Examkin

Soru

Zorluk: ZorDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Hipotenüs uzunluğu 24 cm ve alanı 72 cm2cm^2 olan bir dik üçgenin dik kenar uzunluklarının toplamı kaç santimetredir?

  1. A
    12312\sqrt{3}
  2. 12612\sqrt{6}Cevap
  3. C
    24
  4. D
    24224\sqrt{2}
  5. E
    36

Cevap

Dikkenarlarıntoplamı126cm′dir.Dik kenarların toplamı 12\sqrt{6} cm'dir.
Dik üçgende dik kenarların toplamına (b+c)(b+c) dersek, tam kare açılımı (b+c)2=b2+c2+2bc(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc şeklindedir. Pisagor bağıntısından b2+c2=a2=242=576b^2+c^2 = a^2 = 24^2 = 576 ve alan formülünden bc=2⋅72=144bc = 2 \cdot 72 = 144 olduğu bilinir. Bu değerler yerine konulduğunda (b+c)2=576+288=864(b+c)^2 = 576 + 288 = 864 bulunur. Karekök alındığında sonuç 12612\sqrt{6} cm olarak elde edilir. Ayrıca h=6h = 6 ve a=24a = 24 olduğundan h=a/4h = a/4 bağıntısı sağlanır, bu da üçgenin 15-75-90 üçgeni olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Dik kenarlara b ve c, hipotenüse a diyelim. Verilenleri formülize et.
a = 24, Alan = (b*c)/2 = 72 => b*c = 144
Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır.
2
Pisagor teoremini yaz.
b² + c² = a² = 24² = 576
Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
3
(b+c)² tam kare özdeşliğini kullanarak b+c toplamını bul.
(b+c)² = b² + c² + 2bc = 576 + 2(144) = 576 + 288 = 864
Dik kenarlar toplamına ulaşmak için cebirsel özdeşlik kullanılır.
4
Her iki tarafın karekökünü al.
b+c = \sqrt{864} = \sqrt{144 * 6} = 12\sqrt{6}
Sonuca ulaşmak için kök dışına çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Dik üçgende alan ve Pisagor bağıntısı ile tam kare özdeşliği arasındaki ilişki.

İpuçları

1
Dik kenarların uzunluklarına b ve c diyerek, b²+c² değerini ve b*c değerini bulmaya çalışın.
2
(b+c)² ifadesinin açılımını (özdeşliğini) hatırlayın: b² + c² + 2bc.
3
b²+c² yerine hipotenüsün karesini, bc yerine ise Alanın 2 katını yazarak (b+c)² değerini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, hipotenüs ve çevre verilip alan sorularak oluşturun.

Alternatif Yöntem

Üçgenin alanından yüksekliğin h = 2*Alan / a = 144/24 = 6 olduğu bulunur. h = a/4 olduğundan bu bir 15-75-90 üçgenidir. 15-75-90 üçgeninde dik kenarlar hipotenüsün (\sqrt{6} ± \sqrt{2})/4 katıdır (veya yükseklik cinsinden ifade edilebilir). Buradan kenarlar toplanarak da sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru