Examkin

Sayısal Belirsizliği Olan Gruplandırma

10 soru

Soru 1Soru →

Ahmet, Burak, Ceren, Deniz ve Elif adlı 5 kişi, Kırmızı ve Mavi adlı iki gruba ayrılacaktır. Bu kişilerin gruplara dağılımıyla ilgili şunlar bilinmektedir:

* Her bir grupta en az bir kişi yer almaktadır.
* Kırmızı gruptaki kişi sayısı Mavi gruptaki kişi sayısından fazladır.
* Ceren ve Deniz aynı gruptadır.
* Ahmet Mavi gruptadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ceren Kırmızı gruptadır.

Cevap

Ceren Kırmızı gruptadır.
Ceren ve Deniz aynı gruptadır. Eğer bu iki kişi Mavi grupta olsaydı, zaten Mavi grupta olan Ahmet ile birlikte Mavi gruptaki kişi sayısı en az üç olurdu. Toplam beş kişi olduğundan, Kırmızı gruba en fazla iki kişi kalırdı. Bu durum, Kırmızı gruptaki kişi sayısının Mavi gruptakinden fazla olması kuralıyla çelişir. Dolayısıyla Ceren ve Deniz kesinlikle Kırmızı gruptadır.

Adım Adım Çözüm

1
Grupların alabileceği kişi sayılarını belirleme.
Toplam 5 kişi vardır. Kırmızı gruptaki kişi sayısı Mavi gruptakinden fazla olacağına göre, olası kişi dağılımları Kırmızı: 4 kişi / Mavi: 1 kişi veya Kırmızı: 3 kişi / Mavi: 2 kişi şeklindedir.
Kırmızı gruptaki kişi sayısının Mavi gruptakinden fazla olması kuralını sağlayacak sayısal kombinasyonları belirlemek.
2
Ceren ve Deniz'in olası gruplarını analiz etme.
Eğer Ceren ve Deniz Mavi grupta olsaydı, zaten Mavi grupta olan Ahmet ile birlikte Mavi gruptaki kişi sayısı en az 3 olurdu. Bu durumda Kırmızı gruba en fazla 2 kişi kalırdı. Bu durum, Kırmızı gruptakilerin sayısının Mavi gruptakilerden fazla olması kuralıyla çelişir.
Ceren ve Deniz'in aynı grupta olması öncülünün sayısal sınırlar üzerindeki etkisini test etmek.
3
Sonuca ulaşma.
Ceren ve Deniz kesinlikle Kırmızı gruptadır. Ahmet kesin olarak Mavi gruptadır. Geri kalan iki kişi (Burak ve Elif) ise olasılıklara göre dağılır.
İkinci adımdaki çelişki nedeniyle Ceren ve Deniz'in Mavi grupta yer alamayacağını, dolayısıyla kesinlikle Kırmızı grupta bulunmaları gerektiğini belirlemek.

Anahtar Kavram

Sayısal Belirsizliği Olan Gruplandırma

İpuçları

1
Kırmızı gruptaki kişi sayısının Mavi gruptakinden fazla olması gerektiğini ve toplamda 5 kişi bulunduğunu unutmayın.
2
Ceren ve Deniz'in aynı grupta olduğunu biliyoruz. Onları Mavi gruba yerleştirmeyi denerseniz gruptaki kişi sayıları kuralı nasıl etkilenir?
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2Soru →

Bir üniversitede çalışan Ayhan, Buse, Canan, Davut, Engin ve Filiz adlı 6 akademisyen, bilimsel bir araştırma projesi kapsamında kurulan A ve B çalışma gruplarına katılacaktır. Akademisyenlerin gruplara dağılımıyla ilgili şunlar bilinmektedir:

* Her akademisyen sadece bir grupta yer almaktadır.
* Her grupta en az bir akademisyen bulunmaktadır.
* B grubundaki akademisyen sayısı A grubundakinden fazladır.
* Ayhan ve Buse aynı gruptadır.
* Canan ve Davut farklı gruplardadır.
* Engin, A grubundadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Filiz B grubundadır.

Cevap

Filiz'in B grubunda yer alması
Filiz her iki olası senaryoda da kesinlikle B grubunda yer almaktadır. Dolayısıyla bu ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Grupların alabileceği eleman sayılarını (kontenjanları) belirleme.
A grubunun 2, B grubunun 4 elemanı olmalıdır.
Toplam 6 kişi vardır, her grupta en az 1 kişi bulunmalıdır ve B grubunun eleman sayısı A grubundan fazladır (B > A). Bu durumda olası dağılımlar A=1, B=5 veya A=2, B=4 şeklindedir. Ancak Canan ve Davut farklı gruplarda olduğu için biri A'da, diğeri B'de olmalıdır. Engin de A grubunda olduğuna göre A grubu en az 2 elemanlı olmalıdır. Dolayısıyla tek geçerli dağılım A=2 ve B=4'tür.
2
Akademisyenleri gruplara yerleştirme olasılıklarını analiz etme.
İki farklı geçerli yerleşim düzeni (olasılık) elde edilir.
Engin A grubundadır. Canan ve Davut farklı gruplarda olacağı için A grubunun ikinci üyesi Canan ya da Davut olmalıdır. Bu durum iki olasılık yaratır: 1. Olasılık: A={Engin, Canan}, B={Ayhan, Buse, Davut, Filiz}. 2. Olasılık: A={Engin, Davut}, B={Ayhan, Buse, Canan, Filiz}.
3
Seçenekleri bu olasılıklara göre değerlendirerek kesin doğruyu bulma.
Filiz'in her iki olasılıkta da kesinlikle B grubunda yer aldığı görülür.
Her iki olasılık tablosu incelendiğinde Ayhan, Buse ve Filiz her durumda B grubunda yer almaktadır. Dolayısıyla Filiz'in B grubunda olması kesinlikle doğrudur.

Anahtar Kavram

Sayısal Belirsizliği Olan Gruplandırma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →

Bir şirkette çalışan Kaan, Leyla, Murat, Nalan, Özgür, Pelin ve Rıza adlı 7 çalışan; Finans, Pazarlama ve Yönetim olmak üzere üç farklı eğitim programına katılacaktır. Çalışanların eğitimlere katılımıyla ilgili şunlar bilinmektedir:

* Her bir eğitime en az bir kişi katılacaktır.
* Pazarlama eğitimine katılan kişi sayısı, Yönetim eğitimine katılan kişi sayısından fazladır.
* Kaan ve Nalan aynı eğitime katılacaktır.
* Leyla ve Özgür farklı eğitimlere katılacaktır.
* Pelin, Finans eğitimine katılacaktır.
* Murat ve Rıza'dan biri Finans eğitimine katılırken diğeri Pazarlama eğitimine katılacaktır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yönetim eğitimine katılan kişi sayısı birdir.

Cevap

Yönetim eğitimine katılan kişi sayısı birdir.
Yapılan analizler sonucunda Kaan ve Nalan çiftinin Yönetim grubunda yer alamayacağı, Leyla ve Özgür'ün ise farklı gruplarda olması gerektiği için Yönetim grubuna bu iki kişiden yalnızca birinin gelebileceği ve grubun mevcudunun kesinlikle 1 kişi olduğu kanıtlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen kısıtlamalara göre grupların minimum mevcudunu ve genel yapıyı analiz etmek.
Finans (F) grubunda Pelin ve Murat/Rıza ikilisinden biri kesinlikle vardır, yani en az 2 kişi bulunur. Pazarlama (P) grubunda Murat/Rıza ikilisinden biri kesinlikle vardır, yani en az 1 kişi bulunur. Yönetim (Y) grubunda ise en az 1 kişi bulunmalıdır. Ayrıca Pazarlama > Yönetim kuralı vardır.
Sorudaki temel parametrelerin alt ve üst sınırlarını çizmek için.
2
Kaan ve Nalan (K ve N) çiftinin Yönetim (Y) grubunda yer alıp alamayacağını kontrol etmek.
K ve N'nin Y grubunda olması durumunda Y grubunun mevcudu en az 2 olur. P > Y olması gerektiğinden P en az 3 olmalıdır. F ise en az 2 kişiliktir. Bu durumda toplam kişi sayısı en az 2 (F) + 3 (P) + 2 (Y) = 7 olur. Ancak Leyla (L) ve Özgür (O) farklı gruplarda olmalıdır. L ve O'nun ikisi de Y grubunda olamayacağından (çünkü Y grubunda sadece K ve N olur veya Y mevcudu daha da artar ki bu toplam mevcudu aşar), biri F ya da P grubuna gitmelidir. Bu durumda F veya P mevcudu artar ve toplam kişi sayısı en az 8 olur. Bu bir çelişkidir, dolayısıyla K ve N ikilisi Y grubunda yer alamaz.
Birlikte hareket eden Kaan ve Nalan çiftinin Yönetim grubunda bulunma olasılığını elemek için.
3
Yönetim (Y) grubunun mevcudunu belirlemek.
K ve N çifti F veya P gruplarından birinde yer almalıdır. Leyla ve Özgür farklı gruplarda olduğuna göre, Y grubunun mevcudunun 2 veya daha fazla olması imkansızdır (çünkü Y grubunda K ve N olamaz, L ve O aynı anda olamaz). Bu durumda Y grubunda sadece 1 kişi yer alabilir ve bu kişi Leyla ya da Özgür'den biridir. Dolayısıyla Yönetim eğitimine katılan kişi sayısı kesinlikle birdir.
Alternatif senaryoları eleyerek Yönetim grubunun kesin mevcuduna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayısal Belirsizliği Olan Gruplandırma Kurguları

İpuçları

1
Her eğitim grubunda en az 1 kişi bulunması gerektiğini ve Pazarlama grubundaki kişi sayısının Yönetim grubundan fazla olduğunu unutmayın.
2
Kaan ve Nalan çiftini Yönetim grubuna yerleştirmeyi deneyin. Bu durumun toplam kişi sayısını ve Leyla ile Özgür'ün farklı gruplarda olması kuralını nasıl etkilediğini gözlemleyin.
3
Kaan ve Nalan Yönetim grubunda olamazsa ve Leyla ile Özgür farklı gruplarda olmak zorundaysa, Yönetim grubunun mevcudu en fazla kaç olabilir? Bunu hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir gruplandırma sorusunda bu kez grup kontenjanlarının net olarak verildiği ancak kişilerin eşleşmelerinin belirsiz olduğu durumları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tablo oluştururken Finans, Pazarlama ve Yönetim sütunlarını çizip, Pelin'i Finans'a, Murat ve Rıza'yı sırasıyla F/P ve P/F olarak yerleştirerek kalan değişkenlerin olası dağılımlarını iki farklı ana şablonda (Kaan-Nalan'ın F'de olduğu durum ve P'de olduğu durum) göstererek hızlıca çözüme ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →

Bir botanik bahçesinde bulunan Açelya, Begonya, Çiğdem, Defne, Eğrelti, Fesleğen, Gelincik ve Hanımeli adlı sekiz farklı bitki türü; Kuzey, Güney ve Doğu olarak adlandırılan üç farklı seraya yerleştirilecektir. Bitkilerin seralara dağılımına ilişkin bilinenler şunlardır:

* Her seraya en az bir bitki yerleştirilmiştir.
* Her seradaki bitki sayısı birbirinden farklıdır.
* Güney serasındaki bitki sayısı, Kuzey serasındaki bitki sayısından fazladır.
* Doğu serasında en az üç bitki bulunmaktadır.
* Açelya ve Begonya aynı seraya yerleştirilmiştir.
* Begonya ve Hanımeli aynı seraya yerleştirilmiştir.
* Eğrelti ve Hanımeli aynı seraya yerleştirilmiştir.
* Çiğdem ve Defne farklı seralara yerleştirilmiştir.
* Eğrelti ve Fesleğen farklı seralara yerleştirilmiştir.
* Gelincik Güney serasına yerleştirilmiştir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Begonya ve Eğrelti aynı seraya yerleştirilmiştir.

Cevap

Begonya ve Eğrelti bitkilerinin aynı seraya yerleştirilmiş olduğu ifadesi kesinlikle doğrudur.
Yapılan analizler sonucunda Açelya, Begonya, Hanımeli ve Eğrelti bitkilerinin dördünün de her koşulda birlikte Doğu serasında yer alması gerektiği kanıtlanmıştır. Bu nedenle Begonya ve Eğrelti bitkilerinin aynı serada yer aldığı bilgisi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Seraların kapasitelerini (bitki sayılarını) belirlemek amacıyla öncülleri analiz etme.
Kuzey (KK), Güney (GG) ve Doğu (DD) seralarının bitki sayıları (n(K),n(G),n(D)n(K), n(G), n(D)) birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. Toplam 88 bitki vardır. n(G)>n(K)n(G) > n(K) ve n(D)≥3n(D) \geq 3 olduğu verilmiştir. Eğer n(K)≥2n(K) \geq 2 olsaydı, n(G)≥3n(G) \geq 3 olmak zorunda kalırdı ve eleman sayıları farklı olacağı için en az 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9 bitki gerekirdi. Bu durum toplam bitki sayısı olan 88 ile çelişir. Dolayısıyla n(K)=1n(K) = 1 olmalıdır.
Her serada en az bir bitki bulunması ve seralardaki bitki sayılarının farklı olması koşulunu sağlamak.
2
Güney ve Doğu seralarının olası bitki sayılarını belirleme.
n(K)=1n(K) = 1 olduğundan, n(G)+n(D)=7n(G) + n(D) = 7 olmalıdır. n(D)≥3n(D) \geq 3 koşuluna ve eleman sayılarının farklı olma zorunluluğuna göre olası ikililer: 1) n(G)=2,n(D)=5n(G)=2, n(D)=5, 2) n(G)=3,n(D)=4n(G)=3, n(D)=4 ve 3) n(G)=4,n(D)=3n(G)=4, n(D)=3 şeklindedir.
Sayısal belirsizlik içeren gruplandırma şablonunu daraltmak.
3
Birlikte bulunması gereken bitki gruplarını belirleyip seralara yerleştirme.
Açelya-Begonya, Begonya-Hanımeli ve Eğrelti-Hanımeli çiftlerinin aynı serada olması; Açelya, Begonya, Hanımeli ve Eğrelti bitkilerinin dördünün de aynı serada yer aldığını gösterir: X={Ac\celya,Begonya,Hanımeli,Eg˘relti}X = \{Açelya, Begonya, Hanımeli, Eğrelti\}. Bu grup Kuzey'de olamaz (n(K)=1n(K)=1). Güney'de de olamaz, çünkü Gelincik de Güney'dedir ve bu durumda Güney serasında en az 55 bitki (44 + Gelincik) olması gerekirdi. Ancak maksimum Güney kapasitesi 44'tür. Bu nedenle bu dört bitki kesinlikle Doğu serasındadır. Bu durum Doğu serasının en az 44 bitki barındırmasını gerektirdiğinden n(D)=3n(D)=3 olan durum elenir. Olası kapasite dağılımları (1,2,5)(1, 2, 5) veya (1,3,4)(1, 3, 4) olur.
Bitkilerin seralardaki kesin konumlarını ve olası kapasite dağılımlarını netleştirmek.
4
Doğu serasındaki bitkilerin birlikteliğini analiz etme ve soruyu çözme.
Her iki olası kapasite dağılımında da Açelya, Begonya, Hanımeli ve Eğrelti bitkileri kesin olarak Doğu serasindedir. Dolayısıyla Begonya ve Eğrelti her durumda aynı serada yer alır.
Bulunan kesin yerleşimler doğrultusunda seçenekleri değerlendirmek.

Anahtar Kavram

Sayısal Belirsizliği Olan Gruplandırma
Soru 5Soru →

Bir şirkette çalışan Arda, Buse, Cenk, Defne, Elif, Furkan ve Gamze adlı 77 kişi; Yazılım, Tasarım ve Pazarlama departmanlarında görev almaktadır. Bu kişilerin departmanlara dağılımıyla ilgili şunlar bilinmektedir:

* Her departmanda en az bir kişi çalışmaktadır.
* Tasarım departmanındaki kişi sayısı, Yazılım departmanındaki kişi sayısından fazladır.
* Pazarlama departmanındaki kişi sayısı en az 22'dir.
* Defne, Yazılım departmanındadır.
* Arda ve Buse aynı departmandadır.
* Cenk ve Elif farklı departmanlardadır.
* Furkan ve Gamze farklı departmanlardadır.
* Pazarlama departmanında çal��şanlardan biri Cenk'tir.

Arda ve Buse'nin Tasarım departmanında çalıştığı biliniyorsa, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Pazarlama departmanında 2 kişi çalışmaktadır.

Cevap

Pazarlama departmanında 2 kişi çalışmaktadır.
Pazarlama departmanında çalışanlardan biri Cenk'tir ve en az 2 kişi bulunmalıdır. Arda ve Buse Tasarım'da, Defne Yazılım'dadır. Elif, Cenk ile farklı grupta olması gerektiğinden Pazarlama'da olamaz. Furkan ve Gamze ise farklı gruplarda olmak zorunda olduklarından ikisi birden Pazarlama'ya gelemez. Bu durumda Pazarlama departmanına Cenk'in yanına sadece Furkan ya da Gamze'den biri gelebilir. Bu kısıtlar doğrultusunda Pazarlama departmanında çalışan kişi sayısı kesinlikle 2 olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayısal sınırları ve grupların alabileceği kişi sayılarını belirleme.
Toplam kişi sayısı 77'dir. Yazılım (yy), Tasarım (tt) ve Pazarlama (pp) grupları için kısıtlar şunlardır: y≥1y \geq 1, t≥1t \geq 1, p≥1p \geq 1. Ayrıca t>yt > y ve p≥2p \geq 2 koşulları vardır. Bu koşulları sağlayan olası sayısal dağılımlar (t,y,p)(t, y, p) sırasıyla: (4,1,2)(4, 1, 2), (3,1,3)(3, 1, 3) ve (3,2,2)(3, 2, 2)'dir.
Grupların olası boyutlarını netleştirerek yerleşim senaryolarını sınırlandırmak gerekir.
2
Kişilerin yerleşim kısıtlarını analiz etme.
Defne Yazılım'da (D∈YD \in Y), Cenk Pazarlama'da (C∈PC \in P)'dir. Arda ve Buse Tasarım'dadır (A,B∈TA, B \in T). Cenk ve Elif farklı gruplarda olduğundan Elif Pazarlama'da olamaz (E∉PE \notin P). Furkan ve Gamze farklı gruplardadır.
Verilen ek bilgiyi (Arda ve Buse'nin Tasarım'da olması) kullanarak kişilerin konumlarını sabitlemek gerekir.
3
Pazarlama departmanına gelebilecek maksimum kişi sayısını belirleme.
Pazarlama departmanında Cenk (CC) kesinlikle vardır. Geriye kalan kişilerden Arda ve Buse Tasarım'da, Defne Yazılım'dadır. Elif ise Cenk ile aynı grupta olamayacağı için Pazarlama'da yer alamaz. Geriye kalan Furkan ve Gamze farklı gruplarda olmak zorunda olduklarından ikisi birden Pazarlama'da olamaz. En fazla biri Pazarlama'da olabilir. Bu durumda Pazarlama departmanına Cenk haricinde en fazla 1 kişi (Furkan veya Gamze) eklenebilir. Dolayısıyla Pazarlama departmanının boyutu en fazla 22 olabilir (p≤2p \leq 2).
Pazarlama departmanının sayısal üst sınırını belirlemek için.
4
Sayısal kısıt ile yerleşim kısıtını birleştirerek sonuca ulaşma.
Soruda Pazarlama departmanında en az 2 kişi çalıştığı (p≥2p \geq 2) verilmiştir. Önceki adımda da p≤2p \leq 2 olduğunu bulmuştuk. Bu iki durum birleştirildiğinde Pazarlama departmanında çalışan kişi sayısı kesinlikle 22 olmalıdır (p=2p = 2).
Kesin doğruluğu kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

Sayısal Belirsizliği Olan Gruplandırma
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 6Soru →

Bir şirkette çalışan Alp, Banu, Cem, Didem, Ege, Ferhat, Gizem ve Hakan adlı 88 kişi; A, B ve C çalışma gruplarından birinde yer almaktadır. Bu kişilerin gruplara dağılımıyla ilgili şunlar bilinmektedir:

* C grubunda sadece 22 kişi yer almaktadır.
* A grubundaki kişi sayısı B grubundaki kişi sayısından fazladır.
* Cem ve Didem aynı gruptadır.
* Ege ve Ferhat farklı gruplardadır.
* Alp ve Banu C grubundadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Gizem ve Hakan B grubundadır.

Cevap

Gizem ve Hakan'ın her ikisinin birden B grubunda yer alması kesinlikle yanlıştır.
Gizem ve Hakan'ın her ikisinin birden B grubunda yer alması kesinlikle imkansızdır. Ege ve Ferhat farklı gruplarda olduğundan ve C grubu dolu olduğundan, bu iki kişiden biri kesinlikle B grubundadır. B grubunun maksimum kontenjanı 22 olabildiğinden ve bu yerlerden birini Ege veya Ferhat doldurduğundan, B grubunda hem Gizem hem de Hakan için yer kalmamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
C grubunun üyelerini kesinleştirin.
Alp ve Banu C grubundadır. C grubunda sadece 22 kişi yer aldığı için C grubunun üyeleri tamamen belirlenmiştir: C = {Alp, Banu}.
C grubunun kontenjanı dolduğundan, kalan tüm kişilerin A ve B grupları üzerinden incelenmesi gerekir.
2
A ve B gruplarının olası kontenjan dağılımlarını belirleyin.
Kalan 66 kişi A ve B gruplarına dağıtılacaktır. A grubundaki kişi sayısı B grubundakinden fazladır (∣A∣>∣B∣|A| > |B|) ve her grupta en az bir kişi bulunmalıdır. Bu durumda iki olası dağılım vardır: Durum 1: ∣A∣=5|A| = 5, ∣B∣=1|B| = 1 veya Durum 2: ∣A∣=4|A| = 4, ∣B∣=2|B| = 2.
Sayısal belirsizlik içeren kurgularda olası grup büyüklüklerini bulmak, kişilerin yerleşim sınırlarını netleştirir.
3
Ege ve Ferhat'ın konumlarını analiz edin.
Ege ve Ferhat farklı gruplarda yer almalıdır. C grubu dolu olduğu için biri kesinlikle A grubunda, diğeri ise kesinlikle B grubunda olacaktır. Dolayısıyla B grubunda kesinlikle en az bir kişi (Ege veya Ferhat) bulunacaktır.
Farklı grupta olma kısıtı, kalan kişilerin gruplara nasıl dağılacağını doğrudan etkiler.
4
Cem ve Didem'in konumlarını belirleyin.
Cem ve Didem aynı gruptadır. B grubunun kapasitesi en fazla 22'dir ve bu kapasitenin en az 11'ini Ege veya Ferhat doldurmaktadır. Bu nedenle B grubunda Cem ve Didem'e birlikte yer kalmaz. Dolayısıyla Cem ve Didem kesinlikle A grubundadır.
Birlikte hareket eden elemanların büyüklüğü ile hedeflenen grubun kalan boş kontenjanı karşılaştırılarak yerleşim kesinleştirilir.
5
Gizem ve Hakan'ın B grubunda birlikte olma olasılığını değerlendirin.
B grubunun kapasitesi en fazla 22 kişidir ve 11 kişi kesinlikle Ege veya Ferhat'tır. B grubuna Gizem ve Hakan'ın her ikisi birden yerleştirilirse grubun kapasitesi aşılacaktır. Bu nedenle Gizem ve Hakan B grubunda birlikte yer alamaz.
Grup kapasitesinin aşılıp aşılmadığı kontrol edilerek kesinlikle yanlış olan durum saptanır.

Anahtar Kavram

Sayısal Belirsizliği Olan Gruplandırma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 7Soru →

Bir okulda düzenlenen yaz kampında Kerem, Lale, Mert, Nihan, Onur, Pelin ve Selin adlı 77 öğrenci; Astronomi, Arkeoloji ve Felsefe atölyelerinden birine katılmıştır. Öğrencilerin atölyelere katılımına ilişkin bazı bilgiler şu şekildedir:
- Her öğrenci yalnızca bir atölyeye katılmıştır.
- Her atölyeye en az bir öğrenci katılmıştır.
- Astronomi atölyesine katılan öğrenci sayısı, Felsefe atölyesine katılan öğrenci sayısından fazladır.
- Lale ve Mert aynı atölyeye katılmıştır.
- Kerem ve Nihan farklı atölyelere katılmıştır.
- Selin, Felsefe atölyesine katılmıştır.
- Pelin ve Onur'dan biri Astronomi, diğeri Arkeoloji atölyesine katılmıştır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Lale ve Mert Felsefe atölyesine katılmıştır.

Cevap

Lale ve Mert Felsefe atölyesine katılmıştır ifadesi kesinlikle yanlıştır.
Lale ve Mert'in Felsefe atölyesine katıldığı varsayıldığında, Felsefe atölyesindeki kişi sayısı (Selin ile birlikte) en az 3 olur. Astronomi atölyesindeki öğrenci sayısının Felsefe atölyesinden fazla olması gerektiği için Astronomi atölyesinde en az 4 öğrenci bulunmalıdır. Bu iki atölyedeki öğrenci sayısı toplamı en az 7 olur. Ancak Pelin ve Onur kuralı gereği Arkeoloji atölyesinde de en az 1 öğrenci bulunması gerektiğinden toplam öğrenci sayısı en az 8'e ulaşır. Bu durum, toplamda 7 öğrenci olması kuralıyla çelişir. Bu nedenle Lale ve Mert'in Felsefe atölyesine katılması kesinlikle yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit verileri ve temel kuralları belirleme
Selin Felsefe atölyesindedir. Pelin ve Onur'dan biri Astronomi, diğeri Arkeoloji atölyesindedir. Bu durumda her üç atölyede de en az birer kişi bulunmaktadır (Selin Felsefe'de; Pelin/Onur'dan biri Astronomi'de, diğeri Arkeoloji'de). Kalan öğrenciler Kerem, Lale, Mert ve Nihan'dır.
Soruda verilen kesin yerleşimleri belirleyerek diğer değişkenlerin dağılım sınırlarını çizmek için bu adım gereklidir.
2
Lale ve Mert'in Felsefe atölyesine katılması durumunu varsayma ve sayıları analiz etme
Eğer Lale ve Mert Felsefe atölyesine katılsaydı, Felsefe atölyesindeki öğrenci sayısı Selin ile birlikte en az 3 olurdu. Astronomi atölyesindeki öğrenci sayısı Felsefe'dekinden fazla olması gerektiği için Astronomi'de en az 4 öğrenci bulunması gerekirdi. Bu durumda Felsefe ve Astronomi'deki toplam öğrenci sayısı en az 3 + 4 = 7 olurdu.
Lale ve Mert'in Felsefe'de olma ihtimalinin sayısal sınır kurallarıyla tutarlı olup olmadığını denetlemek için bu adım gereklidir.
3
Toplam öğrenci sınırı ile çelişkiyi saptama
Arkeoloji atölyesinde de Pelin veya Onur'dan biri yer almak zorunda olduğundan (en az 1 kişi), toplam öğrenci sayısı en az 8 (3 Felsefe + 4 Astronomi + 1 Arkeoloji) olurdu. Ancak kamptaki toplam öğrenci sayısı 7'dir.
Elde edilen alt sınır toplamının soruda verilen toplam öğrenci sayısını aştığını göstererek bu durumun imkansız olduğunu kanıtlamak için bu adım gereklidir.

Anahtar Kavram

Sayısal Belirsizliği Olan Gruplandırma Kurgularında Değişkenlerin Olası Dağılımlarının ve Sınır Değerlerinin Analizi

İpuçları

1
Atölyelerdeki öğrenci sayılarının alt ve üst sınırlarını belirlemek için öncelikle kesin olarak bilinen öğrencileri (Selin, Pelin/Onur ikilisi) yerleştirin.
2
Felsefe atölyesinde kesin olarak en az 1, Astronomi ve Arkeoloji atölyelerinde ise en az 1'er öğrencinin bulunduğunu belirledikten sonra Astronomi > Felsefe eşitsizliğini göz önünde bulundurun.
3
Lale ve Mert'in Felsefe'de olması durumunda Felsefe en az 3 kişi olur. Bu durumda Astronomi'nin en az 4 kişi olması gerekir. Bu sayıların toplamı ve diğer atölyedeki en az 1 kişi kuralı toplam öğrenci sayısını nasıl etkiler, bunu hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer sayısal belirsizlik içeren kurgularda, öğrenci sayıları arasındaki büyüktür/küçüktür ilişkilerinden yola çıkarak her bir grup için alabilecekleri minimum kontenjan değerlerini hesaplamayı alışkanlık haline getirin.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, tüm olası öğrenci dağılımlarını gösteren bir tablo oluşturabilirsiniz. Lale ve Mert'in yer alabileceği atölyeleri (Astronomi veya Arkeoloji) tek tek deneyerek Felsefe atölyesinin hiçbir durumda Lale ve Mert'i barındıramayacağını doğrudan görebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →

Bir müzede sergilenen Ayna, Bakır ibrik, Ciltli kitap, Duvar saati, El halısı, Fincan takımı, Gümüş şamdan ve Harita adlı sekiz antika eşya; Kırmızı, Mavi ve Yeşil adlı üç farklı salonda sergilenmektedir. Eşyaların sergilendiği salonlarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Her salonda en az bir eşya sergilenmektedir.
* Kırmızı Salon'da sergilenen eşya sayısı, Mavi Salon'da sergilenen eşya sayısından fazladır.
* Yeşil Salon'da sergilenen eşya sayısı, Mavi Salon'da sergilenen eşya sayısından 11 fazladır.
* Mavi Salon'da sergilenen eşyalardan biri Ciltli kitap'tır.
* Ayna ve Fincan takımı aynı salonda sergilenmektedir.
* Bakır ibrik ve Gümüş şamdan farklı salonlarda sergilenmektedir.
* Harita, Yeşil Salon'da sergilenmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ayna, Mavi Salon'da sergilenmektedir.

Cevap

Ayna, Mavi Salon'da sergilenmektedir.
Ayna ve Fincan takımı aynı salonda sergilenmek zorundadır. Mavi Salon'da halihazırda Ciltli kitap sergilenmektedir. Eğer Ayna ve Fincan takımı da Mavi Salon'da sergilenseydi, Mavi Salon'da en az 33 eşya olması gerekirdi. Ancak salonların sayısal dağılım analizine göre Mavi Salon'da sergilenebilecek maksimum eşya sayısı 22'dir. Bu nedenle Ayna'nın Mavi Salon'da sergilenmesi kesinlikle imkansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam eşya sayısını ve salonların kapasite ilişkilerini belirleme.
Toplam 88 eşya vardır. Salonlar Kırmızı (KK), Mavi (MM) ve Yeşil (YY) olup kapasite ilişkileri K>MK > M ve Y=M+1Y = M + 1 şeklindedir.
Sayısal dağılım sınırlarını çizmek için toplam eleman ve grup büyüklükleri arasındaki bağıntıyı kurmamız gerekir.
2
Sayısal dağ��lım olasılıklarını hesaplama.
Her salonda en az 11 eşya olmalıdır (M≥1M \geq 1). Toplam K+M+Y=8  ⟹  K+M+(M+1)=8  ⟹  K+2M=7K + M + Y = 8 \implies K + M + (M + 1) = 8 \implies K + 2M = 7 denkleminden iki olası durum bulunur: 1) M=1,Y=2,K=5M=1, Y=2, K=5 2) M=2,Y=3,K=3M=2, Y=3, K=3.
Eşyaların salonlara dağıtılabileceği olası maksimum ve minimum kontenjanları netleştirmek için.
3
Eşyaların yerleşim kurallarını analiz etme.
Ciltli kitap Mavi Salon'da (C∈MC \in M), Harita Yeşil Salon'dadır (H∈YH \in Y). Ayna ve Fincan takımı aynı salondadır (\{A, F\}). Bakır ibrik ve Gümüş şamdan farklı salonlardadır.
Bireysel eşyaların konum kısıtlamalarını sayısal kontenjanlarla eşleştirmek için.
4
Ayna ve Fincan takımı kuralını Mavi Salon kapasitesi ile karşılaştırarak kesin yargıya ulaşma.
Mavi Salon'da halihazırda Ciltli kitap bulunduğundan, Ayna ve Fincan takımı da Mavi Salon'da olsaydı Mavi Salon'da en az 33 eşya olması gerekirdi. Ancak Mavi Salon en fazla 22 eşya alabildiğinden, Ayna Mavi Salon'da sergilenemez.
Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu veya yanlışlığını kesinleştirmek için.

Anahtar Kavram

Sayısal Belirsizliği Olan Gruplandırma
Soru 9Soru →

Bir şirkette staj yapan Ali, Buse, Cenk, Deniz, Elif, Fatih ve Gizem adlı yedi stajyer; A ve B olmak üzere iki farklı projede görevlendirilecektir. Stajyerlerin projelere dağılımıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Her iki projede de en az ikişer stajyer görev alacaktır.
* A projesinde görev alan stajyer sayısı, B projesinde görev alan stajyer sayısından fazladır.
* Ali ve Buse aynı projede görev alacaktır.
* Cenk ve Deniz farklı projelerde görev alacaktır.
* Elif, B projesinde görev alacaktır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ali, A projesinde görev alacaktır.

Cevap

Ali, A projesinde görev alacaktır.
Her iki sayısal dağılım olasılığında da (A projesinde 5, B projesinde 2 kişi veya A projesinde 4, B projesinde 3 kişi olması durumlarında) Ali ve Buse'nin B projesine yerleştirilmesi durumunda kontenjan sınırları aşılmakta veya Cenk ile Deniz'in farklı projelerde olması kuralı ihlal edilmektedir. Bu nedenle Ali ve Buse her iki olasılıkta da kesinlikle A projesinde yer almalıdır. Dolayısıyla Ali'nin A projesinde görev alacağı yargısı kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam stajyer sayısını ve projelerin kontenjan olasılıklarını belirleme.
Toplam stajyer sayısı 77'dir. A projesindeki kişi sayısı B'den fazla olduğuna ve her projede en az 22 kişi olması gerektiğine göre iki olasılık vardır: A projesinde 55 kişi, B projesinde 22 kişi veya A projesinde 44 kişi, B projesinde 33 kişi.
Sayısal dağılımın sınırlarını çizmek, yerleştirmeleri yaparken hata yapmayı önler.
2
Verilen kesin yerleşimleri ve koşulları analiz etme.
Elif kesin olarak B projesindedir. Cenk ve Deniz farklı projelerde olduğundan, biri A'da diğeri B'dedir. Ali ve Buse ise aynı projededir.
Koşullar��n birbirleriyle olan ilişkilerini belirleyerek grupları oluşturmak.
3
B projesinin 22 kişilik olduğu ilk durumu (Olasılık 1) inceleme.
B projesinde 22 kişi varsa, bunlar Elif ve (Cenk veya Deniz)'den biri olmalıdır. Bu durumda B projesinin kontenjanı dolar. Ali ve Buse B'ye yerleştirilemeyeceğinden, kesinlikle A projesinde yer alırlar. Geriye kalan Fatih ve Gizem ile Cenk/Deniz ikilisinden diğeri de A projesine gider. A projesi: {Ali, Buse, Fatih, Gizem, Cenk/Deniz'den biri} (55 kişi), B projesi: {Elif, Cenk/Deniz'den diğeri} (22 kişi) olur.
İlk sayısal dağılım olasılığına göre stajyerlerin konumlarını netleştirmek.
4
B projesinin 33 kişilik olduğu ikinci durumu (Olasılık 2) inceleme.
B projesinde 33 kişi varsa, bunlardan biri Elif'tir. Cenk ve Deniz'den biri de B'de olmak zorundadır. Eğer Ali ve Buse de B projesine yerleştirilseydi B projesindeki kişi sayısı 44 olurdu (Elif + Ali + Buse + Cenk/Deniz'den biri), bu da 33 kişilik kontenjanı aşardı. Dolayısıyla Ali ve Buse bu durumda da kesinlikle A projesinde yer almalıdır. Bu durumda B projesine Fatih veya Gizem'den biri gelir. A projesi: {Ali, Buse, Cenk/Deniz'den biri, Fatih/Gizem'den biri} (44 kişi), B projesi: {Elif, Cenk/Deniz'den diğeri, Fatih/Gizem'den diğeri} (33 kişi) olur.
İkinci sayısal dağılım olasılığını kontrol ederek her iki durumda da değişmeyen kesin bilgileri bulmak.
5
Seçenekleri analiz ederek kesinlikle doğru olan yargıyı bulma.
Her iki olasılıkta da Ali ve Buse'nin kesin olarak A projesinde yer aldığı görülmektedir. Dolayısıyla 'Ali, A projesinde görev alacaktır' yargısı kesinlikle doğrudur.
Soruda istenen kesin doğru yargıya ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayısal Belirsizliği Olan Gruplandırma
Soru 10Soru →

Bir şirkette çal��şan Aylin, Bora, Ceyda, Derin, Emre, Furkan ve Gizem adlı yedi kişi; koordinasyon amacıyla kurulan X, Y ve Z çalışma gruplarından birine dahil olacaktır. Bu kişilerin gruplara dağılımıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Her grupta en az bir kişi yer almaktadır.
* X grubundaki kişi sayısı Y grubundaki kişi sayısından fazladır.
* Z grubundaki kişi sayısı tektir.
* Aylin ve Bora aynı gruptadır.
* Ceyda ve Derin farklı gruplardadır.
* Emre Z grubunda, Furkan ise Y grubundadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Aylin, X grubundadır.

Cevap

Aylin'in X grubunda olduğu ifadesi kesinlikle doğrudur.
Yapılan analizler sonucunda elde edilen her iki geçerli senaryoda da (hem (4, 2, 1) hem de (3, 1, 3) dağılımlarında) Aylin kesin olarak X grubunda yer almaktadır. Bu nedenle Aylin'in X grubunda olduğunu belirten ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Grup büyüklüklerini belirlemek için sayısal sınırları analiz etme.
Toplam kişi sayısı 7'dir. x+y+z=7x + y + z = 7 denkleminde x,y,z≥1x, y, z \geq 1, x>yx > y ve zz tek sayı koşullarını sağlayan üç olası grup büyüklüğü dağılımı (X, Y, Z sırasıyla) elde edilir: (5, 1, 1), (4, 2, 1) ve (3, 1, 3).
Olası durumları grupların kapasitelerine göre sınırlandırmak.
2
Birinci olasılık olan (5, 1, 1) dağılımını deneme.
Bu durumda Y grubunda sadece 1 kişi (Furkan), Z grubunda da sadece 1 kişi (Emre) bulunur. Geriye kalan 5 kişinin tamamı X grubuna yerleşmelidir. Ancak bu durumda Ceyda ve Derin aynı grupta (X grubunda) yer almak zorunda kalır. Ceyda ve Derin farklı gruplarda olmalı kuralı ihlal edildiğinden bu dağılım elenir.
Kişi yerleşim kurallarının dağılımın sınırları ile çelişip çelişmediğini incelemek.
3
İkinci olasılık olan (4, 2, 1) dağılımını analiz etme.
Z grubunun kapasitesi 1 olduğundan Z = {Emre} olur. Y grubunun kapasitesi 2'dir ve Furkan buradadır. Ceyda ve Derin farklı gruplarda olacağından ve Z dolu olduğundan, biri Y grubuna, diğeri ise X grubuna gitmelidir. Böylece Y = {Furkan, Ceyda/Derin} olur. Geriye kalan Aylin, Bora ve Gizem ise X grubuna yerleşir. Bu durumda X = {Aylin, Bora, Gizem, Derin/Ceyda} (4 kişi) olur ve Aylin X grubundadır.
Geçerli birinci yerleşim senaryosunu oluşturup kişilerin konumlarını belirlemek.
4
Üçüncü olasılık olan (3, 1, 3) dağılımını analiz etme.
Y grubunun kapasitesi 1 olduğundan Y = {Furkan} olur. Z grubunun kapasitesi 3'tür ve Emre buradadır. Aylin ve Bora aynı grupta olmak zorundadır. Eğer ikisi de Z grubuna yerleştirilirse, Z grubu {Emre, Aylin, Bora} olarak dolar. Bu durumda Ceyda ve Derin farklı gruplara gitmek zorunda kalacaklarından biri Y (dolu) diğeri X grubuna gitmelidir, ama Y grubu doludur! Bu yüzden Aylin ve Bora Z grubuna yerleşemez, kesinlikle X grubunda olmalıdırlar. Geriye kalan Gizem ise Z grubuna gider. Bu senaryoda da Aylin X grubundadır.
Geçerli ikinci yerleşim senaryosunu oluşturup Aylin'in konumunu teyit etmek.

Anahtar Kavram

Sayısal Belirsizliği Olan Gruplandırma ve Olasılık Analizi

İpuçları

1
Grup büyüklüklerini belirlemek için gruptaki kişi sayılarının toplamının 7 olduğunu ve verilen büyüklük ilişkilerini (X > Y ve Z'nin tek sayı olması) kullanın.
2
Toplamı 7 olan olası grup büyüklüklerini (5, 1, 1), (4, 2, 1) ve (3, 1, 3) olarak bulduktan sonra, Ceyda ve Derin'in farklı gruplarda olması kuralını kullanarak (5, 1, 1) durumunu eleyin.
3
Kalan iki senaryoda Aylin ve Bora'nın aynı grupta olması kuralını uygulayın. (3, 1, 3) senaryosunda Aylin ve Bora Z grubuna yerleşirse Ceyda ve Derin'i ayıracak yer kalmadığını görün.

Daha Fazla Pratik

Benzer sayısal belirsizlik içeren kurgularda, önce değişkenlerin alabileceği maksimum ve minimum değer aralıklarını netleştirmek çözüm hızını artırır.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak şıklardan gidilebilir: Z grubunda 3 kişi olması veya Ceyda'nın Y'de olması gibi durumların kesin olmadığını gösterecek karşıt örnek senaryolar kolayca kurulabilir. Aylin'in X dışında bir gruba (örneğin Z veya Y) yerleştirilmeye çalışılması durumunda ise tüm kuralların bir noktada tıkandığı görülerek de cevaba ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s