaplamak.

m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 90^\circ

olur. Bu durumda

ABC

bir

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

özel dik üçgenidir.

30^\circ

'lik açının karşısındaki

AB = 6

birim ise,

60^\circ

'lik açının karşısındaki

BC

kenarı

6\sqrt{3}

birimdir.

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

dik üçgeninde

60^\circ

'lik açının karşısındaki kenar,

30^\circ

'lik açının karşısındaki kenarın

\sqrt{3}

katına eşittir.

3

BCD

üçgeninin türünü belirlemek ve

DM

kenarortay uzunluğunu hesaplamak.

BC = CD = 6\sqrt{3}

ve

m(\widehat{BCD}) = 60^\circ

olduğundan,

BCD

üçgeni bir eşkenar üçgendir. Eşkenar üçgende

[BC]

kenarının orta noktası

M

olduğuna göre,

[DM]

hem kenarortay hem de yüksekliktir. Eşkenar üçgenin yükseklik formülünden

|DM| = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 9

birim olarak hesaplanır.

Eşkenar üçgende çizilen kenarortay aynı zamanda yüksekliktir ve uzunluğu bir kenar uzunluğunun

\frac{\sqrt{3}}{2}

katına eşittir.

Anahtar Kavram

Deltoidde köşegenlerin açıortay özelliği ile özel dik üçgen ve eşkenar üçgen bağıntıları.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, deltoidin köşegenleri olan

[AC]

ve

[BD]

'nin dik kesiştiği bilgisi kullanılarak koordinat düzlemi üzerinde yerleşim yapılabilir.

E

kesişim noktası orijin

(0,0)

kabul edilirse;

A(0,3)

,

B(-3\sqrt{3},0)

,

C(0,-9)

ve

D(3\sqrt{3},0)

koordinatları elde edilir. Buradan

BC

kenarının orta noktası olan

M

noktasının koordinatları

M\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{9}{2}\right)

olarak bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak

|DM| = \sqrt{\left(3\sqrt{3} - \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\right)^2 + \left(0 - \left(-\frac{9}{2}\right)\right)^2} = 9

birim hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 23Soru →

Bir dışbükey $ABCD$ dörtgeninde; $AB$ ve $CD$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $E$ ve $F$ , $BC$ ve $AD$ kenarlarının orta noktaları ise sırasıyla $G$ ve $H$ 'dir.

$|EF| = |GH| = 10\text{ cm}$ ve $ABCD$ dörtgeninin köşegen uzunluklarının toplamı $28\text{ cm}$ olduğuna göre, bu dörtgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

48

96

171

180

192

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

Dörtgenin alanı 96 cm² dir.

Dışbükey dörtgenin kenar orta noktalarını birleştiren paralelkenarın köşegenleri birbirine eşit olduğunda bu paralelkenar dikdörtgen olur. Bu durum ana dörtgenin köşegenlerinin dik kesiştiğini (

AC \perp BD

) gösterir. Köşegen uzunlukları

d_1

ve

d_2

için dikdörtgenin köşegen uzunluğu formülünden

d_1^2 + d_2^2 = 400

elde edilir. Köşegenler toplamı

28

olduğundan karesi alınarak

2d_1d_2 = 384

ve

d_1d_2 = 192

bulunur. Alan köşegenler çarpımının yarısı olduğundan

96\text{ cm}^2

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kenar orta noktalarının oluşturduğu geometrik şeklin (Varignon paralelkenarı) özellikleri incelenir.

Bir dörtgenin kenar orta noktalarını birleştiren şekil her zaman bir paralelkenardır. Bu paralelkenarda

EF

ve

GH

köşegenlerdir.

Kenar orta noktalarının birbirine göre konumları ve köşegenlerle olan paralel ilişkilerini kurmak için.

2

Verilen

|EF| = |GH| = 10\text{ cm}

eşitliği kullanılarak dörtgenin köşegenlerinin kesişim açısı belirlenir.

Köşegenleri eşit olan bir paralelkenar bir dikdörtgendir. Varignon paralelkenarının kenarları

ABCD

dörtgeninin köşegenlerine (

AC

ve

BD

) paralel olduğundan, bu paralelkenarın dikdörtgen olması

AC

ve

BD

köşegenlerinin dik kesiştiğini gösterir (

AC \perp BD

).

Dörtgenin alan formülünü belirlemek için köşegenlerin birbirine dik olduğunu ispatlamak gerekir.

3

Varignon dikdörtgeninin köşegen uzunluğu yardımıyla dörtgenin köşegen uzunluklarının kareleri toplamı hesaplanır.

Dörtgenin köşegen uzunlukları

d_1 = |AC|

ve

d_2 = |BD|

olsun. Dikdörtgenin kenarları

d_1/2

ve

d_2/2

olup köşegeni

10\text{ cm}

olduğundan Pisagor teoremine göre:

(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = 10^2 \implies d_1^2 + d_2^2 = 400

bulunur.

Köşegenler arasındaki cebirsel ilişkiyi elde etmek için.

4

Verilen

d_1 + d_2 = 28\text{ cm}

toplamı kullanılarak köşegenlerin çarpımı (

d_1 \cdot d_2

) bulunur.

(d_1 + d_2)^2 = 28^2 \implies d_1^2 + d_2^2 + 2d_1d_2 = 784 \implies 400 + 2d_1d_2 = 784 \implies 2d_1d_2 = 384 \implies d_1d_2 = 192

elde edilir.

Dörtgenin alanı köşegenlerin çarpımına bağlı olduğundan bu çarpımın değerini bulmak gerekir.

5

Köşegenleri dik kesişen dörtgenin alan formülü uygulanır.

Alan(

ABCD

)

= \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 192 = 96\text{ cm}^2

bulunur.

Köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Bir dışbükey dörtgende kenar orta noktalarının oluşturduğu paralelkenarın (Varignon paralelkenarı) köşegenlerinin eşit olması durumunda, bu paralelkenarın dikdörtgen olduğu ve dolayısıyla ana dörtgenin köşegenlerinin dik kesiştiği özelliğidir. Köşegenleri dik kesişen bir dörtgenin alanı ise köşegenlerinin çarpımının yarısına eşittir.

Soru 24Soru →

Bir konveks (dışbükey) çokgenin iç açılarının ölçüleri bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu çokgenin en küç��k iç açısının ölçüsü $120^\circ$ ve ardışık açılar arasındaki ortak fark $5^\circ$ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

9

16

15

25

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 9'dur.

Doğru cevap olan değer, çokgenin iç açılarının toplamı formülü ile aritmetik dizi toplamı eşitlendiğinde elde edilen

n^2 - 25n + 144 = 0

denkleminin çözülmesiyle bulunur. Bu denklemin kökleri 9 ve 16'dır. Ancak kenar sayısı 16 alındığında, çokgenin en büyük iç açısı

195^\circ

olmaktadır. Konveks bir çokgende hiçbir iç açı

180^\circ

veya daha büyük olamayacağından bu kök elenir. Kenar sayısı 9 olduğunda ise en büyük iç açı

160^\circ

olup konvekslik kuralına tamamen uymaktadır. Bu nedenle doğru cevap 9 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Çokgenin iç açılar toplamı formülü ile aritmetik dizi toplam formülünü belirlemek.

Kenar sayısı

n

olan bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı

S_n = (n-2) \cdot 180^\circ

formülüyle hesaplanır. Diğer taraftan, ilk terimi

a_1 = 120^\circ

ve ortak farkı

d = 5^\circ

olan bir aritmetik dizinin ilk

n

teriminin toplamı

S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2} [2 \cdot 120 + (n-1) \cdot 5] = \frac{n}{2} [235 + 5n]

şeklindedir.

Çokgenin kenar sayısı olan

n

değerini bulmak için bu iki farklı yolla ifade edilen iç açılar toplamını birbirine eşitlemek gerekir.

2

Elde edilen ifadeleri birbirine eşitleyerek

n

değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi kurmak ve sadeleştirmek.

(n-2) \cdot 180 = \frac{n}{2} (235 + 5n) \implies 360(n-2) = n(235 + 5n) \implies 360n - 720 = 5n^2 + 235n \implies 5n^2 - 125n + 720 = 0

elde edilir. Denklemin her iki tarafı 5 ile bölündüğünde

n^2 - 25n + 144 = 0

sadeleşmiş denklemi bulunur.

Kenar sayısı adaylarını bulmak amacıyla denklemi çarpanlarına ayrılabilir hale getirmek.

3

İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak olası

n

değerlerini (kökleri) bulmak.

n^2 - 25n + 144 = 0 \implies (n-9)(n-16) = 0

olur. Buradan denklemi sağlayan kökler

n = 9

veya

n = 16

olarak bulunur.

Çokgenin kenar sayısı olabilecek matematiksel kökleri tespit etmek.

4

Bulunan

n

değerlerinin konveks çokgen tanımına uygunluğunu (tüm iç açıların

180^\circ

'den küçük olması şartını) denetlemek.

Çokgenin en büyük iç açısı son terim olan

a_n = a_1 + (n-1)d

ifadesiyle bulunur.

n = 16

için en büyük iç açı

a_{16} = 120 + (16-1) \cdot 5 = 120 + 75 = 195^\circ

olur.

195^\circ > 180^\circ

olduğundan bu durum çokgenin konveks (dışbükey) olması kuralını bozar. Dolayısıyla bu değer elenir.

n = 9

için en büyük iç açı

a_9 = 120 + (9-1) \cdot 5 = 120 + 40 = 160^\circ

olur.

160^\circ < 180^\circ

şartı sağlandığından çokgen konvekstir.

Geometrik olarak geçerli ve konvekslik kuralını ihlal etmeyen tek kenar sayısını belirlemek.

Anahtar Kavram

Çokgenlerin iç açılarının toplamı ve konvekslik özellikleri.

İpuçları

1

Çokgenin iç açılarının toplamı formülü olan

(n-2) \cdot 180^\circ

ifadesini, ilk terimi

120^\circ

ve ortak farkı

5^\circ

olan aritmetik dizinin ilk

n

teriminin toplamına eşitleyin.

2

Elde edeceğiniz ikinci dereceden denklemin iki farklı pozitif tamsayı kökü olacaktır. Bu kökleri bulduktan sonra doğrudan işaretlemek yerine konvekslik şartını kontrol edin.

3

Konveks bir çokgende tüm iç açılar

180^\circ

'den küçük olmalıdır. Bulduğunuz kökler için en büyük iç açıyı (

a_n = a_1 + (n-1)d

) hesaplayarak

180^\circ

'den küçük olup olmadığını test edin.

Daha Fazla Pratik

İç açılarının ölçüleri ardışık tamsayılar olan veya benzer aritmetik dizisel artışlar gösteren konveks çokgen sorularında sınır şartlarının (açıların

180^\circ

'den küçük, dış açıların

0^\circ

'den büyük olması) nasıl uygulandığını pekiştiren diğer problemleri inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Çözümü kolaylaştırmak için dış açılardan yararlanabilirsiniz. Konveks bir çokgenin dış açılarının toplamı her zaman

360^\circ

'dir. En küçük iç açı

120^\circ

ise buna karşılık gelen en büyük dış açı

180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

olur. İç açılar

5^\circ

artarak gittiği için dış açılar

5^\circ

azalarak gidecektir. Bu durumda dış açılar; ilk terimi

60^\circ

, ortak farkı

-5^\circ

olan bir aritmetik dizi oluşturur. Bu dizinin ilk

n

teriminin toplamı

S_n = \frac{n}{2} [2 \cdot 60 + (n-1)(-5)] = 360^\circ

eşitliğinden

n^2 - 25n + 144 = 0

denklemi ve buradan

n = 9

veya

n = 16

bulunur. Çokgenin dış açılarının pozitif olması gerektiğinden,

n = 16

için en son dış açının

60 + 15 \cdot (-5) = -15^\circ

(negatif) çıkması bu durumun geometrik açıdan imkansız olduğunu ve doğru cevabın doğrudan 9 olması gerektiğini hızlıca gösterir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 25Soru →

Bir $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [CD]$ 'dir. Yamuğun $[AD]$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası ve $[BC]$ kenarı üzerinde bir $F$ noktası alınarak tabanlara paralel bir $[EF]$ doğru parçası çiziliyor. $|CD| = 2\text{ cm}$ , $|AB| = 8\text{ cm}$ ve $|EF| = 7\text{ cm}$ 'dir. $EFCD$ yamuğunun yüksekliği, $ABFE$ yamuğunun yüksekliğinden $8\text{ cm}$ daha fazla olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Yamuğun alanı 60 cm² dir.

Yamuğun yan kenarları uzatıldığında elde edilen benzerlikten, tabanlara paralel

[EF]

segmentinin yamuğun yüksekliklerini

\frac{h_1}{h_2} = \frac{|EF| - |CD|}{|AB| - |EF|}

oranında böldüğü görülür. Buradan yükseklikler oranı

5

bulunur. Yükseklikler farkı

8\text{ cm}

olduğundan, küçük yamuğun yüksekliği

2\text{ cm}

, büyük yamuğun yüksekliği

10\text{ cm}

ve toplam yükseklik

12\text{ cm}

olarak bulunur. Alan formülü uygulandığında alan

60\text{ cm}^2

çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Tabanlara paralel çizilen

[EF]

doğrusu ile oluşan alt ve üst yamukların yükseklikleri arasındaki oranı bulmak için benzerlik kuralını uygulayalım.

h_1 = 5h_2

oranı elde edilir.

Yamuğun paralel olmayan yan kenarları uzatıldığında elde edilen benzer üçgenlerin yükseklik oranları, taban farklarının oranına eşittir:

\frac{h_1}{h_2} = \frac{|EF| - |CD|}{|AB| - |EF|} = \frac{7 - 2}{8 - 7} = 5

.

2

Yükseklikler arasındaki farkı kullanarak her bir yamuğun yüksekliğini hesaplayalım.

h_2 = 2\text{ cm}

ve

h_1 = 10\text{ cm}

bulunur.

Soruda

EFCD

yamuğunun yüksekliğinin

ABFE

yamuğunun yüksekliğinden

8\text{ cm}

fazla olduğu verilmiştir (

h_1 - h_2 = 8

). Bulduğumuz

h_1 = 5h_2

eşitliği yerine yazılırsa,

5h_2 - h_2 = 8 \Rightarrow 4h_2 = 8 \Rightarrow h_2 = 2\text{ cm}

olur.

3

Yamuğun toplam yüksekliğini bulalım.

h = 12\text{ cm}

Yamuğun toplam yüksekliği, iki alt yamuğun yüksekliklerinin toplamına eşittir:

h = h_1 + h_2 = 10 + 2 = 12\text{ cm}

.

4

Hesaplanan toplam yükseklik ve taban uzunlukları ile

ABCD

yamuğunun alanını bulalım.

\text{Alan} = 60\text{ cm}^2

Yamuğun alan formülü

\text{Alan} = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot h

şeklindedir. Değerleri yerine koyduğumuzda

\text{Alan} = \frac{8 + 2}{2} \cdot 12 = 5 \cdot 12 = 60\text{ cm}^2

bulunur.

Anahtar Kavram

Yamukta tabanlara paralel çizilen bir doğrunun yüksekliği bölme oranı ve yamukta alan formülü.

Soru 26Soru →

Çevresi $28\text{ cm}$ ve kö��egen uzunluğu $10\text{ cm}$ olan bir dikdörtgenin alanı kaç santimetrekaredir?

24

40

48

50

96

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Dikdörtgenin alanı 48 santimetrekaredir.

Çevresi 28 cm olan dikdörtgenin kenar uzunlukları toplamı 14 cm'dir. Köşegeni 10 cm olan dikdörtgende kenarlar arasında Pisagor bağıntısı kurulduğunda, bu şartları sağlayan kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olarak bulunur. Alan ise bu kenarların çarpımı olan 48 santimetrekaredir.

Adım Adım Çözüm

1

Çevre uzunluğu formülünü kullanarak dikdörtgenin kenar uzunluklarının toplamını bulmak.

Kenar uzunlukları

a

ve

b

ise,

2(a+b) = 28 \implies a+b = 14\text{ cm}

olur.

Dikdörtgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamına eşittir.

2

Köşegen uzunluğunu veren Pisagor bağıntısını yazmak.

a^2 + b^2 = 10^2 \implies a^2 + b^2 = 100

olur.

Dikdörtgende komşu iki kenar ve köşegen bir dik üçgen oluşturur.

3

Tam kare özdeşliğini kullanarak veya değer vererek alanı hesaplamak.

(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \implies 14^2 = 100 + 2ab \implies 196 = 100 + 2ab \implies 2ab = 96 \implies ab = 48\text{ cm}^2

bulunur. (Alternatif olarak, toplamları 14 ve kareleri toplamı 100 olan sayılar 6 ve 8'dir. Alan:

6 \times 8 = 48\text{ cm}^2

)

Dikdörtgenin alanı, farklı iki kenar uzunluğunun çarpımına (

a \cdot b

) eşittir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgende çevre, köşegen ve alan bağıntıları

Soru 27Soru →

Bir $ABCD$ dikdörtgeninde $E$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir. $[AE] \perp [ED]$ , $|AB| = 6\text{ cm}$ ve $|BC| = 13\text{ cm}$ olduğuna göre, $AED$ üçgeninin alanı kaç santimetrekaredir?

15

39

48

18

78

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

Dikdörtgenin alan özelliklerinden veya benzerlik yardımıyla hesaplanan üçgen alanı 39'dur.

Dikdörtgenin paralel kenarları arasındaki yükseklik sabit olduğundan, tabanı dikdörtgenin bir kenarı (

AD = 13\text{ cm}

) ve tepe noktası karşı kenar üzerinde olan

AED

üçgeninin yüksekliği dikdörtgenin kısa kenarına (

AB = 6\text{ cm}

) eşittir. Üçgenin alanı

\frac{13 \times 6}{2} = 39\text{ cm}^2

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dikdörtgenin karşılıklı kenar uzunluklarının eşit olduğunu belirleme.

|AD| = |BC| = 13\text{ cm}

ve

|CD| = |AB| = 6\text{ cm}

olur.

Dikdörtgende karşılıklı kenarlar birbirine eşittir.

2

E

noktası

[BC]

üzerinde olduğu için

AED

üçgeninin yüksekliğini belirleme.

AED

üçgeninin

[AD]

tabanına ait yüksekliği, paralel olan

AD

ve

BC

kenarları arasındaki uzaklığa, yani dikdörtgenin kısa kenarı olan

|AB| = 6\text{ cm}

uzunluğuna eşittir.

Bir üçgenin köşesi, tabanına paralel bir doğru üzerindeyse, o köşeden tabana indirilen dikme (yükseklik) paralel doğrular arasındaki sabit uzaklığa eşittir.

3

AED

üçgeninin alanını hesaplama.

\text{Alan}(AED) = \frac{|AD| \cdot h}{2} = \frac{13 \cdot 6}{2} = 39\text{ cm}^2

bulunur.

Üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

Anahtar Kavram

Dikdörtgende paralel doğrular arasındaki üçgenin alanı ve benzerlik ilişkileri

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak,

|BE| = x

ve

|EC| = 13-x

diyerek ABE ve ECD dik üçgenleri arasındaki benzerliği kullanabiliriz. Benzerlikten x^2 - 13x + 36 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri x = 4 ve x = 9'dur. x = 4 için Pisagor bağıntısı ile |AE| = 2√13 cm ve |ED| = 3√13 cm bulunur. AED dik üçgen olduğundan alanı (|AE| * |ED|) / 2 = (2√13 * 3√13) / 2 = 39 cm² olarak hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 28Soru →

Bir düzgün dokuzgenin bir köşesinden çizilebilecek tüm köşegenler çizilerek bu dokuzgen $7$ adet üçgensel bölgeye ayrılıyor. Buna göre, elde edilen bu üçgenlerden kaç tanesi ikizkenar üçgendir?

2

3

4

5

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3$

Cevap

Elde edilen üçgenlerden

3

tanesi ikizkenar üçgendir.

Çevrel çemberde köşe adımları eşit olan veya iç açıları eşit çıkan üçgenler ikizkenardır. Analiz edildiğinde

A_1A_2A_3

(açıları

20^\circ, 20^\circ, 140^\circ

),

A_1A_5A_6

(açıları

80^\circ, 20^\circ, 80^\circ

) ve

A_1A_8A_9

(açıları

140^\circ, 20^\circ, 20^\circ

) üçgenlerinin her birinde ikişer açı eşit olduğundan bu üçgenler ikizkenardır. Dolayısıyla toplamda

3

tane ikizkenar üçgen vardır.

Adım Adım Çözüm

1

Düzgün dokuzgenin bir köşesinden (örneğin

A_1

köşesinden) çizilebilecek tüm köşegenleri belirlemek ve oluşan üçgenleri listelemek.

A_1

köşesinden diğer köşelere çizilen köşegenler yardımıyla dokuzgen

7

adet üçgene ayrılır. Bu üçgenler sırasıyla:

A_1A_2A_3

,

A_1A_3A_4

,

A_1A_4A_5

,

A_1A_5A_6

,

A_1A_6A_7

,

A_1A_7A_8

ve

A_1A_8A_9

şeklindedir.

Çokgenin köşegenlerinin oluşturduğu üçgensel bölgeleri sistematik olarak sınıflandırmak amacıyla bu adım uygulanır.

2

Düzgün dokuzgenin çevrel çemberi üzerindeki yay özelliklerini kullanarak üçgenlerin iç açılarını hesaplamak.

Düzgün dokuzgenin her bir kenarı çevrel çemberde

\frac{360^\circ}{9} = 40^\circ

lik yayları görür. Çevre açı kuralına göre, bu yayları gören çevre açıların ölçüleri yay ölçüsünün yarısıdır (

20^\circ

). Üçgenlerin kenarlarının çevrelediği yay sayılarına (adım sayılarına) göre iç açılar belirlenir.

Her bir üçgenin iç açılarını bularak ikizkenar olup olmadıklarını kontrol etmek amacıyla bu adım uygulanır.

3

Her bir üçgenin köşe noktaları arasındaki kenar adım sayılarını ve iç açılarını analiz etmek.

Her bir üçgenin köşe adımları toplamı

9

dur:
-

T_1 (A_1A_2A_3)

için adımlar

1, 1, 7 \implies

Açılar:

20^\circ, 20^\circ, 140^\circ

(İkizkenar).
-

T_2 (A_1A_3A_4)

için adımlar

2, 1, 6 \implies

Açılar:

40^\circ, 20^\circ, 120^\circ

(Çeşitkenar).
-

T_3 (A_1A_4A_5)

için adımlar

3, 1, 5 \implies

Açılar:

60^\circ, 20^\circ, 100^\circ

(Çeşitkenar).
-

T_4 (A_1A_5A_6)

için adımlar

4, 1, 4 \implies

Açılar:

80^\circ, 20^\circ, 80^\circ

(İkizkenar).
-

T_5 (A_1A_6A_7)

için adımlar

5, 1, 3 \implies

Açılar:

100^\circ, 20^\circ, 60^\circ

(Çeşitkenar).
-

T_6 (A_1A_7A_8)

için adımlar

6, 1, 2 \implies

Açılar:

120^\circ, 20^\circ, 40^\circ

(Çeşitkenar).
-

T_7 (A_1A_8A_9)

için adımlar

7, 1, 1 \implies

Açılar:

140^\circ, 20^\circ, 20^\circ

(İkizkenar).

Bir üçgenin ikizkenar olması için en az iki iç açısının (veya kenar adım sayısının) eşit olması gerektiğini doğrulamak amacıyla bu adım uygulanır.

4

İkizkenar olduğu tespit edilen üçgenleri saymak.

T_1

,

T_4

ve

T_7

olmak üzere toplam

3

adet ikizkenar üçgen elde edilir.

Soruda istenen toplam ikizkenar üçgen sayısını bulmak amacıyla bu adım uygulanır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerin açı ve köşegen özellikleri

Soru 29Soru →

Bir dışbükey $ABCD$ dörtgeninde, $A$ ve $C$ köşelerine ait iç açıortayların kesişmesiyle oluşan dar açının ölçüsü $20^\circ$ dir.

$B$ ve $D$ köşelerindeki iç açılardan birinin ölçüsü $115^\circ$ olduğuna göre, diğer köşedeki iç açının alabileceği en büyük değer kaç derecedir?

135

145

155

75

95

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 155

Cevap

Diğer köşedeki iç açının alabileceği en büyük değer 155 derecedir.

Karşı iki köşeye ait iç açıortayların kesişmesiyle oluşan dar açının ölçüsü, diğer iki köşedeki iç açıların ölçüleri farkının yarısına eşittir. Bu kurala göre, verilmeyen açının ölçüsüne

d

dersek,

\frac{|115^\circ - d|}{2} = 20^\circ

eşitliği elde edilir. Buradan

|115^\circ - d| = 40^\circ

olur. Bu eşitliği sağlayan

d

değerleri

75^\circ

ve

155^\circ

olup, en büyük değer

155^\circ

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dörtgenin iç açılarının toplamı ve açıortay ilişkisini yazın.

m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 360^\circ

olduğunu biliyoruz.

A

ve

C

köşelerine ait iç açıortaylar için

m(\widehat{A}) = 2a

ve

m(\widehat{C}) = 2c

yazalım. Buradan

2a + 2c + m(\widehat{B}) + m(\widehat{D}) = 360^\circ \implies a + c = 180^\circ - \frac{m(\widehat{B}) + m(\widehat{D})}{2}

bağıntısı elde edilir.

Açıortayların oluşturduğu yarı aç��ların toplamını verilmeyen diğer iki açı cinsinden ifade edebilmek için.

2

APCD

dörtgeninin iç açılar toplamından yararlanın.

APCD

dörtgeninde iç açılar toplamı

360^\circ

dir.

P

noktasındaki iç bükey açı

360^\circ - m(\widehat{APC})

şeklindedir. Açıları toplarsak:

a + m(\widehat{D}) + c + (360^\circ - m(\widehat{APC})) = 360^\circ \implies m(\widehat{APC}) = a + c + m(\widehat{D})

olur.

Açıortaylar arasındaki geniş açıyı diğer bilinen açılar cinsinden yazmak için.

3

a + c

ifadesini yerine yazarak dar açı formülünü elde edin.

m(\widehat{APC}) = 180^\circ - \frac{m(\widehat{B}) + m(\widehat{D})}{2} + m(\widehat{D}) = 180^\circ - \frac{m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})}{2}

elde edilir. Bu açının bütünleri olan dar açı ise

\alpha = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})|}{2}

olur.

Karşı iki açının açıortayları arasındaki dar açının, diğer iki açının farkının yarısı olduğunu ispatlamak veya göstermek için.

4

Verilen değerleri denklemde yerine koyup diğer açıyı hesaplayın.

Dar açı

20^\circ

ve açılardan biri

115^\circ

olduğundan:

\frac{|115^\circ - m(\widehat{D})|}{2} = 20^\circ \implies |115^\circ - m(\widehat{D})| = 40^\circ

elde edilir. Bu mutlak değerli denklemin çözümü için iki durum vardır: 1)

115^\circ - m(\widehat{D}) = 40^\circ \implies m(\widehat{D}) = 75^\circ

, 2)

115^\circ - m(\widehat{D}) = -40^\circ \implies m(\widehat{D}) = 155^\circ

.

Diğer açının alabileceği tüm olası değerleri bulmak için.

5

En büyük değeri belirleyin.

Bulunan

75^\circ

ve

155^\circ

değerlerinin her ikisi de bir dışbükey dörtgenin açısı olabilir (

0^\circ < \text{açı} < 180^\circ

). Bu değerlerden en büyüğü

155^\circ

olarak bulunur.

Soruda bizden istenen en büyük değeri tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Bir dışbükey dörtgende karşı iki açının iç açıortayları arasında kalan dar açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.

İpuçları

1

Dörtgenin iç açılarının toplamının

360^\circ

olduğunu ve karşı iki köşeden çizilen iç açıortayların bu toplamı nasıl etkilediğini düşünün.

Daha Fazla Pratik

Karşı iki açının açıortayları yerine ardışık iki açının iç açıortayları çizilseydi oluşan açı nasıl bulunurdu?

Alternatif Yöntem

Dörtgenin açıortaylarını çizdikten sonra oluşan üçgen ve dörtgenlerdeki iç açılar toplamını yazarak formülsüz bir şekilde açı takibi yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Çokgenler ve Dörtgenler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem