Examkin

Soru

Zorluk: ZorDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

AB ⊥\perp AC olan bir ABC dik üçgeninde, D noktası [AC] kenarı üzerindedir. m(DBC^)=30∘m(\widehat{DBC}) = 30^\circ, m(ABD^)=15∘m(\widehat{ABD}) = 15^\circ ve ∣DC∣=4|DC| = 4 cm olduğuna göre, ∣AB∣|AB| kaç cm'dir?

  1. A
    232\sqrt{3}
  2. B
    4
  3. 2+232 + 2\sqrt{3}Cevap
  4. D
    424\sqrt{2}
  5. E
    2+432 + 4\sqrt{3}

Cevap

İstenen uzunluk 2 + 2\sqrt{3} cm'dir.
Soruda verilen açılar incelendiğinde büyük üçgenin (ABC) 45-45-90 ikizkenar dik üçgen olduğu görülür. D noktasından hipotenüse indirilen dikme (DH), hipotenüsü iki parçaya ayırır. Sağdaki parça (HC), 45-45-90 üçgeninden dolayı 222\sqrt{2} bulunur. Soldaki parça (BH), 30-60-90 üçgeninden dolayı 262\sqrt{6} bulunur. Toplam hipotenüs 26+222\sqrt{6} + 2\sqrt{2} olduğunda, dik kenar ∣AB∣|AB| bu değerin 2\sqrt{2}'ye bölümü olan 23+22\sqrt{3} + 2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
ABC üçgeninin açılarını analiz et.
m(ABC^)=15∘+30∘=45∘m(\widehat{ABC}) = 15^\circ + 30^\circ = 45^\circ. △ABC\triangle ABC dik üçgen olduğu için (A=90∘A=90^\circ), m(C^)=45∘m(\widehat{C}) = 45^\circ olur. Bu durumda ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|'dir.
Üçgenin ikizkenar dik üçgen olduğunu belirlemek çözümün temelidir.
2
D noktasından [BC] hipotenüsüne dik bir DH doğrusu çiz.
Oluşan △DHC\triangle DHC üçgeni 45-45-90 üçgenidir. Hipotenüs ∣DC∣=4|DC|=4 olduğundan, dik kenarlar ∣DH∣=∣HC∣=42=22|DH| = |HC| = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} cm olur.
Özel açılı üçgen özelliklerini kullanabilmek için yardımcı doğru çizmek gereklidir.
3
Oluşan DBH üçgeninde kenar uzunluklarını hesapla.
△DBH\triangle DBH bir 30-60-90 üçgenidir (m(DBH^)=30∘m(\widehat{DBH})=30^\circ, m(DHB^)=90∘m(\widehat{DHB})=90^\circ). 30 derecenin karşısı ∣DH∣=22|DH|=2\sqrt{2} ise, 60 derecenin karşısı ∣BH∣=22⋅3=26|BH| = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{6} cm olur.
30-60-90 üçgeninde 60 derecenin karşısındaki kenar, 30 derecenin karşısındakinin 3\sqrt{3} katıdır.
4
BC uzunluğunu ve ardından AB'yi bul.
∣BC∣=∣BH∣+∣HC∣=26+22|BC| = |BH| + |HC| = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}. ABC ikizkenar dik üçgen olduğundan ∣BC∣=∣AB∣2|BC| = |AB|\sqrt{2}'dir. Buradan ∣AB∣=26+222=23+2|AB| = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3} + 2 cm bulunur.
Parçaları birleştirip büyük üçgenin özelliğini kullanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Özel açılı üçgenlerde (30-60-90, 45-45-90) kenar bağıntıları ve yardımcı dikme çizme yöntemi.

İpuçları

1
ABC üçgeninin B açısının tamamını hesaplayarak büyük üçgenin türünü (açılarına göre) belirleyiniz.
2
D noktasından [BC] kenarına bir dikme (yükseklik) indirerek oluşan yeni dik üçgenleri inceleyiniz.
3
İndirdiğiniz dikme sağda bir 45-45-90 üçgeni, solda ise bir 30-60-90 üçgeni oluşturacaktır. Bu üçgenlerin kenar bağıntılarını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 15-75-90 üçgeninin h-4h özelliğini kullandıran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sinüs teoremi veya trigonometrik oranlar kullanılarak: tan⁡(15∘)=2−3\tan(15^\circ) = 2-\sqrt{3} değeri üzerinden △ABD\triangle ABD içinde oran kurularak da çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru