Çokgenler ve Dörtgenler Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Bir $ABCD$ karesinin $[AC]$ köşegen doğrusu üzerinde, $C$ noktası $A$ ile $E$ arasında olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor.

$|CE| = 7\text{ cm}$ ve $|BE| = 13\text{ cm}$ olduğuna göre, $ABCD$ karesinin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

ABCD karesinin alanı 50'dir.

Karenin köşegenlerinin birbirini dik ortalaması kuralına göre köşegenlerin kesim noktası olan O noktası için OB ile AC dik kesişir ve |OB| = |OC| = x olur. C noktası A ile E arasında olduğundan, O, C, E doğrusaldır ve |OE| = x + 7 olur. OBE dik üçgeninde uygulanan Pisagor bağıntısıyla x^2 + (x+7)^2 = 13^2 denkleminden x = 5 bulunur. Köşegenin yarısı 5 olan karenin alanı ise 2 * x^2 = 50 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Köşegenlerin kesim noktasını belirleme ve dikliği gösterme

AC

ve

BD

köşegenlerinin kesim noktasına

O

dersek,

OB \perp OE

olur.

Karede köşegenler birbirini dik keser.

2

Köşegen parçalarını harflendirme ve uzunlukları yazma

|OB| = |OC| = x

olsun. Bu durumda

|OE| = x + 7

olur.

Karede köşegenler birbirini ortalar ve tüm köşegen yarı parçaları eşittir.

3

Pisagor bağıntısını kurma ve denklemi çözme

x^2 + (x+7)^2 = 13^2 \implies x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 \implies 2x^2 + 14x - 120 = 0 \implies x^2 + 7x - 60 = 0 \implies (x-5)(x+12) = 0

. Buradan

x = 5

bulunur.

Uzunluk değeri negatif olamayacağından

x = 5

alınır.

4

Karenin alanını hesaplama

Alan

(ABCD) = 2x^2 = 2 \times 5^2 = 50\text{ cm}^2

olur.

Köşegen uzunluğunun yarısı

x

olan bir karenin alanı

2x^2

formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Karede köşegenlerin birbirini dik ortalaması ve dik üçgende Pisagor teoremi

Soru 2Soru →

Bir $ABCD$ yamuğunda üst taban $[DC]$ , alt taban $[AB]$ ve $[AB] \parallel [DC]$ 'dir. Yamuğun kenar uzunlukları $|AB| = 20\text{ cm}$ , $|DC| = 6\text{ cm}$ , $|AD| = 13\text{ cm}$ ve $|BC| = 15\text{ cm}$ olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

104

120

156

182

312

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

Yamuğun alanı

156\text{ cm}^2

'dir.

Yamuğun yüksekliğini bulmak için çizilen paralel doğru ile elde edilen

13

,

14

,

15

kenar uzunluklarına sahip üçgenin yüksekliği

12\text{ cm}

olarak hesaplanır. Yamuğun alanı alt ve üst taban toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımı olduğundan alan

\frac{20+6}{2} \times 12 = 156\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

D

köşesinden

BC

kenarına paralel olacak şekilde bir

[DE]

doğru parçası çizilir (

E

noktası

[AB]

üzerindedir).

DEBC

bir paralelkenar olur. Buradan

|DE| = |BC| = 15\text{ cm}

ve

|EB| = |DC| = 6\text{ cm}

elde edilir.

[AB]

kenarı üzerinde

|AE| = |AB| - |EB| = 20 - 6 = 14\text{ cm}

kalır.

Yamuğun yüksekliğini bulmak amacıyla kenar uzunlukları bilinen bir üçgen oluşturmak.

2

ADE

üçgeninde

D

köşesinden

[AE]

tabanına bir

[DH]

yüksekliği indirilir.

|AH| = x

ve

|HE| = 14 - x

olarak belirlenir.

ADH

ve

EDH

dik üçgenlerinde Pisagor bağıntısı uygulanarak

13^2 - x^2 = 15^2 - (14-x)^2

denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde

28x = 140 \implies x = 5\text{ cm}

bulunur. Yükseklik ise

h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Yamuğun yüksekliğini dik üçgen bağıntılarını kullanarak hesaplamak.

3

Bulunan yükseklik (

h = 12\text{ cm}

) ve taban uzunlukları (

|AB| = 20\text{ cm}

,

|DC| = 6\text{ cm}

) yamuğun alan formülünde yerine yazılır.

\text{Alan}(ABCD) = \frac{|AB| + |DC|}{2} \times h = \frac{20 + 6}{2} \times 12 = 13 \times 12 = 156\text{ cm}^2

bulunur.

Yamuğun alanını hesaplama formülünü uygulamak.

Anahtar Kavram

Yamukta alan hesabı yapmak için paralel çizerek üçgen oluşturma ve Pisagor bağıntısı yardımıyla yükseklik bulma.

Soru 3Soru →

İç açılarının ölçüleri toplamı $1080^\circ$ olan konveks bir çokgenin kenar sayısı kaçtır?

6

7

8

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Kenar sayısı 8 olan seçenek

Dışbükey bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

(n-2) \times 180^\circ

formülü ile hesaplanır. Soruda bu toplamın

1080^\circ

olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla

(n-2) \times 180 = 1080

denklemi kurulur. Her iki taraf 180'e bölündüğünde

n-2 = 6

eşitliği, buradan da

n = 8

elde edilir. Bu nedenle kenar sayısı 8 olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Çokgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamı formülünü yazın.

İç açılar toplamı =

(n-2) \times 180^\circ

(Burada

n

çokgenin kenar sayısıdır.)

Çokgenin kenar sayısı ile iç aç��larının toplamı arasındaki ilişkiyi kurmak için.

2

Soruda verilen iç açılar toplamı değerini formülde yerine yazarak denklemi kurun.

(n-2) \times 180 = 1080

Kenar sayısını bulmaya yönelik cebirsel ifadeyi oluşturmak için.

3

Elde edilen denklemi çözerek çokgenin kenar sayısını bulun.

n-2 = \frac{1080}{180} \Rightarrow n-2 = 6 \Rightarrow n = 8

Bilinmeyen kenar sayısı değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kenar sayısı

n

olan dışbükey (konveks) bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

(n-2) \times 180^\circ

formülü ile hesaplanır.

Tahmini Süre:45s

Soru 4Soru →

Bir $ABCD$ karesinin iç bölgesinde alınan bir $P$ noktası için $|PA| = 1\text{ cm}$ , $|PB| = 5\text{ cm}$ ve $|PC| = 7\text{ cm}$ olduğu bilinmektedir. Buna göre, $ABCD$ karesinin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

18

25

32

36

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Karenin alanı 32 santimetrekaredir.

İngiliz Bayrağı Teoremi kullanılarak

P

noktasının

D

köşesine olan uzaklığı

|PD| = 5\text{ cm}

olarak bulunur.

|PB| = |PD| = 5\text{ cm}

eşitliği,

P

noktasının

[BD]

köşegeninin orta dikme doğrusu olan

[AC]

köşegeni üzerinde yer aldığını gösterir.

P

noktası karenin içinde olduğundan, köşegen uzunluğu

|AC| = |PA| + |PC| = 1 + 7 = 8\text{ cm}

olur. Buradan karenin alanı

\frac{8^2}{2} = 32\text{ cm}^2

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kare içerisindeki bir

P

noktası için geçerli olan İngiliz Bayrağı Teoremi'ni (

PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2

) uygulayarak

P

noktasının

D

köşesine olan uzaklığını hesaplayın.

1^2 + 7^2 = 5^2 + |PD|^2 \implies 1 + 49 = 25 + |PD|^2 \implies 50 = 25 + |PD|^2 \implies |PD|^2 = 25 \implies |PD| = 5\text{ cm}

elde edilir.

Karenin içindeki herhangi bir noktanın karşılıklı köşelere olan uzaklıklarının kareleri toplamı eşittir.

2

|PB| = |PD| = 5\text{ cm}

eşitliğinden yararlanarak

P

noktasının karenin köşegenleri üzerindeki konumunu belirleyin.

P

noktası,

[BD]

doğru parçasının orta dikme doğrusu ��zerinde yer almalıdır. Karenin köşegenleri birbirini dik ortaladığı için bu orta dikme doğrusu

[AC]

köşegenidir. Dolayısıyla

P

noktası

[AC]

köşegeni üzerindedir.

Bir doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta bulunan noktalar, o doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerinde bulunur.

3

P

noktası karenin iç bölgesinde ve

[AC]

köşegeni üzerinde olduğundan,

A, P, C

noktalarının doğrusallığını kullanarak

[AC]

köşegeninin toplam uzunluğunu bulun.

|AC| = |PA| + |PC| = 1 + 7 = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

P

noktası

[AC]

köşegeninin üzerinde ve karenin içinde yer aldığı için sırasıyla

A

,

P

ve

C

noktaları aynı doğru üzerindedir.

4

Köşegen uzunluğu bilinen karenin alan formülünü uygulayarak alanı hesaplayın.

\text{Alan}(ABCD) = \frac{|AC|^2}{2} = \frac{8^2}{2} = \frac{64}{2} = 32\text{ cm}^2

bulunur.

Bir karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Karede köşegenlerin birbirini dik ortalaması, köşegen uzunluğu ile alan ilişkisi ve karenin içindeki bir noktanın köşelere olan uzaklık bağıntıları.

İpuçları

1

Karenin içindeki bir noktanın karşılıklı köşelere olan uzaklıklarının kareleri toplamının eşit olduğunu hatırlayın (

PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2

).

2

|PB| = |PD| = 5\text{ cm}

eşitliğini bulduktan sonra, bir doğru parçasının uçlarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerini düşünün. Bu durum

P

noktasının hangi özel çizgi üzerinde olduğunu söyler?

3

P

noktasının

[AC]

köşegeni üzerinde olduğunu gördükten sonra köşegen uzunluğunu

|AC| = |PA| + |PC|

şeklinde yazıp alanı köşegenin karesinin yarısı formülüyle bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantığı kullanarak, kare içindeki bir noktanın köşelere olan uzaklıkları verildiğinde rotation (döndürme) yöntemiyle diğer açı veya uzunluk bağıntılarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

\triangle APB

üçgenini

B

köşesi etrafında saat yönünde

90^\circ

döndürerek

[BC]

kenarı üzerinde yeni bir

\triangle CP'B

üçgeni oluşturabiliriz. Döndürme sonucunda

|BP'| = |BP| = 5\text{ cm}

,

|CP'| = |PA| = 1\text{ cm}

ve

m(\widehat{PBP'}) = 90^\circ

olur. İkizkenar dik üçgen olan

\triangle PBP'

üçgeninde

|PP'|^2 = 5^2 + 5^2 = 50

elde edilir.

\triangle PCP'

üçgeninde kenar uzunlukları

|CP'| = 1\text{ cm}

ve

|PC| = 7\text{ cm}

olup,

1^2 + 7^2 = 50 = |PP'|^2

sağlandığından Pisagor teoreminin tersi gereği

m(\widehat{PCP'}) = 90^\circ

olur. Döndürme özelliğinden dolayı

m(\widehat{BCP'}) = m(\widehat{BAP})

ve

m(\widehat{PCP'}) = m(\widehat{PCB}) + m(\widehat{BCP'}) = 90^\circ

olduğundan

m(\widehat{PCB}) = 45^\circ

bulunur.

\triangle BCP

üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanırsa karenin kenarı

s

için;

5^2 = s^2 + 7^2 - 2 \cdot s \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde karenin alanı

s^2 = 32\text{ cm}^2

veya

s^2 = 18\text{ cm}^2

bulunur.

s^2 = 18\text{ cm}^2

durumunda

P

noktası karenin dışında kalacağı için doğru cevap

32\text{ cm}^2

olur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 5Soru →

$ABCD$ eşkenar dörtgeninde $[DH] \perp [AB]$ ve $H \in [AB]$ 'dir. $|AH| = 5\text{ cm}$ ve $|HB| = 8\text{ cm}$ olduğuna göre, $ABCD$ eşkenar dörtgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

78

96

104

156

169

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

Eşkenar dörtgenin alanı 156 cm²'dir.

Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğu

13\text{ cm}

'dir. Yüksekliği dik üçgenden

12\text{ cm}

olarak hesaplanır. Taban ile yüksekliğin çarpımı olan

156\text{ cm}^2

doğru alandır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu belirlemek.

|AB| = |AH| + |HB| = 5 + 8 = 13\text{ cm}

olur.

H

noktası

[AB]

kenarı üzerinde olduğu için bu iki parçanın toplamı eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu verir.

2

Eşkenar dörtgenin diğer kenar uzunluklarını yazmak.

|AD| = |AB| = 13\text{ cm}

olur.

Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.

3

AHD

dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulamak.

|AH|^2 + |DH|^2 = |AD|^2 \implies 5^2 + |DH|^2 = 13^2 \implies 25 + |DH|^2 = 169 \implies |DH| = 12\text{ cm}

[DH]

yüksekliğini bulmak için dik üçgendeki kenar bağıntıları kullanılır (5-12-13 özel dik üçgeni).

4

Eşkenar dörtgenin alanını hesaplamak.

\text{Alan} = |AB| \times |DH| = 13 \times 12 = 156\text{ cm}^2

Eşkenar dörtgenin alanı, taban kenar uzunluğu ile bu tabana ait yüksekliğin çarp��mına eşittir.

Anahtar Kavram

Eşkenar dörtgenin tüm kenarlarının eşitliği, dik üçgende Pisagor teoremi (5-12-13 üçgeni) ve taban-yükseklik yardımıyla alan hesabı.

İpuçları

1

Eşkenar dörtgenin tüm kenarlarının eşit olduğunu kullanarak

|AD|

uzunluğunu bulabilirsiniz.

2

AHD

dik üçgeninde bilinen kenarları kullanarak Pisagor bağıntısı yardımıyla

|DH|

yüksekliğini bulun.

Daha Fazla Pratik

Yüksekliği verilen benzer eşkenar dörtgen sorularında çevre veya köşegen uzunluklarını hesaplama pratikleri yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eşkenar dörtgenin alanını köşegenlerin kesişim noktasını belirleyip köşegen uzunluklarını bulduktan sonra köşegenlerin çarpımının yarısı formülüyle de hesaplayabilirsiniz, ancak taban ve yükseklik çarpımı çok daha pratiktir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Bir $ABCD$ paralelkenarında, $[AB]$ kenarının uzunlu��u $10\text{ cm}$ , $[AD]$ kenarının uzunluğu $6\text{ cm}$ ve $m(\widehat{DAB}) = 30^\circ$ olarak veriliyor.

Buna göre, $ABCD$ paralelkenarının alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

60

30

15

32

30\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $30$

Cevap

Otuz

Ardışık iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı verilen paralelkenarın alanı, kenarların ve aralarındaki açının sinüsünün çarpımıyla bulunur.

10 \times 6 \times \sin(30^\circ) = 60 \times 0,5 = 30\text{ cm}^2

hesabı doğru sonuca götürür.

Adım Adım Çözüm

1

Paralelkenarın

[AB]

tabanına ait yüksekliğini bulmak için

D

köşesinden

[AB]

kenarına bir dikme indirin ve bu dikmenin tabanı kestiği noktaya

H

deyin.

AHD

dik üçgeni elde edilir. Bu üçgende

m(\widehat{DAH}) = 30^\circ

ve hipotenüs

|AD| = 6\text{ cm}

'dir.

Yükseklik çizilerek özel dik üçgen yardımıyla yüksekliğin uzunluğu hesaplanmak istenir.

2

30^\circ-60^\circ-90^\circ

özel dik üçgeninin özelliğini kullanarak yüksekliği (

|DH| = h

) hesaplayın.

h = \frac{|AD|}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}

30^\circ

'lik açının karşısındaki dik kenarın uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.

3

Taban uzunluğu ile bu tabana ait yüksekliği çarparak paralelkenarın alanını hesaplayın.

Alan

= |AB| \times h = 10 \times 3 = 30\text{ cm}^2

Paralelkenarın alanı, bir taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Paralelkenarın alanı, ardışık iki kenarın uzunlukları ile bu kenarlar arasında kalan açının sinüs değerinin çarpımına eşittir.

İpuçları

1

Paralelkenarın alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpılmasıyla bulunur. D köşesinden AB tabanına bir dikme indirerek yüksekliği oluşturun.

2

Oluşan AHD dik üçgeni

30^\circ-60^\circ-90^\circ

dik üçgenidir. Bu üçgende

30^\circ

'lik açının karşısındaki dik kenarın (yüksekliğin) uzunluğu hipotenüsün yarısı kadardır.

3

Hipotenüs

6\text{ cm}

olduğuna göre yükseklik

3\text{ cm}

'dir. Taban uzunluğu olan

10\text{ cm}

ile bu yüksekliği çarparak alanı bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu aralarındaki açı

45^\circ

veya

60^\circ

olacak şekilde değiştirerek çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sinüslü alan formülü kullanılarak doğrudan Alan

= a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 10 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ) = 60 \cdot 0,5 = 30\text{ cm}^2

şeklinde de çözülebilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 7Soru →

Bir dışbükey dörtgenin iç açılarının ölçüleri sırasıyla $2$ , $3$ , $5$ ve $8$ sayılarıyla doğru orantılıdır. Buna göre, bu dörtgenin en büyük iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

80

100

160

240

320

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 160

Cevap

En büyük iç açının ölçüsü

160^\circ

olarak bulunur.

Dörtgenin iç açılarının toplamı

360^\circ

'dir. Açılar

2

,

3

,

5

ve

8

ile orantılı olduğundan, bu açılar sırasıyla

2k

,

3k

,

5k

ve

8k

olarak ifade edilir. Bu açıların toplamı olan

18k = 360^\circ

eşitliğinden

k = 20^\circ

elde edilir. Bizden en büyük iç açının ölçüsü istendiğinden,

8k = 8 \times 20^\circ = 160^\circ

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Açıları bir orantı sabiti (

k

) cinsinden yazın.

İç açılar sırasıyla

2k

,

3k

,

5k

ve

8k

olur.

Açıların

2

,

3

,

5

ve

8

sayılarıyla doğru orantılı olduğu belirtilmiştir.

2

Dörtgenin iç açılarının toplamını

360^\circ

'ye eşitleyin.

2k + 3k + 5k + 8k = 360^\circ

denklemi elde edilir.

Tüm dışbükey dörtgenlerin iç açılarının toplamı

360^\circ

'dir.

3

Elde edilen denklemi çözerek

k

değerini bulun.

18k = 360^\circ \implies k = 20^\circ

bulunur.

Bilinmeyen orantı sabitini belirlemek için denklem çözülür.

4

En büyük iç açıyı hesaplayın.

8k = 8 \times 20^\circ = 160^\circ

olarak bulunur.

Orantı katsayıları arasındaki en büyük değer

8

olduğu için en büyük açı

8k

'dır.

Anahtar Kavram

Bir dışbükey dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

360^\circ

'dir.

Tahmini Süre:45s

Soru 8Soru →

Köşegenleri dik kesişen dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninin köşegenlerinin kesim noktası $K$ noktasıdır. $|AB| = 5\text{ cm}$ , $|BC| = 2\sqrt{5}\text{ cm}$ ve $|AD| = 3\sqrt{5}\text{ cm}$ 'dir. Bu dörtgenin köşegenlerinin uzunlukları toplamı $|AC| + |BD| = 15\text{ cm}$ oldu��una göre, $ABCD$ dörtgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Köşegenleri dik kesişen ABCD dörtgeninin alanı 25 cm² olarak bulunur.

Köşegenleri dik kesişen bir dışbükey dörtgenin alanı, köşegenlerin uzunluklarının çarpımının yarısıdır. Yapılan hesaplamalar sonucunda köşegen uzunlukları 5 cm ve 10 cm olarak bulunmuş ve alan 25 cm² olarak elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde karşılıklı kenarların kareleri toplamının eşit olduğu kuralı uygulanır.

|CD|^2 = 40

ve buradan

|CD| = 2\sqrt{10}\text{ cm}

bulunur.

Karşılıklı kenar uzunlukları arasındaki bağıntıyı kurarak bilinmeyen

|CD|

kenarının uzunluğunu bulmak için.

2

Köşegen parçaları

|AK|=a

,

|BK|=b

,

|CK|=c

,

|DK|=d

tanımlanarak her bir dik üçgende Pisagor teoremi yazılır.

a^2+b^2=25

,

b^2+c^2=20

,

c^2+d^2=40

ve

d^2+a^2=45

denklemleri elde edilir.

Köşegen parçaları ile kenar uzunlukları arasındaki matematiksel ilişkileri kurmak için.

3

Elde edilen denklemler taraf tarafa çıkarılarak iki kare farkı özdeşliği uygulanır.

(a-c)(a+c)=5

ve

(d-b)(d+b)=20

bağıntıları elde edilir.

Köşegen uzunlukları olan

a+c

ve

b+d

toplam değerlerine ulaşabilmek için denklem sistemini basitleştirmek.

4

Köşegen uzunlukları toplamı

|AC| + |BD| = (a+c) + (b+d) = 15

eşitliği kullanılarak köşegen uzunlukları ayrı ayrı belirlenir.

|AC| = 5\text{ cm}

ve

|BD| = 10\text{ cm}

olarak bulunur.

Dörtgenin alanını hesaplayabilmek için köşegen uzunluklarının sayısal değerlerini tespit etmek.

5

Köşegenleri dik kesişen dörtgenin alan formülü (

A = \frac{e \cdot f}{2}

) uygulanır.

A(ABCD) = \frac{5 \cdot 10}{2} = 25\text{ cm}^2

bulunur.

Köşegenleri dik kesişen bir dörtgenin alanının köşegenler çarpımının yarısına eşit olması kuralını uygulamak.

Anahtar Kavram

Köşegenleri dik kesişen dışbükey dörtgenlerde karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir ve alan köşegenler çarpımının yarısına eşittir.

Soru 9Soru →

Bir çemberin içine çizilen $ABCD$ karesinin bir kenar uzunluğu $20\text{ cm}$ 'dir. Bu çemberin, karenin dışında kalan dört dairesel bölgesinden birinin içine; iki köşesi çember yayı üzerinde, diğer iki köşesi ise karenin bir kenarı üzerinde olacak şekilde bir $KLMN$ karesi yerleştiriliyor. Buna göre, $KLMN$ karesinin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Küçük karenin alanı

16\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Küçük karenin köşelerinin koordinatları analitik düzlemde ifade edilip çember denkleminde yerine yazıldığında, karenin kenar uzunluğu

4\text{ cm}

olarak elde edilir ve alanı

16\text{ cm}^2

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Karenin köşegenlerinin kesişim noktasını orijin

(0,0)

olarak seçip çemberin yarıçapını hesaplama.

ABCD

karesinin bir kenarı

20\text{ cm}

ise köşegen uzunluğu

20\sqrt{2}\text{ cm}

olur. Çember karenin köşelerinden geçtiği için yarıçapı

R = 10\sqrt{2}\text{ cm}

bulunur.

Çemberin denklemini oluşturabilmek için merkezini ve yarıçapını belirlememiz gerekir.

2

Çemberin denklemini yazma.

Merkezil çemberin denklemi

x^2 + y^2 = R^2 \implies x^2 + y^2 = 200

şeklindedir.

Çember üzerindeki noktaların koordinatları arasındaki ilişkiyi kurmak için çember denklemi gereklidir.

3

KLMN

karesinin köşelerinin koordinatlarını tanımlama.

Karenin üst kenarı

y = 10

doğrusu üzerindedir.

KLMN

karesinin kenar uzunluğuna

s

dersek,

y = 10

doğrusu üzerindeki köşeleri

N(-s/2, 10)

ve

M(s/2, 10)

, çember üzerindeki köşeleri ise

K(-s/2, 10+s)

ve

L(s/2, 10+s)

olur.

Geometrik şekli analitik düzleme aktararak cebirsel olarak çözebilmek için köşe koordinatlarını belirleriz.

4

L noktasını çember denkleminde yerine koyarak s değerini veren denklemi oluşturma.

\left(\frac{s}{2}\right)^2 + (10+s)^2 = 200 \implies \frac{s^2}{4} + 100 + 20s + s^2 = 200 \implies 5s^2 + 80s - 400 = 0 \implies s^2 + 16s - 80 = 0

elde edilir.

L noktası çember üzerinde olduğundan koordinatları çember denklemini sağlamak zorundadır.

5

İkinci derece denklemi çözerek kenar uzunluğunu ve alanı bulma.

(s+20)(s-4) = 0 \implies s = 4\text{ cm}

(

s > 0

olmalıdır). Buradan alan

s^2 = 4^2 = 16\text{ cm}^2

bulunur.

Karenin kenar uzunluğu negatif olamayacağı için pozitif kökü seçip alan formülünü uygularız.

Anahtar Kavram

Bir karenin köşegen özellikleri yardımıyla çevreleyen çemberin yarıçapını bulma ve çember denklemi kullanarak analitik çözüm yapma.

Soru 10Soru →

Şekildeki dışbükey $ABCD$ dörtgeninde $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri $E$ noktasında kesişmektedir. $ABE$ , $ADE$ ve $CDE$ üçgensel bölgelerinin alanları sırasıyla $4\text{ cm}^2$ , $6\text{ cm}^2$ ve $9\text{ cm}^2$ olarak verilmiştir. Buna göre, $BCE$ üçgensel bölgesinin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

5

6

7

8

13,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6$

Cevap

Dörtgenin köşegenlerinin ayırdığı karşılıklı üçgensel bölgelerin alanları çarpımı birbirine eşittir. Buradan

BCE

üçgensel bölgesinin alanı

6\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Dışbükey bir dörtgenin k��şegenleri çizildiğinde oluşan karşılıklı üçgenlerin alanları çarpımı birbirine eşittir. Soruda verilen

Alan(ABE) = 4\text{ cm}^2

,

Alan(ADE) = 6\text{ cm}^2

ve

Alan(CDE) = 9\text{ cm}^2

değerleri

Alan(ABE) \times Alan(CDE) = Alan(ADE) \times Alan(BCE)

formülünde yerine konulduğunda,

4 \times 9 = 6 \times Alan(BCE) \implies 36 = 6 \times Alan(BCE) \implies Alan(BCE) = 6\text{ cm}^2

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dörtgenin köşegenlerinin ayırdığı bölgelerin alan ilişkisini belirleme.

Alan(ABE) \times Alan(CDE) = Alan(ADE) \times Alan(BCE)

bağıntısı geçerlidir.

Bir dörtgende köşegenlerin oluşturduğu karşılıklı üçgenlerin alanları çarpımı her zaman eşittir.

2

Verilen değerleri formülde yerine yazarak bilinmeyen alanı hesaplama.

4 \times 9 = 6 \times Alan(BCE) \implies 36 = 6 \times Alan(BCE) \implies Alan(BCE) = 6\text{ cm}^2

Çarpma ve bölme işlemlerini sırasıyla uygulayarak bilinmeyen alanı yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

Bir dışbükey dörtgende köşegenlerin kesişimiyle oluşan karşılıklı üçgenlerin alanları çarpımı eşittir.

İpuçları

1

Dörtgenin köşegenlerinin kesişmesiyle oluşan dört üçgenin alanları arasında çarpımsal bir ilişki vardır.

2

Karşılıklı konumda bulunan üçgenlerin alanlarının çarpımı birbirine eşittir.

3

Alan(ABE) \times Alan(CDE) = Alan(ADE) \times Alan(BCE)

formülünü kullanarak bilinmeyen değeri bulunuz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, köşegenleri çizilmiş bir dörtgende üç bölgenin alanı verilip toplam alan sorulduğunda da aynı kuralı uygulayarak çözüme ulaşabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgenlerin alanlarının tabanlarıyla orantılı olmasını kullanabiliriz.

E

noktasından geçen

[AC]

köşegeni üzerinde

AE/EC

oranı, hem

Alan(ABE)/Alan(BCE)

hem de

Alan(ADE)/Alan(CDE)

oranına eşittir. Buradan

4/Alan(BCE) = 6/9 \implies 4/Alan(BCE) = 2/3 \implies Alan(BCE) = 6\text{ cm}^2

bulunur.

Tahmini Süre:45s

Soru 11Soru →

Bir $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [CD]$ 'dir. Yamuğun kenar uzunlukları $|AB| = 20\text{ cm}$ , $|CD| = 5\text{ cm}$ , $|AD| = 12\text{ cm}$ ve $|BC| = 9\text{ cm}$ olarak verilmiştir. Buna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç santimetrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Yamuğun alanı 90 santimetrekaredir.

Yamuğun C köşesinden AD yan kenarına çizilen paralel doğru parçası ile bir paralelkenar ve kenar uzunlukları 9, 12, 15 cm olan bir dik üçgen elde edilir. Bu dik üçgenin alan eşitliğinden yamuğun yüksekliği 7,2 cm olarak hesaplanır. Alt ve üst tabanların toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımı sonucu alan 90 santimetrekare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

C köşesinden [AD] yan kenarına paralel olacak şekilde [CE] doğru parçası çizilir (E noktası [AB] tabanı üzerindedir).

AECD bir paralelkenar olur ve

|AE| = |CD| = 5\text{ cm}

,

|CE| = |AD| = 12\text{ cm}

elde edilir. Taban üzerindeki

|EB|

uzunluğu ise

|AB| - |AE| = 20 - 5 = 15\text{ cm}

olarak bulunur.

Yamuğun yüksekliğini bulmak amacıyla şekri paralelkenar ve üçgene bölmek.

2

Oluşan CEB üçgeninin kenar uzunlukları (

|CE| = 12\text{ cm}

,

|BC| = 9\text{ cm}

,

|EB| = 15\text{ cm}

) kontrol edilir.

9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2

bağıntısı sağlandığı için CEB üçgeninin dik a��ılı bir üçgen olduğu ve dik açının C köşesinde (

m(\widehat{ECB}) = 90^\circ

) yer aldığı tespit edilir.

Dik üçgenin alan bağıntısını kullanarak yüksekliğe geçiş yapabilmek.

3

CEB üçgeninin [EB] hipotenüsüne ait yüksekliği (

h

) dik kenarların çarpımı yardımıyla hesaplanır.

\text{Alan}(CEB) = \frac{9 \times 12}{2} = 54\text{ cm}^2

olup aynı zamanda

\text{Alan}(CEB) = \frac{15 \times h}{2}

eşitliğinden

15 \times h = 108 \implies h = 7,2\text{ cm}

bulunur. Bu yükseklik aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir.

Yamuğun alanını hesaplamak için gerekli olan yükseklik değerini elde etmek.

4

Yamuğun alan formülü olan

\text{Alan} = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \times \text{Yükseklik}

bağıntısı uygulanır.

\text{Alan}(ABCD) = \frac{20 + 5}{2} \times 7,2 = 12,5 \times 7,2 = 90\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Elde edilen taban ve yükseklik değerleriyle yamuğun toplam alanını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Tüm kenar uzunlukları verilen bir yamukta, köşeden paralel çizilerek dik üçgen oluşturulması ve bu dik üçgenin alanı yardımıyla yamuğun yüksekliğinin bulunması.

Soru 12Soru →

Bir $ABCD$ karesinin çevresi $40\text{ cm}$ 'dir. Bu karenin köşegenlerinin kesim noktasının, karenin herhangi bir kenarına olan en kısa uzaklığı kaç $\text{cm}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Karenin köşegenlerinin kesim noktasının herhangi bir kenarına olan en kısa uzaklığı

5\text{ cm}

'dir.

Çevresi

40\text{ cm}

olan bir karenin bir kenar uzunluğu

10\text{ cm}

'dir. Karenin köşegenlerinin kesim noktası ağırlık merkezidir ve bu noktanın kenarlara olan en kısa uzaklığı, kenar uzunluğunun yarısı olan

5\text{ cm}

'ye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Karenin bir kenar uzunluğunu hesaplayın.

Karenin bir kenar uzunluğu

10\text{ cm}

olarak bulunur.

Bir karenin tüm kenar uzunlukları eşittir ve çevre uzunluğu bir kenarının 4 katına eşittir (

a = \frac{\text{Çevre}}{4}

).

2

Köşegenlerin kesim noktasının kenarlara olan en kısa uzaklığını bulun.

En kısa uzaklık

5\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Köşegenlerin kesim noktası karenin tam ortasındadır (ağırlık merkezi). Bu noktadan herhangi bir kenara çizilen en kısa doğru parçası kenara diktir ve uzunluğu kenar uzunluğunun yarısı kadardır (

d = \frac{a}{2}

).

Anahtar Kavram

Karenin çevre-kenar ilişkisi ve köşegen kesim noktasının (ağırlık merkezinin) kenarlara olan dik uzaklığı.

Soru 13Soru →

Bir $ABCD$ karesinin $[BD]$ köşegeni üzerinde bir $E$ noktası işaretleniyor.

$|DE| = 3\sqrt{2}\text{ cm}$ ve $|EB| = 5\sqrt{2}\text{ cm}$

olduğuna göre, $ABCD$ karesinin alanı kaç santimetrekaredir?

16

32

64

96

128

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Karenin alanı 64 santimetrekaredir.

Köşegen uzunluğu

8\sqrt{2}\text{ cm}

olarak bulunan karenin bir kenar uzunluğu, köşegen uzunluğunun

\sqrt{2}

'ye bölünmesiyle

8\text{ cm}

bulunur. Kenar uzunluğu

8\text{ cm}

olan karenin alanı ise

8^2 = 64\text{ cm}^2

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Köşegen uzunluğunu hesaplayınız.

|BD| = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\text{ cm}

[BD]

köşegeni, üzerindeki

E

noktası ile iki parçaya ayrılmıştır. Toplam köşegen uzunluğu bu iki parçanın uzunlukları toplamına eşittir.

2

Karenin bir kenar uzunluğunu bulunuz.

a = 8\text{ cm}

Bir kenar uzunluğu

a

olan bir karenin köşegen uzunluğu

a\sqrt{2}

'dir.

a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}

eşitliğinden karenin bir kenarı

a = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

3

Karenin alanını hesaplayınız.

\text{Alan} = 8^2 = 64\text{ cm}^2

Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesi alınarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Karede köşegen uzunluğu ile kenar uzunluğu arasındaki ilişki (

d = a\sqrt{2}

) ve karenin alanı (

A = a^2

).

İpuçları

1

Köşegen üzerindeki parçaların uzunluklarını toplayarak tüm köşegenin uzunluğunu elde edin.

2

Karenin bir kenar uzunluğu

a

ise köşegeninin

a\sqrt{2}

olduğunu hatırlayın.

3

Köşegen uzunluğu

8\sqrt{2}\text{ cm}

ise karenin bir kenarı

8\text{ cm}

'dir. Bu kenar uzunluğunun karesini alarak alana ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Köşegen uzunluğu verilen bir karenin çevresini bulmaya yönelik benzer alıştırmalar yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir:

\text{Alan} = \frac{d^2}{2}

. Köşegen uzunluğu

d = 8\sqrt{2}\text{ cm}

olduğundan,

\text{Alan} = \frac{(8\sqrt{2})^2}{2} = \frac{128}{2} = 64\text{ cm}^2

bulunur.

Tahmini Süre:45s

Soru 14Soru →

Şekildeki $ABCD$ deltoidinde $AB = AD$ ve $CB = CD$ 'dir. Bu deltoidin iç açılarından $m(\widehat{BAD}) = 80^\circ$ ve $m(\widehat{BCD}) = 40^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{ADC})$ açısının ölçüsü kaç derecedir?

60

80

100

120

140

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

120

Deltoidin tanımı gereği, eş olmayan kenarların birleştiği köşelerdeki açılar eşittir. Bu durumda

m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADC})

olur. Dörtgenin iç açılar toplamı

360^\circ

olduğundan,

80^\circ + 40^\circ + 2 \cdot m(\widehat{ADC}) = 360^\circ

denklemi çözüldüğünde bilinmeyen açının ölçüsü 120 derece olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Deltoidin birbirine eşit olan açıların�� belirleyin.

m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADC})

olduğu belirlenir.

Deltoidde, farklı uzunluktaki kenarların birleştiği köşelerdeki açılar birbirine eşittir (

AB = AD

ve

CB = CD

olduğundan,

B

ve

D

köşelerindeki açılar eştir).

2

Dörtgenin iç açılarının toplamı kuralını uygulayarak bir denklem kurun.

m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{BCD}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ADC}) = 360^\circ

denklemi elde edilir.

Bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman

360^\circ

'dir.

3

Verilen değerleri denklemde yerine yazarak bilinmeyen açıyı hesaplayın.

80^\circ + 40^\circ + 2 \cdot m(\widehat{ADC}) = 360^\circ \implies 120^\circ + 2 \cdot m(\widehat{ADC}) = 360^\circ \implies 2 \cdot m(\widehat{ADC}) = 240^\circ \implies m(\widehat{ADC}) = 120^\circ

bulunur.

Cebirsel işlemlerle bilinmeyen açının değeri yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Deltoidin Açı Özellikleri

Soru 15Soru →

Şekildeki $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ 'dir. Yamuğun köşegenleri olan $[AC]$ ve $[BD]$ doğru parçaları $E$ noktasında kesişmektedir. $DEC$ üçgeninin alanı $9\text{ cm}^2$ olarak verilmiştir. $E$ noktasının $[AB]$ tabanına olan en kısa uzaklığı, $[DC]$ tabanına olan en kısa uzaklığının 3 katıdır. Buna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

16

90

108

144

288

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Yamuğun toplam alanı 144 cm²'dir.

Köşegenlerin kesişmesiyle oluşan benzer üçgenlerin benzerlik oranı yükseklikler oranından 3 olarak bulunur. Benzer üçgenlerin alan oranı benzerlik oranının karesi (9) olduğundan alt taban üçgeninin alanı 81 cm² olur. Yan üçgenlerin alanları ise alt ve üst taban üçgenlerinin alanlarının geometrik ortalaması olan 27 cm² olarak bulunur. Yamuğun tüm alanlarının toplamı 9 + 81 + 27 + 27 = 144 cm² sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Köşegenlerin oluşturduğu benzer üçgenlerin benzerlik oranını belirlemek.

[AB] \parallel [CD]

olduğundan

\triangle CDE \sim \triangle ABE

benzerliği kurulur.

E

noktasının tabanlara uzaklıkları oranı benzerlik oranını vereceğinden benzerlik oranı

\frac{h_2}{h_1} = 3

olarak bulunur.

Paralel doğrular arasında kalan köşegenlerin oluşturduğu üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı yüksekliklerin oranına eşittir.

2

Benzerlik oranını kullanarak tabandaki ABE üçgeninin alanını hesaplamak.

\text{Alan}(ABE) = 3^2 \times \text{Alan}(DEC) = 9 \times 9 = 81\text{ cm}^2

bulunur.

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

3

Yanlarda kalan AED ve BEC üçgenlerinin alanlarını hesaplamak.

\text{Alan}(AED) = \text{Alan}(BEC) = \sqrt{\text{Alan}(DEC) \times \text{Alan}(ABE)} = \sqrt{9 \times 81} = 27\text{ cm}^2

bulunur.

Yamukta köşegenlerin ayırdığı yan üçgenlerin alanları birbirine eşittir ve bu alanların karesi taban üçgenlerinin alanlarının çarpımına eşittir.

4

Tüm üçgenlerin alanlarını toplayarak yamuğun alanını bulmak.

\text{Alan}(ABCD) = 9 + 81 + 27 + 27 = 144\text{ cm}^2

bulunur.

Yamuğun toplam alanı, köşegenlerin sınırladığı dört alt üçgenin alanlarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Yamukta köşegenlerin oluşturduğu benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Ayrıca yanlarda kalan üçgenlerin alanları birbirine eşit olup taban alanlarının geometrik ortalamasıdır.

İpuçları

1

Köşegenlerin kesişimiyle oluşan DEC ve ABE üçgenlerinin benzer olduğunu fark edin.

2

Benzer üçgenlerde alanlar oranının benzerlik oranının karesine eşit olduğunu hatırlayarak ABE üçgeninin alanını bulun.

3

Yamukta yanlarda kalan AED ve BEC üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu ve Alan(AED)² = Alan(DEC) × Alan(ABE) bağıntısını sağladığını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla köşegenlerin ayırdığı yan üçgenlerin alanları bilinen bir yamukta tabanların uzunlukları oranını bulmaya yönelik sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

DEC üçgeninin alanını taban (a) ve yükseklik (h₁) cinsinden a × h₁ / 2 = 9 yazarak a × h₁ = 18 olarak bulabiliriz. Benzerlik oranından dolayı alt taban 3a ve yamuğun toplam yüksekliği 4h₁ olur. Yamuğun alan formülü olan [(a + 3a) / 2] × 4h₁ = 8 × (a × h₁) / 2 = 8 × 18 = 144 cm² formülünden doğrudan sonuca ulaşabiliriz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 16Soru →

Bir kenar uzunluğu $12\text{ cm}$ olan $ABCD$ karesinin içine, karenin tüm kenarlarına teğet olacak şekilde bir çember çiziliyor. $[AD]$ kenarı üzerinde, $A$ köşesine olan uzaklığı $3\text{ cm}$ olan bir $P$ noktası belirleniyor. $P$ noktasından bu çembere çizilen diğer teğet doğrusu, $[AB]$ kenarını $Q$ noktasında kesiyor. Buna göre, $Q$ noktasının $A$ köşesine olan uzaklığı ( $|AQ|$ ) kaç $\text{cm}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Q noktasının A köşesine olan uzaklığı 4 cm'dir.

Çemberin kareye teğet olma özelliklerinden yararlanarak

|PT| = 3\text{ cm}

ve

|QT| = 6 - y

(burada

|AQ| = y

) bulunur.

APQ

dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında

(9-y)^2 = 3^2 + y^2

denklemi elde edilir ve buradan

y = 4

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Çemberin yarıçapını ve kenarlardaki teğet noktalarını belirleme

Yarıçap

6\text{ cm}

olup

[AD]

ve

[AB]

kenarlarındaki teğet noktaları

M

ve

N

kenar orta noktalarıdır (

|AM| = |AN| = 6\text{ cm}

).

Çember kareye teğet olduğundan teğet noktaları kenarların tam ortasındadır.

2

P noktasından çizilen teğet uzunluğunu hesaplama

|PM| = 3\text{ cm}

ve dolayısıyla

|PT| = 3\text{ cm}

'dir.

Bir noktadan çembere çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir (

|PT| = |PM|

).

3

Q noktasından çizilen teğet uzunluğunu ifade etme ve PQ uzunluğunu bulma

|AQ| = y

için

|QT| = 6 - y

ve

|PQ| = 9 - y

olur.

Teğet parçalarının eşitliğinden

|QT| = |QN| = 6 - y

olur ve

PQ

uzunluğu bu iki teğet parçasının toplamıdır.

4

APQ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak y değerini bulma

y = 4\text{ cm}

olarak bulunur.

A

köşesi dik açı olduğundan

APQ

dik üçgeninde

|PQ|^2 = |AP|^2 + |AQ|^2

bağıntısı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet uzunluklarının eşitliği ve dik üçgende Pisagor teoreminin kare içerisinde uygulanması.

Soru 17Soru →

Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninin köşegenleri $O$ noktasında kesişmektedir. Bu eşkenar dörtgenin çevresi $40\text{ cm}$ 'dir.

$[BC]$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası ve $[CD]$ kenarı üzerinde bir $F$ noktası için $OE \perp BC$ ve $OF \perp CD$ olacak şekilde doğru parçaları çiziliyor.

$|OE| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $OEF$ üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

3,2

4,8

6,4

8

12,8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6,4

Cevap

OEF üçgeninin alanı 6,4 cm²'dir.

Doğru seçenekte yer alan 6,4 değeri, eşkenar dörtgenin çevresinden yola çıkarak bir kenarının 10 cm bulunması, köşegenlerin kesim noktası O'dan kenarlara çizilen dikmelerin eşitliği ile |OE| = |OF| = 4 cm olması ve eşkenar dörtgenin toplam alanı (80 cm²) üzerinden C açısının sinüsünün 0,8 olarak bulunmasıyla elde edilir. OECF dörtgeninde E ve F açıları 90 derece olduğundan, EOF açısı ile C açısı birbirini 180 dereceye tamamlar. Sinüs değerleri eşit olduğundan, OEF üçgeninin alanı sinüslü alan formülüyle 6,4 cm² olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu bulma.

a = 10\text{ cm}

Eşkenar dörtgenin tüm kenarları eşit uzunluktadır. Çevresi

40\text{ cm}

olduğuna göre bir kenarı

40 / 4 = 10\text{ cm}

olur.

2

Köşegenlerin kesişimiyle oluşan dik üçgenleri analiz etme.

|OF| = 4\text{ cm}

Eşkenar dörtgende kö��egenler birbirini ortalar ve dik keser. Bu yüzden oluşan 4 dik üçgen birbirine eştir. O noktasından kenarlara indirilen tüm dikmelerin uzunlukları eşit olmalıdır.

|OE| = 4\text{ cm}

ise

|OF| = 4\text{ cm}

olur.

3

Eşkenar dörtgenin alanını hesaplama.

\text{Alan}(ABCD) = 80\text{ cm}^2

Kesişim noktası O ile oluşan

\triangle OBC

üçgeninin alanı

\frac{10 \times 4}{2} = 20\text{ cm}^2

olur. Dörtgenin toplam alanı bu eş üçgenlerden 4 tanesinin alan��na eşittir:

4 \times 20 = 80\text{ cm}^2

.

4

Eşkenar dörtgenin iç açısının sinüsünü bulma.

\sin(\widehat{C}) = 0,8

Eşkenar dörtgenin alanı komşu kenarlarının çarpımı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir:

\text{Alan}(ABCD) = 10 \times 10 \times \sin(\widehat{C}) = 100 \sin(\widehat{C}) = 80 \implies \sin(\widehat{C}) = 0,8

.

5

OECF

dörtgenindeki açı ilişkisini belirleme.

m(\widehat{EOF}) = 180^\circ - \widehat{C}

ve

\sin(m(\widehat{EOF})) = 0,8

OECF

dörtgeninde

m(\widehat{OEC}) = m(\widehat{OFC}) = 90^\circ

olduğundan karşılıklı açılar toplamı

180^\circ

olur. Dolayısıyla birbirini

180^\circ

'ye tamamlayan açıların sinüsleri eşittir.

6

OEF üçgeninin alanını sinüslü alan formülü ile hesaplama.

\text{Alan}(\triangle OEF) = 6,4\text{ cm}^2

\text{Alan}(\triangle OEF) = \frac{1}{2} \times |OE| \times |OF| \times \sin(m(\widehat{EOF})) = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times 0,8 = 6,4\text{ cm}^2

.

Anahtar Kavram

Eşkenar dörtgende simetri merkezi özellikleri, alan bağınt��ları ve sinüslü alan formülü

Alternatif Yöntem

Eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları

e

ve

f

olsun.

\text{Alan}(ABCD) = \frac{e \cdot f}{2} = 80

ve

e^2 + f^2 = 4a^2 = 400

denklemlerinden köşegenler

e = 8\sqrt{5}

ve

f = 4\sqrt{5}

olarak çözülür. Köşegenler yardımıyla oluşan dik üçgenlerdeki trigonometrik ilişkiler kullanılarak

\sin(\widehat{C})

değeri ve dolayısıyla OEF üçgeninin alanı hesaplanabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 18Soru →

Bir dışbükey

ABCD

dörtgeninde iç açılar ve dış açılar arasındaki ilişkiler aşağıdaki gibidir:

\begin{aligned} m(\widehat{A}) &= 3x - 10^\circ \\ m(\widehat{B}) &= 2x + 20^\circ \\ m(\widehat{C}) &= 4x - 30^\circ \end{aligned}

D

köşesine ait dış açının ölçüsü ise

x + 40^\circ

'dir.

Buna göre, $ABCD$ dörtgeninin $D$ köşesine ait iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

70

106

110

74

65

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 110

Cevap

110

D köşesindeki iç ve dış açıların toplamı

180^\circ

olduğundan, iç açının ölçüsü

140^\circ - x

olur. Dörtgenin iç açılarının toplamı olan

360^\circ

denkleminden

8x + 120^\circ = 360^\circ

elde edilir ve

x = 30^\circ

bulunur. Buradan D köşesinin iç açısı

140^\circ - 30^\circ = 110^\circ

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

D köşesindeki iç ve dış açıların bütünler olduğunu kullanarak iç açının ifadesini x cinsinden yazın.

m(\widehat{D}) = 180^\circ - (x + 40^\circ) = 140^\circ - x

Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı her zaman

180^\circ

olmalıdır.

2

Dörtgenin iç açılarının toplamının

360^\circ

olduğunu kullanarak x değerini bulun.

(3x - 10^\circ) + (2x + 20^\circ) + (4x - 30^\circ) + (140^\circ - x) = 360^\circ \Rightarrow 8x + 120^\circ = 360^\circ \Rightarrow 8x = 240^\circ \Rightarrow x = 30^\circ

Dışbükey bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman

360^\circ

'dir.

3

Bulunan x değerini D köşesinin iç açısının ifadesinde yerine yazın.

m(\widehat{D}) = 140^\circ - 30^\circ = 110^\circ

Bizden D köşesinin iç açısı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Dörtgenlerin iç açılar toplamı ve komşu bütünler açılar

Soru 19Soru →

Bir dışbükey (konveks) çokgenin üç iç açısının ölçüleri $150^\circ$ , $155^\circ$ ve $160^\circ$ dir. Bu çokgenin diğer tüm iç açılar��nın ölçüleri birbirine eşit ve $165^\circ$ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

10

20

22

21

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 22'dir.

Doğru olan 22 değeri, dış açılar toplamının

360^\circ

olmasından yararlanılarak bulunur. 3 köşenin dış açıları toplamı

75^\circ

olup, kalan

n-3

köşenin her birinin dış açısı

15^\circ

olduğundan

(n-3) \times 15 = 285

eşitliğinden

n-3 = 19

ve

n = 22

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Çokgenin dış açılarının toplamının her zaman

360^\circ

olduğu bilgisini kullanmak üzere, verilen iç açıların dış açılarını hesaplayalım.

Verilen iç açılar

150^\circ

,

155^\circ

ve

160^\circ

olduğuna göre bunlara ait dış açılar sırasıyla

180^\circ - 150^\circ = 30^\circ

,

180^\circ - 155^\circ = 25^\circ

ve

180^\circ - 160^\circ = 20^\circ

olur. Diğer eşit iç açılar

165^\circ

olduğuna göre, bunlara ait dış açılar

180^\circ - 165^\circ = 15^\circ

olur.

Çokgenlerin kenar sayısını bulmak için dış açılar toplamı formülünü kullanmak, iç açılar toplamı formülüne göre işlemleri oldukça kolaylaştırır.

2

Çokgenin kenar sayısına

n

diyelim. Toplam

n

tane köşe ve dolayısıyla

n

tane dış açı vardır. 3 tanesini bildiğimize göre, kalan

n-3

tane dış açının her biri

15^\circ

olacaktır. Tüm dış açılar toplamını

360^\circ

'ye eşitleyelim.

30^\circ + 25^\circ + 20^\circ + (n-3) \times 15^\circ = 360^\circ

denklemini elde ederiz. Buradan

75^\circ + (n-3) \times 15^\circ = 360^\circ

olur.

Bir dışbükey çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman

360^\circ

'dir.

3

Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek

n

değerini bulalım.

(n-3) \times 15 = 285 \implies n-3 = 19 \implies n = 22

olarak bulunur.

Çokgenin kenar sayısını temsil eden

n

değişkenini yalnız bırakarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman

360^\circ

olup, bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı

180^\circ

'dir.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, çokgenin iç açılar toplamı formülü

(n-2) \times 180^\circ

kullanılarak denklem kurulabilir:

(n-2) \times 180 = 150 + 155 + 160 + (n-3) \times 165

. Bu denklemi düzenlersek

180n - 360 = 165n - 30 \implies 15n = 330 \implies n = 22

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 20Soru →

Tabanları sırasıyla $[AB]$ ve $[CD]$ olan bir $ABCD$ ikizkenar yamuğunda, $[AB] \parallel [CD]$ ve yan kenar uzunlukları $|AD| = |BC| = 10\text{ cm}$ olarak verilmiştir. Bu yamukta üst taban uzunluğu $|CD| = 5\text{ cm}$ ve alt taban uzunluğu $|AB| = 17\text{ cm}$ olduğuna göre, yamuğun alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

44

66

88

132

176

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 88

Cevap

Yamuğun alanı 88 santimetrekaredir.

Yamuğun alanı, alt ve üst taban uzunluklarının toplamı ile yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. Bu soruda yükseklik Pisagor bağıntısı yardımıyla 8 cm olarak hesaplanmış, ardından taban toplamları olan 22 cm ile çarpılıp ikiye bölünerek 88 cm² olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

İkizkenar yamuğun üst köşelerinden alt tabana dikmeler indirerek dik üçgenler oluşturun.

Alt taban üzerinde oluşan parçaların uzunlukları

AH = KB = \frac{17 - 5}{2} = 6\text{ cm}

ve

HK = 5\text{ cm}

olur.

İkizkenar yamukta yüksekliklerin tabanda ayırdığı yan parçaların uzunlukları birbirine eşittir.

2

Oluşan dik üçgenlerden birinde Pisagor bağıntısını uygulayarak yamuğun yüksekliğini bulun.

Yükseklik

h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

Yamuğun alanını hesaplayabilmek için dik yüksekliğin bilinmesi gerekir.

3

Yamuğun alan formülünü uygulayarak alanı hesaplayın.

Alan

= \frac{(17 + 5) \cdot 8}{2} = 88\text{ cm}^2

olarak hesaplanır.

Yamuğun alanı, alt ve üst taban uzunlukları toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Yamukta Alan

Tahmini Süre:1m 0s

Çokgenler ve Dörtgenler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap