Layer 1

Soru 1Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 135^\circ$ , $|AB| = 7\sqrt{2}$ cm ve $|BC| = 17$ cm olarak verilmiştir. Buna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç santimetredir?

23

24

25

31

17\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

25 santimetre

Verilen

135^\circ

'lik açı, bir

45^\circ - 45^\circ - 90^\circ

üçgeni oluşturmak için idealdir. Üçgenin dışından indirilen dikme ile

|AH|=7

ve

|BH|=7

bulunur. Oluşan büyük

AHC

dik üçgeninin kenarları 7 ve 24 birimdir.

7-24-25

özel üçgeni kuralı gereğince

|AC|

uzunluğu 25 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

CB

kenarını

B

köşesi yönünde dışarıya doğru uzatın ve

A

köşesinden bu uzantıya bir dikme indirerek

H

noktasını belirleyin.

m(\widehat{AHB}) = 90^\circ

olan bir

AHB

dik üçgeni oluşur.

135^\circ

'lik geniş açının bütünleyicisi olan

45^\circ

'yi kullanarak özel bir dik üçgen oluşturmak.

2

AHB

üçgeninde

m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

olduğunu bulun ve kenar uzunluklarını hesaplayın.

|AH| = |BH| = 7

cm olur.

45^\circ - 45^\circ - 90^\circ

üçgeninde dik kenarlar, hipotenüsün

\frac{1}{\sqrt{2}}

katıdır (

7\sqrt{2} \div \sqrt{2} = 7

).

3

AHC

büyük dik üçgeninin dik kenar uzunluklarını belirleyin.

|AH| = 7

cm ve

|HC| = |HB| + |BC| = 7 + 17 = 24

cm.

Pisagor bağıntısını uygulamak için gerekli olan toplam taban uzunluğunu bulmak.

4

AHC

üçgeninde Pisagor teoremini uygulayın:

|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2

|AC|^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \Rightarrow |AC| = 25

cm.

7 - 24 - 25

kenarlarına göre özel dik üçgen özelliğinden dolayı.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde dış yükseklik yardımıyla dik üçgen oluşturma ve kenarlarına göre özel üçgenler (

7-24-25

).

İpuçları

1

135^\circ

derecelik açının dış açısının kaç derece olduğunu düşünün.

2

AB

kenarını hipotenüs kabul eden dışarıda bir dik üçgen oluşturarak dik kenarları bulun.

3

Dışarıda oluşan yeni dik üçgenin dik kenarları 7 ve 24 cm'dir. Bu tanıdık bir özel üçgen mi?

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde

120^\circ

veya

150^\circ

açılı üçgenlerde dış yükseklik çizerek çözüm yapmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılabilir:

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(135^\circ)

. Burada

a=17, c=7\sqrt{2}

ve

\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

değerleri yerine yazıldığında sonuç aynı çıkacaktır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Aşağıdaki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $[AH] \perp [BC]$ olarak verilmiştir.

$|BH| = 9$ cm ve $|AC| = 20$ cm olduğuna göre, $A$ köşesinin hipotenüse olan uzaklığı ( $|AH|$ ) kaç santimetredir?

10

12

15

16

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Üçgenin yüksekliği 12 cm olarak bulunur.

Soruda verilen dik üçgende dikten dik inildiği için Öklid bağıntıları geçerlidir. Önce

|AC|

dik kenarını kullanarak

|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|

bağıntısından

|HC|=16

cm bulunur. Ardından

|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|

yükseklik bağıntısı ile

h^2 = 9 \cdot 16 = 144

elde edilir ve yükseklik 12 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilenleri tanımla ve bilinmeyen parçaya değişken ata.

|BH| = 9

,

|AC| = 20

.

|HC| = x

ve

|AH| = h

diyelim.

Öklid bağıntılarını kullanabilmek için hipotenüs parçalarını belirlemek gerekir.

2

Öklid'in Dik Kenar Bağıntısını kullanarak

x

'i bul.

|AC|^2 = |HC| \cdot |BC| \implies 20^2 = x \cdot (x + 9)

Bir dik kenarın karesi, kendine yakın hipotenüs parçası ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.

3

Oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.

400 = x^2 + 9x \implies x^2 + 9x - 400 = 0

. Çarpanlarına ayırırsak

(x+25)(x-16)=0

. Uzunluk negatif olamayacağı için

x=16

cm.

x

değeri

|HC|

uzunluğudur.

4

Öklid'in Yükseklik Bağıntısını kullanarak

h

'yi hesapla.

h^2 = p \cdot k \implies h^2 = 9 \cdot 16 = 144

. Buradan

h = 12

cm bulunur.

Yüksekliğin karesi, hipotenüs parçalarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Öklid Bağıntıları (Dik Kenar ve Yükseklik İlişkileri)

İpuçları

1

Dik açıdan dik inildiği için 'Muhteşem Üçlü' değil, 'Öklid Bağıntıları'nı kullanmalısın.

2

Verilen

|AC|

kenarı bir dik kenardır. Öklid'in kenar bağıntısını (

b^2 = k \cdot a

) kullanarak önce bilinmeyen hipotenüs parçasını bul.

3

|HC| = x

dersen,

20^2 = x \cdot (x + 9)

denklemini kurup

x

'i çözmelisin. Sonra yüksekliği bulabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Öklid bağıntılarında alan formülünü (

a \cdot h = b \cdot c

) kullandıran bir soru çöz.

Alternatif Yöntem

Pisagor yöntemi:

AH = h

ve

HC = x

olsun. Soldaki üçgende

AB^2 = 9^2 + h^2

. Büyük üçgende

20^2 + AB^2 = (9+x)^2

. Sağdaki üçgende

20^2 = h^2 + x^2

. Bu denklemler ortak çözülerek de

h

bulunabilir ancak Öklid çok daha hızlıdır.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 3Soru →

Aşağıdaki ABC üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 135^\circ$ , $|AB| = 5\sqrt{2}$ cm ve $|BC| = 7$ cm olarak verilmiştir.

Buna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

\sqrt{29}

3\sqrt{11}

12

13

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Üçgenin dışında oluşturulan özel dik üçgen yardımıyla

|AC|

uzunluğu 13 cm bulunur.

Verilen

135^\circ

açısı geniş bir açıdır ve bütünleri olan

45^\circ

, özel bir dik üçgen oluşturmak için ipucudur. Şeklin dışına doğru uzatma yapılarak

45^\circ-45^\circ-90^\circ

üçgeni elde edilir. Bu küçük üçgenin kenarları 5 ve 5 bulunduğunda, büyük dik üçgenin kenarları 5 ve 12 olur. 5-12-13 özel üçgeni kuralıyla hipotenüs 13 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

BC kenarını B köşesinden sol tarafa doğru uzatın ve A köşesinden bu uzantıya bir dikme indirin. İndirilen dikmenin ayağına H noktası deyin.

AHC dik üçgeni oluşturulur.

135^\circ

gibi geniş açılı üçgen sorularında, açının bütünleri olan

45^\circ

'yi kullanmak için genellikle dışarıdan dik üçgen tamamlanır.

2

Oluşan ABH üçgeninin açılarını ve kenarlarını inceleyin.

m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

olur. AHB üçgeni

45^\circ-45^\circ-90^\circ

özel üçgenidir.

Bütünler açı kuralı ve dik üçgen inşası.

3

ABH üçgeninde hipotenüs

|AB|=5\sqrt{2}

olduğuna göre dik kenarları hesaplayın.

|AH| = |HB| = 5

cm bulunur.

45^\circ-45^\circ-90^\circ

üçgeninde hipotenüs, dik kenarın

\sqrt{2}

katıdır (

a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \Rightarrow a=5

).

4

Büyük AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayın.

Dik kenarlar:

|AH|=5

ve

|HC| = |HB| + |BC| = 5 + 7 = 12

cm.

|AC|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169

.

Büyük üçgenin tabanı, eklenen parça ile mevcut kenarın toplamıdır.

5

Sonucu bulun.

|AC| = \sqrt{169} = 13

cm.

5-12-13 özel dik üçgeni.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde dışarıdan dikme indirerek özel açılı (

30^\circ, 45^\circ, 60^\circ

) dik üçgenler oluşturma.

İpuçları

1

135^\circ

açısı geniş bir açıdır. Bu açının bütünleri olan

45^\circ

'yi kullanabilmek için üçgenin kenarını dışarı doğru uzatmayı deneyin.

2

BC kenarını sol tarafa uzatıp A köşesinden bir dikme indirdiğinizde, hipotenüsü

|AB|=5\sqrt{2}

olan ikizkenar bir dik üçgen elde edeceksiniz.

3

Oluşan küçük dik üçgenin dik kenarları 5'er cm olur. Böylece oluşan büyük dik üçgenin kenarları 5 cm ve

(5+7)

cm olur. Pisagor bağıntısını bu büyük üçgen için uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen,

120^\circ

veya

150^\circ

açılı üçgen sorularını inceleyin. Bu açılar sırasıyla

60^\circ

ve

30^\circ

'lik dış dik üçgenler oluşturur.

Alternatif Yöntem

Kosinüs Teoremi:

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(135^\circ)

formülü ile de çözüm yapılabilir.

\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

değeri yerine konularak

|AC|^2 = 50 + 49 - 2(5\sqrt{2})(7)(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 99 + 70 = 169

bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 4Soru →

AB $\perp$ AC olan bir ABC dik üçgeninde, D noktası [AC] kenarı üzerindedir. $m(\widehat{DBC}) = 30^\circ$ , $m(\widehat{ABD}) = 15^\circ$ ve $|DC| = 4$ cm olduğuna göre, $|AB|$ kaç cm'dir?

2\sqrt{3}

4

2 + 2\sqrt{3}

4\sqrt{2}

2 + 4\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2 + 2\sqrt{3}$

Cevap

İstenen uzunluk 2 + 2\sqrt{3} cm'dir.

Soruda verilen açılar incelendiğinde büyük üçgenin (ABC) 45-45-90 ikizkenar dik üçgen olduğu görülür. D noktasından hipotenüse indirilen dikme (DH), hipotenüsü iki parçaya ayırır. Sağdaki parça (HC), 45-45-90 üçgeninden dolayı

2\sqrt{2}

bulunur. Soldaki parça (BH), 30-60-90 üçgeninden dolayı

2\sqrt{6}

bulunur. Toplam hipotenüs

2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}

olduğunda, dik kenar

|AB|

bu değerin

\sqrt{2}

'ye bölümü olan

2\sqrt{3} + 2

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC üçgeninin açılarını analiz et.

m(\widehat{ABC}) = 15^\circ + 30^\circ = 45^\circ

.

\triangle ABC

dik üçgen olduğu için (

A=90^\circ

),

m(\widehat{C}) = 45^\circ

olur. Bu durumda

|AB| = |AC|

'dir.

Üçgenin ikizkenar dik üçgen olduğunu belirlemek çözümün temelidir.

2

D noktasından [BC] hipotenüsüne dik bir DH doğrusu çiz.

Oluşan

\triangle DHC

üçgeni 45-45-90 üçgenidir. Hipotenüs

|DC|=4

olduğundan, dik kenarlar

|DH| = |HC| = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}

cm olur.

Özel açılı üçgen özelliklerini kullanabilmek için yardımcı doğru çizmek gereklidir.

3

Oluşan DBH üçgeninde kenar uzunluklarını hesapla.

\triangle DBH

bir 30-60-90 üçgenidir (

m(\widehat{DBH})=30^\circ

,

m(\widehat{DHB})=90^\circ

). 30 derecenin karşısı

|DH|=2\sqrt{2}

ise, 60 derecenin karşısı

|BH| = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{6}

cm olur.

30-60-90 üçgeninde 60 derecenin karşısındaki kenar, 30 derecenin karşısındakinin

\sqrt{3}

katıdır.

4

BC uzunluğunu ve ardından AB'yi bul.

|BC| = |BH| + |HC| = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}

. ABC ikizkenar dik üçgen olduğundan

|BC| = |AB|\sqrt{2}

'dir. Buradan

|AB| = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3} + 2

cm bulunur.

Parçaları birleştirip büyük üçgenin özelliğini kullanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Özel açılı üçgenlerde (30-60-90, 45-45-90) kenar bağıntıları ve yardımcı dikme çizme yöntemi.

İpuçları

1

ABC üçgeninin B açısının tamamını hesaplayarak büyük üçgenin türünü (açılarına göre) belirleyiniz.

2

D noktasından [BC] kenarına bir dikme (yükseklik) indirerek oluşan yeni dik üçgenleri inceleyiniz.

3

İndirdiğiniz dikme sağda bir 45-45-90 üçgeni, solda ise bir 30-60-90 üçgeni oluşturacaktır. Bu üçgenlerin kenar bağıntılarını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 15-75-90 üçgeninin h-4h özelliğini kullandıran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sinüs teoremi veya trigonometrik oranlar kullanılarak:

\tan(15^\circ) = 2-\sqrt{3}

değeri üzerinden

\triangle ABD

içinde oran kurularak da çözülebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 5Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ ve $[BD] \perp [AC]$ 'dir. $|AB| = 15$ cm ve $|BC| = 20$ cm olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

9

12

16

25

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Dik üçgende hipotenüs üzerindeki izdüşüm uzunluğunu veren Öklid bağıntısı kullanılarak

|AD| = 9

cm bulunur.

Verilen

ABC

dik üçgeninde önce Pisagor bağıntısı ile

|AC| = 25

cm olarak bulunur. Ardından Öklid'in dik kenar bağıntısına göre, bir dik kenarın uzunluğunun karesi (

15^2

), o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşüm uzunluğu (

|AD|

) ile hipotenüsün tamamının (

|AC|

) çarpımına eşittir. Bu durumda

225 = |AD| \times 25

eşitliğinden sonuç 9 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninde Pisagor bağıntısı ile hipotenüs uzunluğunu hesapla.

|AC|^2 = 15^2 + 20^2 \Rightarrow |AC|^2 = 225 + 400 = 625 \Rightarrow |AC| = 25

cm.

Öklid bağıntılarını uygulayabilmek için hipotenüsün tamamına ihtiyaç vardır.

2

Öklid'in dik kenar bağıntısını (

|AB|^2 = |AD| \cdot |AC|

) uygula.

15^2 = |AD| \cdot 25 \Rightarrow 225 = |AD| \cdot 25

.

Bir dik üçgende dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.

3

|AD|

uzunluğunu bulmak için denklemi çöz.

|AD| = \frac{225}{25} = 9

cm.

Bölme işlemi ile bilinmeyen kenar uzunluğu elde edilir.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Öklid bağıntıları ve Pisagor teoremi.

İpuçları

1

Öncelikle

15-20-?

özel üçgenini kullanarak hipotenüsün tamamını bulmayı deneyin.

2

Dik kenarların uzunlukları biliniyorsa, Öklid'in dik kenar bağıntısını (

c^2 = p \cdot a

) kullanabilirsiniz.

3

|AB|^2 = |AD| \cdot |AC|

formülünde bildiğiniz değerleri yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda

|BD|

yüksekliğini bulmayı ve ardından

|AD|

ile

|DC|

arasındaki ilişkiyi Öklid'in yükseklik bağıntısı (

h^2 = p \cdot k

) ile kontrol etmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce alanı kullanarak veya Öklid yüksekliği ile

|BD| = 12

bulunur. Daha sonra

ABD

üçgeninde

9-12-15

özel üçgeni (3-4-5'in 3 katı) fark edilerek

|AD| = 9

doğrudan söylenebilir.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 6Soru →

Hipotenüs uzunluğu 24 cm ve alanı 72 $cm^2$ olan bir dik üçgenin dik kenar uzunluklarının toplamı kaç santimetredir?

12\sqrt{3}

12\sqrt{6}

24

24\sqrt{2}

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $12\sqrt{6}$

Cevap

Dik kenarların toplamı 12\sqrt{6} cm'dir.

Dik üçgende dik kenarların toplamına

(b+c)

dersek, tam kare açılımı

(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc

şeklindedir. Pisagor bağıntısından

b^2+c^2 = a^2 = 24^2 = 576

ve alan formülünden

bc = 2 \cdot 72 = 144

olduğu bilinir. Bu değerler yerine konulduğunda

(b+c)^2 = 576 + 288 = 864

bulunur. Karekök alındığında sonuç

12\sqrt{6}

cm olarak elde edilir. Ayrıca

h = 6

ve

a = 24

olduğundan

h = a/4

bağıntısı sağlanır, bu da üçgenin 15-75-90 üçgeni olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Dik kenarlara b ve c, hipotenüse a diyelim. Verilenleri formülize et.

a = 24, Alan = (b*c)/2 = 72 => b*c = 144

Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır.

2

Pisagor teoremini yaz.

b² + c² = a² = 24² = 576

Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

3

(b+c)² tam kare özdeşliğini kullanarak b+c toplamını bul.

(b+c)² = b² + c² + 2bc = 576 + 2(144) = 576 + 288 = 864

Dik kenarlar toplamına ulaşmak için cebirsel özdeşlik kullanılır.

4

Her iki tarafın karekökünü al.

b+c = \sqrt{864} = \sqrt{144 * 6} = 12\sqrt{6}

Sonuca ulaşmak için kök dışına çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Dik üçgende alan ve Pisagor bağıntısı ile tam kare özdeşliği arasındaki ilişki.

İpuçları

1

Dik kenarların uzunluklarına b ve c diyerek, b²+c² değerini ve b*c değerini bulmaya çalışın.

2

(b+c)² ifadesinin açılımını (özdeşliğini) hatırlayın: b² + c² + 2bc.

3

b²+c² yerine hipotenüsün karesini, bc yerine ise Alanın 2 katını yazarak (b+c)² değerini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, hipotenüs ve çevre verilip alan sorularak oluşturun.

Alternatif Yöntem

Üçgenin alanından yüksekliğin h = 2*Alan / a = 144/24 = 6 olduğu bulunur. h = a/4 olduğundan bu bir 15-75-90 üçgenidir. 15-75-90 üçgeninde dik kenarlar hipotenüsün (\sqrt{6} ± \sqrt{2})/4 katıdır (veya yükseklik cinsinden ifade edilebilir). Buradan kenarlar toplanarak da sonuca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 7Soru →

Şekildeki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ olarak verilmiştir. $A$ köşesine ait iç açıortay doğrusu $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir. $|BD| = 6$ cm ve $|DC| = 10$ cm olduğuna göre, $|AB|$ uzunluğu kaç santimetredir?

10

12

16

18

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İstenen uzunluk 12 santimetredir.

İç açıortay teoremi gereği kolların oranı, tabandaki parçaların oranına eşittir (

3k, 5k

). Oluşan üçgen 3-4-5 üçgeninin bir katı olduğundan, hipotenüs ve dik kenar arasındaki ilişki çözülerek istenen kenar uzunluğu 12 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Açıortay teoremini uygula.

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

bulunur. Buradan

|AB| = 3k

ve

|AC| = 5k

diyebiliriz.

Üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarlar oranında böler.

2

ABC

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kur.

|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \Rightarrow (3k)^2 + (6+10)^2 = (5k)^2

.

Dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kullanmak için.

3

Denklemi çözerek

k

değerini bul.

9k^2 + 16^2 = 25k^2 \Rightarrow 256 = 16k^2 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4

.

Bilinmeyen katsayıyı belirlemek için.

4

|AB|

uzunluğunu hesapla.

|AB| = 3k = 3 \cdot 4 = 12

cm.

Soruda istenen kenar uzunluğuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

Soru 8Soru →

Bir harita mühendisi, $ABC$ dik üçgeni biçimindeki bir arsanın ölçümlerini yapmaktadır. Arsanın $A$ köşesindeki açısı $90^\circ$ olup, $[BC]$ kenarı hipotenüstür. Yapılan ölçümlerde hipotenüs uzunluğu 100 metre, $A$ köşesinden hipotenüse inilen dikmenin uzunluğu ise 25 metre olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu arsanın en küçük iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

15

22,5

30

45

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Arsanın en küçük iç açısı 15 derecedir.

Dik üçgende hipotenüs uzunluğu (

a

), kendisine ait yüksekliğin (

h

) 4 katı ise (

a=4h

), bu üçgenin dar açıları

15^\circ

ve

75^\circ

'dir. Soruda hipotenüs 100 m ve yükseklik 25 m verildiğinden (

100 = 4 \times 25

), bu şart sağlanır. Dolayısıyla en küçük iç açı 15 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen uzunlukları ve oranı analiz et

Hipotenüs

|BC| = a = 100

m, Yükseklik

|AH| = h = 25

m. Oran:

h = \frac{a}{4}

.

Dik üçgenin kenar ve yükseklik ilişkisini kurmak için.

2

Muhteşem üçlü (kenarortay) özelliğini kullan

BC

kenarına ait kenarortay

[AM]

çizilirse,

|AM| = |BM| = |MC| = \frac{100}{2} = 50

m olur.

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.

3

Oluşan

AHM

dik üçgeninde açıları hesapla

Hipotenüs

|AM|=50

, dik kenar

|AH|=25

. Dik kenar hipotenüsün yarısı olduğu için

m(\widehat{AMH}) = 30^\circ

olur (30-60-90 üçgeni).

Özel üçgen özelliklerini kullanarak açı değerini bulmak için.

4

Dış açı özelliğinden üçgenin iç açısını bul

AMC

ikizkenar üçgeninde (

|AM|=|MC|

), dış açı

30^\circ

ise iç açılar

15^\circ

olur (

2\alpha = 30^\circ \Rightarrow \alpha = 15^\circ

). Diğer açı

90-15=75^\circ

'dir.

En küçük açıyı tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin, hipotenüsün 4'te 1'ine eşit olması (

h = \frac{a}{4}

) durumu, üçgenin

15^\circ-75^\circ-90^\circ

üçgeni olduğunu gösterir.

İpuçları

1

Hipotenüse ait kenarortayı çizmeyi deneyin. Dik üçgende kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü).

2

Kenarortay çizildiğinde oluşan yeni dik üçgenin hipotenüsü 50 m, dik kenarı 25 m olacaktır. Bu oran size tanıdık bir özel üçgeni hatırlatıyor mu?

3

Dik kenar, hipotenüsün yarısıysa açı

30^\circ

'dir. Bu açı, ikizkenar bir üçgenin dış açısıdır. Dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, hipotenüsü yüksekliğinin

2\sqrt{2}

katı olan dik üçgenin açılarını soran bir soru çözülebilir (Cevap:

22,5^\circ

).

Alternatif Yöntem

Formül Yöntemi: Doğrudan

h_a = \frac{a}{4}

özelliğini bilen biri, bunun

15^\circ-75^\circ-90^\circ

üçgeninin karakteristik özelliği olduğunu hatırlayarak işlem yapmadan 15'i işaretleyebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 9Soru →

ABC bir üçgen olmak üzere, $[AH] \perp [BC]$ olacak şekilde $[BC]$ kenarı üzerinde bir H noktası alınıyor.

m(\widehat{HAC}) = m(\widehat{ABC})

Verilen şekilde $|BH| = 4$ cm ve $|HC| = 9$ cm olduğuna göre, $|AH|$ uzunluğu kaç santimetredir?

5

6

6,5

13

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6 santimetredir

Soruda verilen açı eşitliği (

m(\widehat{HAC}) = m(\widehat{B})

), AHC dik üçgenindeki tümler açı ilişkisiyle birleştiğinde

m(\widehat{BAC}) = 90^\circ

olduğunu ispatlar. Bir dik üçgende hipotenüse indirilen dikme (AH) için Öklid bağıntısı (

h^2 = p \cdot k

) geçerlidir. Buna göre

|AH|^2 = 4 \cdot 9 = 36

olup,

|AH| = 6

cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Açı ilişkilerini analiz et.

Üçgenin A köşesinin 90 derece olduğunu belirle.

m(\widehat{ABC}) = \alpha

denirse, verilen eşitlikten

m(\widehat{HAC}) = \alpha

olur. AHC dik üçgeninde

m(\widehat{C}) = 90^\circ - \alpha

dır. O halde büyük üçgende B ve C açılarının toplamı

\alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ

olur. Bu durumda

m(\widehat{BAC}) = 90^\circ

dir.

2

Uygun geometrik teoremi seç.

Öklid Yükseklik Bağıntısı (

h^2 = p \cdot k

)

Tepe açısı 90 derece olan bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiği için Öklid bağıntıları geçerlidir.

3

Verilen değerleri formülde yerine koy ve hesapla.

|AH| = 6

cm

|AH|^2 = |BH| \cdot |HC| \Rightarrow h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow h = 6

cm.

Anahtar Kavram

Öklid Bağıntıları ve Dik Üçgen Özellikleri

İpuçları

1

AHC üçgeninde iç açılar toplamını düşünün.

\widehat{HAC}

açısı ile

\widehat{C}

açısının toplamı kaç derecedir?

2

\widehat{HAC}

yerine soruda verilen eşiti olan

\widehat{B}

açısını yazın. Büyük ABC üçgeninde B ve C açılarının toplamını bulursanız, A açısının ölçüsünü de bulabilirsiniz.

3

A açısının 90 derece olduğunu bulduktan sonra, dikten dik inildiği durumlar için geçerli olan

h^2 = p \cdot k

(Öklid) bağıntısını kullanın.

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak da çözülebilir:

\triangle ABH \sim \triangle CAH

. Buradan

\frac{|BH|}{|AH|} = \frac{|AH|}{|HC|}

oranı kurulabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 10Soru →

Bir dik üçgende dik açıyı oluşturan kenarların uzunlukları $|AB| = 9$ cm ve $|BC| = 12$ cm olarak verilmiştir. $[AB] \perp [BC]$ olduğuna göre, bu üçgenin hipotenüs uzunluğu ( $|AC|$ ) kaç santimetredir?

15

21

225

\sqrt{21}

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Hipotenüs uzunluğu 15 santimetredir.

Verilen dik üçgende dik kenarlar 9 cm ve 12 cm'dir. Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) uygulandığında

9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225

bulunur. 225 sayısının karekökü 15 olduğundan hipotenüs 15 cm'dir. Ayrıca bu üçgen, en temel özel üçgen olan 3-4-5 üçgeninin her bir kenarının 3 ile çarpılmış halidir (

3\times3=9

,

4\times3=12

,

5\times3=15

).

Adım Adım Çözüm

1

Verilen dik kenar uzunluklarını belirleyelim.

|AB| = 9

cm ve

|BC| = 12

cm

Pisagor bağıntısını uygulamak için dik kenar uzunluklarını bilmemiz gerekir.

2

Pisagor bağıntısını (

a^2 + b^2 = c^2

) kuralım.

9^2 + 12^2 = |AC|^2

Dik üçgenlerde dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

3

Kare alma ve toplama işlemlerini yapalım.

81 + 144 = 225

Sayıların karelerini hesaplayıp toplayarak hipotenüsün karesini buluruz.

4

Sonucun karekökünü alarak hipotenüs uzunluğunu bulalım.

|AC| = \sqrt{225} = 15

cm

Uzunluğu bulmak için karesi alınan değerin karekökünü hesaplarız.

Anahtar Kavram

Pisagor Bağıntısı ve Özel Dik Üçgenler

İpuçları

1

Dik üçgende hipotenüsü bulmak için Pisagor bağıntısını (

a^2 + b^2 = c^2

) kullanabilirsin.

2

Dik kenarlar olan 9 ve 12'nin karelerini alıp topladıktan sonra, çıkan sonucun hangi sayının karesi olduğunu düşün.

3

Bu üçgen 3-4-5 özel üçgeninin bir katı olabilir mi? Kenar uzunluklarını 3'e bölerek kontrol et.

Daha Fazla Pratik

Farklı kenar uzunluklarına sahip 5-12-13 ve 8-15-17 gibi diğer özel dik üçgenleri de inceleyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Özel üçgenleri hatırlamak işini kolaylaştırabilir. 3-4-5 üçgeninin katlarını kontrol edersek:

3\times3=9

ve

4\times3=12

olduğunu görürüz. Bu durumda hipotenüs de

5\times3=15

olacaktır.

Tahmini Süre:45s

Soru 11Soru →

Aşağıdaki $ABC$ üçgeninde $[AH] \perp [BC]$ dir. $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ$ , $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|AH| = 6$ cm olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

6 + 6\sqrt{3}

12\sqrt{3}

12

18

6 + 2\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6 + 6\sqrt{3}$

Cevap

6 + 6\sqrt{3}

cm uzunluğu, iki özel dik üçgenin taban uzunluklarının toplamıdır.

Verilen

ABC

üçgeninde

AH

yüksekliği, üçgeni iki özel dik üçgene ayırır. Sol taraftaki

ABH

ikizkenar dik üçgeninde

|BH|=6

cm bulunur. Sağ taraftaki

ACH

(

30-60-90

) üçgeninde ise

60^\circ

'nin gördüğü

|HC|

kenarı,

30^\circ

'nin gördüğü

6

cm'nin

\sqrt{3}

katı olan

6\sqrt{3}

cm'dir. Toplam taban uzunluğu bu iki değerin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1

ABH

dik üçgeninde kenar özelliklerini belirle.

|BH| = 6

cm

45-45-90

üçgeninde dik kenarlar birbirine eşittir.

|AH| = 6

cm olduğundan

|BH| = 6

cm olur.

2

ACH

dik üçgeninde kenar özelliklerini belirle.

|HC| = 6\sqrt{3}

cm

30-60-90

üçgeninde

60^\circ

'nin karşısındaki kenar (

HC

),

30^\circ

'nin karşısındaki kenarın (

AH

)

\sqrt{3}

katıdır.

3

|BC|

toplam uzunluğunu hesapla.

6 + 6\sqrt{3}

cm

|BC|

uzunluğu,

|BH|

ve

|HC|

parçalarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Özel açılı dik üçgenlerde (

30-60-90

ve

45-45-90

) kenarlar arasındaki sabit oranlar.

İpuçları

1

AH

yüksekliğinin üçgeni iki farklı özel dik üçgene böldüğüne dikkat edin.

2

Sol tarafta bir

45-45-90

(ikizkenar dik) üçgen, sağ tarafta ise bir

30-60-90

üçgeni oluşmaktadır.

3

30-60-90

üçgeninde

30^\circ

'nin karşısındaki kenar

6

ise,

60^\circ

'nin karşısındaki

|HC|

kenarı bunun

\sqrt{3}

katı olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda

|BC|

uzunluğu verilip yüksekliğin sorulduğu durumları inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

Aşağıda verilen dik üçgen modelinde dik kenar uzunlukları $|AB| = 5$ cm ve $|BC| = 12$ cm olarak belirtilmiştir. $[AB] \perp [BC]$ olduğuna göre, bu üçgenin hipotenüs uzunluğu olan $|AC|$ kaç santimetredir?

13

17

169

15

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Hipotenüs uzunluğu 13 santimetredir.

Verilen üçgen bir dik üçgendir ve hipotenüs uzunluğu Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) kullanılarak hesaplanır. 5 ve 12 dik kenar uzunlukları için kareler toplamı

25 + 144 = 169

eder. 169 sayısı 13'ün karesi olduğu için hipotenüs 13 cm'dir. Bu aynı zamanda '5-12-13' özel dik üçgenidir.

Adım Adım Çözüm

1

Dik kenar uzunluklarını Pisagor bağıntısında yerine yazın.

5^2 + 12^2 = |AC|^2

Pisagor bağıntısı, dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.

2

Dik kenarların karelerini hesaplayın.

25 + 144 = |AC|^2

Sayıların karelerini alarak toplam işlemine hazır hale getiririz.

3

Kareleri toplayın.

169 = |AC|^2

Hipotenüsün karesinin sayısal değerini buluruz.

4

Sonucun karekökünü alarak kenar uzunluğunu bulun.

|AC| = \sqrt{169} = 13

Karesi 169 olan pozitif tam sayıyı bularak hipotenüs uzunluğuna ulaşırız.

Anahtar Kavram

Pisagor Bağıntısı ve Özel Dik Üçgenler (5-12-13 Üçgeni)

İpuçları

1

Dik üçgenlerde en uzun kenar (hipotenüs) her zaman dik açının karşısındaki kenardır.

2

Pisagor bağıntısını hatırlayın:

a^2 + b^2 = c^2

. Burada

a=5

ve

b=12

olarak verilmiştir.

3

5 ve 12 sayılarının karelerini alıp toplayın, ardından çıkan sonucun hangi sayının karesi olduğunu bulun.

Daha Fazla Pratik

Diğer popüler özel dik üçgenleri (3-4-5, 8-15-17 gibi) inceleyerek pratiklik kazanabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Geometride sıkça karşımıza çıkan '5-12-13' özel dik üçgenini ezbere bilmek, Pisagor işlemi yapmadan hızlıca sonuca ulaşmanızı sağlar.

Tahmini Süre:45s

Soru 13Soru →

Aşağıda verilen dik üçgen modelinde dik kenar uzunlukları $|AB| = 8$ cm ve $|BC| = 15$ cm olarak verilmiştir. $[AB] \perp [BC]$ olduğuna göre, bu üçgenin hipotenüs uzunluğu ( $|AC|$ ) kaç santimetredir?

17

13

23

25

19

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 17 santimetredir.

Pisagor teoremi gereğince, dik kenarları 8 cm ve 15 cm olan bir üçgende hipotenüs uzunluğu

c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289

denklemiyle bulunur. 289 sayısının karekökü 17 olduğu için en uzun kenar 17 cm'dir. Bu durum geometride '8-15-17 özel üçgeni' olarak bilinir.

Adım Adım Çözüm

1

Dik üçgenin kenarları arasındaki Pisagor bağıntısını yazın.

|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2

Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyun.

8^2 + 15^2 = |AC|^2

Soruda

|AB| = 8

ve

|BC| = 15

olarak verilmiştir.

3

Sayıların karelerini hesaplayın ve toplayın.

64 + 225 = 289

İşlemler:

8 \times 8 = 64

ve

15 \times 15 = 225

.

4

Toplamın karekökünü alarak hipotenüs uzunluğunu bulun.

\sqrt{289} = 17

17 \times 17 = 289

olduğu için

|AC| = 17

cm bulunur.

Anahtar Kavram

Pisagor Bağıntısı ve 8-15-17 Özel Üçgeni

İpuçları

1

Dik üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiyi bulmak için Pisagor bağıntısını (

a^2 + b^2 = c^2

) kullanmalısınız.

2

Kenar uzunlukları 8 ve 15 olan sayıların karelerini hesaplayıp toplayın.

3

64 + 225 = 289

işleminin sonucunun hangi sayının karesi olduğunu düşünün.

Daha Fazla Pratik

Hipotenüsü 25 cm ve bir dik kenarı 7 cm olan bir dik üçgenin diğer dik kenarını bulmaya çalışarak özel üçgen bilginizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Geometride sıkça kullanılan tam sayılı özel üçgenleri (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25) ezberlemek, sınavda işlem yapmadan hızlıca sonuca ulaşmanızı sağlar.

Tahmini Süre:45s

Soru 14Soru →

Ölçüleri $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$ ve $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ olan bir $ABC$ dik üçgeni çiziliyor. Bu üçgende $A$ köşesinden $[BC]$ hipotenüsüne indirilen dikmenin ayağı $H$ , hipotenüse ait $[AD]$ kenarortayının hipotenüsü kestiği nokta ise $D$ olarak işaretleniyor.

$|AB| = 12$ cm olduğuna göre, $H$ ve $D$ noktaları arasındaki uzaklık ( $|HD|$ ) kaç cm'dir?

12

6\sqrt{3}

6

18

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

H ve D noktaları arasındaki uzaklık 6 cm'dir.

Verilen

ABC

üçgeninde hipotenüs uzunluğu 24 cm olarak hesaplanır. Hipotenüse ait kenarortay noktası

D

,

B

köşesinden 12 cm uzaklıktadır.

A

köşesinden inen yüksekliğin ayağı olan

H

noktası ise

ABH

(

30-60-90

) üçgeni gereği

B

köşesinden 6 cm uzaklıktadır. Bu durumda iki nokta arasındaki mesafe olan 6 cm elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninin bilinmeyen açılarını ve kenar uzunluklarını belirleyin.

m(\widehat{B}) = 60^\circ

ve

|BC| = 2 \times 12 = 24

cm.

Bir dik üçgende açılar toplamı

180^\circ

olduğundan

B

açısı

60^\circ

olur.

30-60-90

üçgeninde hipotenüs,

30^\circ

karşısındaki kenarın iki katıdır.

2

Kenarortay noktasının (

D

) konumunu tespit edin.

|BD| = |DC| = 12

cm.

Kenarortay, hipotenüsü iki eşit parçaya böler.

3

ABH

dik üçgeninde yüksekliğin ayağı olan

H

noktasının konumunu hesaplayın.

|BH| = |AB| / 2 = 6

cm.

ABH

üçgeni de bir

30-60-90

üçgenidir (

m(\widehat{BAH})=30^\circ

);

30^\circ

karşısındaki

|BH|

kenarı hipotenüs

|AB|

'nin yarısıdır.

4

H

ve

D

noktaları arasındaki farkı bulun.

|HD| = |BD| - |BH| = 12 - 6 = 6

cm.

B, H

ve

D

noktaları aynı doğru üzerinde olduğundan aralarındaki mesafe farkları ile bulunur.

Anahtar Kavram

Dik üçgende 30-60-90 özel açılı üçgen bağıntıları ile muhteşem üçlü ve yükseklik özellikleri.

İpuçları

1

ABC

üçgeninin iç açılarından faydalanarak

B

açısının kaç derece olduğunu bulun.

2

30-60-90 üçgeni kuralını kullanarak önce hipotenüsü (

|BC|

), ardından

ABH

üçgeninde

|BH|

uzunluğunu hesaplayın.

3

|BC|

'nin tam orta noktasının

D

olduğunu ve

B

köşesine uzaklığının

|BC|/2

olduğunu unutmayın.

|HD| = |BD| - |BH|

işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Aynı soruyu

|AB|

yerine

|AC|

kenarı verildiğinde tekrar çözerek özel üçgenlerdeki oran hakimiyetinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

|AC| = 12\sqrt{3}

cm olarak bulunur.

AHC

dik üçgeninde

|HC| = |AC| \cdot \cos(30^\circ) = 12\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) = 18

cm hesaplanır.

|CD| = 12

cm olduğundan,

|HD| = |HC| - |CD| = 18 - 12 = 6

cm sonucuna varılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $A$ köşesinden hipotenüse indirilen dikme ayağı $H$ noktasıdır. Üçgenin dik kenar uzunlukları $b$ ve $c$ , hipotenüse ait yüksekliği ise $h$ ile gösterilmektedir.

16h^2 = b^2 + c^2

eşitliği sağlandığına göre, bu üçgenin en küçük iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

15

22,5

30

45

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

En küçük iç açı 15 derecedir.

Verilen

16h^2 = b^2 + c^2

eşitliğinde Pisagor teoremi gereği

b^2 + c^2

yerine

a^2

(hipotenüsün karesi) yazıldığında

16h^2 = a^2

elde edilir. Buradan

4h = a

yani

h = a/4

sonucu çıkar. Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüsün dörtte biri olması durumu, yalnızca 15-75-90 üçgenine özgü bir kuraldır. Dolayısıyla üçgenin dar açıları 15 ve 75 derecedir. En küçük açı 15 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1

Pisagor bağıntısını hatırla.

b^2 + c^2 = a^2

(Burada

a

hipotenüs uzunluğudur).

Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

2

Verilen denklemde

b^2 + c^2

yerine

a^2

yaz.

16h^2 = a^2

Denklemi basitleştirerek yükseklik (

h

) ile hipotenüs (

a

) arasındaki ilişkiyi bulmak.

3

Her iki tarafın karekökünü al.

4h = a

veya

h = \frac{a}{4}

Uzunluklar pozitif olduğu için doğrudan kök alınabilir.

4

Bu özelliği sağlayan özel üçgeni belirle.

Hipotenüse ait yüksekliği, hipotenüsün 4'te 1'i olan dik üçgen 15-75-90 üçgenidir.

Bu, 15-75-90 üçgeninin ayırt edici özelliğidir (

h = \frac{1}{4} \cdot \text{hipotenüs}

).

5

En küçük açıyı seç.

Açılar

15^\circ

ve

75^\circ

'dir. En küçüğü

15^\circ

'dir.

Soru en küçük iç açıyı sormaktadır.

Anahtar Kavram

Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik (

h

) ile hipotenüs (

a

) arasında

h = a/4

bağıntısı varsa, bu üçgen 15-75-90 üçgenidir.

İpuçları

1

Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı (

b^2 + c^2

) size tanıdık bir uzunluğu hatırlatmalı.

2

b^2 + c^2 = a^2

(Pisagor) eşitliğini kullanarak verilen denklemde

a

(hipotenüs) ve

h

(yükseklik) arasında bir ilişki kurun.

3

h = a/4

bağıntısını elde ettiğinizde, bu orana sahip olan özel dik üçgeni düşünün.

Daha Fazla Pratik

15-75-90 üçgeninde alan hesaplaması soruları çözerek

h=a/4

kuralını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Geometrik İspat: Hipotenüse ait kenarortayı (

V_a

) çizin. Muhteşem üçlü gereği

V_a = a/2

'dir. Oluşan dik üçgende hipotenüs

V_a

, dik kenar

h

'dir. Eğer

h = a/4

ve

V_a = a/2

ise,

\sin(\alpha) = h/V_a = 1/2

olur. Buradan kenarortay ile yükseklik arasındaki açının

60^\circ

olduğu bulunur, bu da dar açıların farkının

60^\circ

olduğu anlamına gelir (

75^\circ

ve

15^\circ

).

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 16Soru →

Bir ABC üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 135^\circ$ , $|AB| = 7\sqrt{2}$ cm ve $|BC| = 17$ cm olarak verilmiştir. Buna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç santimetredir?

13\sqrt{2}

20

24

25

26

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Doğru cevap 25 santimetredir.

Soruda verilen

135^\circ

geniş açısı, bütünleri olan

45^\circ

'yi kullanmamız gerektiğini işaret eder. BC kenarı uzatılıp dışarıdan dikme indirildiğinde, hem bir

45-45-90

ikizkenar dik üçgeni hem de kenarları tam sayı olan

7-24-25

özel dik üçgeni elde edilir. Bu yöntemle hipotenüs uzunluğu hatasız hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

BC kenarını B yönünde doğrusal olarak uzatıp, A köşesinden bu uzantıya bir dikme ininiz.

Oluşan dikmenin ayağına H noktası diyelim.

m(\widehat{ABC}) = 135^\circ

olduğu için dış açı

m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

olur.

Geniş açılı üçgenlerde özel açıyı (

45^\circ

) kullanabilmek için dış bölgede dik üçgen oluşturulur.

2

Oluşan ABH dik üçgeninde kenar uzunluklarını hesaplayınız.

ABH üçgeni

45^\circ-45^\circ-90^\circ

üçgenidir. Hipotenüs

|AB| = 7\sqrt{2}

cm olduğundan, dik kenarlar

|AH| = 7

cm ve

|HB| = 7

cm olur.

45-45-90

üçgeninde dik kenarlar hipotenüsün

\frac{1}{\sqrt{2}}

katıdır.

3

Büyük AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak |AC| uzunluğunu bulunuz.

AHC üçgeninin dik kenarları:

|AH| = 7

cm ve

|HC| = |HB| + |BC| = 7 + 17 = 24

cm'dir. Bu

7-24-25

özel dik üçgenidir, dolayısıyla

|AC| = 25

cm bulunur.

Dik kenarları 7 ve 24 olan dik üçgenin hipotenüsü 25'tir (

7^2 + 24^2 = 25^2

).

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde dış açıdan yararlanarak özel dik üçgen (45-45-90) oluşturma ve 7-24-25 özel üçgeni.

İpuçları

1

135^\circ

geniş bir açıdır. Bu açının bütünleri olan

45^\circ

'yi kullanabileceğiniz bir dik üçgen oluşturmayı deneyin.

2

BC kenarını sol tarafa (B yönüne) doğru uzatın ve A köşesinden bu uzantıya bir dikme indirin.

Alternatif Yöntem

Kosinüs Teoremi kullanılarak da çözülebilir:

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(135^\circ)

. Ancak bu yöntem işlem hatasına daha açıktır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 17Soru →

Bir ABC dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ olarak verilmiştir. $[AC]$ kenarı üzerinde, A köşesine olan uzaklığı $[AB]$ kenarının uzunluğuna eşit olan bir D noktası işaretleniyor.

$|BD| = 6\sqrt{2}$ cm olduğuna göre, $|DC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

6

6\sqrt{3} - 6

6\sqrt{3}

6\sqrt{3} + 6

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6\sqrt{3} - 6$

Cevap

İstenen |DC| uzunluğu

6\sqrt{3} - 6

cm'dir.

Soruda verilen kurgu, bir 30-60-90 üçgeni (ABC) ile bir ikizkenar dik üçgenin (ABD) birleşimini içermektedir. Öncelikle

|BD|

hipotenüsü verilen ikizkenar dik üçgenden dik kenarlar (

|AB|=|AD|=6

) bulunur. Daha sonra büyük üçgenin 30-60-90 özelliği kullanılarak

|AC|=6\sqrt{3}

elde edilir. Son olarak

|DC|

, toplam uzunluktan

|AD|

çıkarılarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABD üçgeninin açılarını ve türünü belirle.

A açısı

90^\circ

ve

|AB|=|AD|

verildiği için, ABD üçgeni ikizkenar dik üçgendir. Taban açıları

45^\circ

'dir.

Soruda verilen diklik ve eşitlik bilgileri üçgenin türünü belirlemek için kullanılır.

2

ABD üçgeninde pisagor bağıntısı veya özel üçgen kuralı ile |AB| uzunluğunu bul.

|BD| = |AB|\sqrt{2}

olduğundan,

6\sqrt{2} = |AB|\sqrt{2} \Rightarrow |AB| = 6

cm bulunur. Dolayısıyla

|AD| = 6

cm'dir.

45-45-90 üçgeninde hipotenüs, dik kenarın

\sqrt{2}

katıdır.

3

Büyük ABC üçgeninde (30-60-90) |AC| uzunluğunu hesapla.

ABC üçgeninde

30^\circ

'nin karşısı (

|AB|

) 6 cm ise,

60^\circ

'nin karşısı (

|AC|

) bunun

\sqrt{3}

katıdır.

|AC| = 6\sqrt{3}

cm.

30-60-90 üçgeninde

60^\circ

'nin karşısındaki kenar,

30^\circ

'nin karşısındakinin

\sqrt{3}

katıdır.

4

|DC| uzunluğunu bulmak için parça-bütün ilişkisini kullan.

|DC| = |AC| - |AD| = 6\sqrt{3} - 6

cm.

D noktası AC üzerinde olduğundan, tüm uzunluktan bilinen parça çıkarılır.

Anahtar Kavram

Özel açılı üçgenler (30-60-90 ve 45-45-90) iç içe kullanıldığında kenar bağıntıları arasındaki geçiş.

İpuçları

1

Şekli çizmeye çalışın: A açısı

90^\circ

olan bir dik üçgen ve içinde A köşesinden çıkan,

|AB|=|AD|

olacak şekilde bir D noktası.

2

|AB|=|AD|

ve A açısı dik olduğundan ABD üçgeninin açılarını düşünün.

|BD|

uzunluğunu kullanarak

|AB|

'yi bulabilirsiniz.

3

ABD bir ikizkenar dik üçgendir (45-45-90).

|AB|=6

cm bulunur. Büyük ABC üçgeni ise 30-60-90 üçgenidir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguyu 15-75-90 üçgeni içindeki özelliklerle çözen soruları inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Trigonometri kullanarak:

\tan(60^\circ) = \frac{|AC|}{|AB|} = \sqrt{3}

bağıntısından

|AC|

bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 18Soru →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ olarak verilmiştir. $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınmıştır. $m(\widehat{ADC}) = 45^\circ$ , $|BD| = 6$ cm ve $|DC| = 4$ cm olduğuna göre, $|AB|$ uzunluğu kaç santimetredir?

4

2\sqrt{5}

5

4\sqrt{5}

2\sqrt{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2\sqrt{5}$

Cevap

Doğru cevap

2\sqrt{5}

santimetredir.

Soru, bir dik üçgenin hipotenüsüne indirilen dikme (Öklid bağıntısı) ile özel açılı üçgenlerin (

45^\circ

) özelliklerinin birleştirilmesini gerektirir.

A

noktasından dikme indirildiğinde oluşan

45-45-90

üçgeni sayesinde yükseklik ve taban parçaları arasında bir ilişki kurulur. Öklid bağıntısı ile yükseklik

4

cm bulunur. Sonrasında Pisagor teoremi ile istenen kenar

2\sqrt{5}

cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

A

köşesinden

[BC]

kenarına bir

[AH]

dikmesi indirin.

[AH] \perp [BC]

ve

H \in [BC]

olur.

Dik üçgende metrik bağıntıları (Öklid) kullanabilmek ve

45^\circ

açısını bir dik üçgen içinde değerlendirmek için yükseklik çizilir.

2

Oluşan

AHD

üçgenini inceleyin.

m(\widehat{ADH}) = 45^\circ

olduğu için

\triangle AHD

ikizkenar dik üçgendir.

|AH| = |HD| = h

diyelim.

Bir açısı

45^\circ

olan dik üçgen ikizkenardır.

3

[BC]

üzerindeki parça uzunluklarını

h

cinsinden ifade edin.

|BH| = |BD| - |HD| = 6 - h

(Not: Geometrik tutarlılık için

H

noktası

B

ile

D

arasında olmalıdır).

|HC| = |HD| + |DC| = h + 4

.

Öklid bağıntısını uygulayabilmek için hipotenüsün ayırdığı parçaların (

p

ve

k

) uzunlukları belirlenmelidir.

4

Öklid bağıntısını (

h^2 = p \cdot k

) uygulayın.

h^2 = (6 - h) \cdot (h + 4) \Rightarrow h^2 = 6h + 24 - h^2 - 4h \Rightarrow 2h^2 - 2h - 24 = 0

.

Dik kenardan hipotenüse indirilen dikmenin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

5

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözün.

h^2 - h - 12 = 0 \Rightarrow (h - 4)(h + 3) = 0

. Uzunluk negatif olamayacağı için

h = 4

cm bulunur.

Yüksekliğin sayısal değerini bulmak için.

6

ABH

üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak

|AB|

'yi bulun.

|BH| = 6 - 4 = 2

cm.

|AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20

.

|AB| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

cm.

Dik kenar uzunluğuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Öklid Bağıntısı ve Özel Üçgenler (45-45-90)

İpuçları

1

45^\circ

açısını bir dik üçgenin içine alacak şekilde

A

köşesinden bir yardımcı doğru çizmeyi deneyin.

2

A

köşesinden

[BC]

kenarına indireceğiniz dikme (

h

),

45^\circ

'lik açı sayesinde tabanda ayırdığı bir parçaya eşit olacaktır (

h = p'

).

3

İndirdiğiniz dikmenin ayağına

H

deyin.

|AH| = |HD| = h

olacaktır. Öklid bağıntısını (

h^2 = p \cdot k

) kullanarak

h

değerini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu

30^\circ

veya

60^\circ

açıları kullanarak ve

15-75-90

üçgeni özelliği (

h = 4a

) ekleyerek çözün.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi ile

\triangle ABD

veya

\triangle ADC

de kullanılabilir, ancak Öklid yöntemi bu soru için daha pratiktir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 19Soru →

Şekildeki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ olarak verilmiştir. $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ABC})$ , $|AB| = 12$ cm ve $|AC| = 16$ cm olduğuna göre, $\frac{|BD|}{|DC|}$ oranı kaçtır?

\frac{9}{16}

\frac{3}{4}

1

\frac{4}{3}

\frac{16}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{16}$

Cevap

İstenen oran 9/16'dır.

Soruda verilen açı eşitliği,

AD

doğrusunun hipotenüse ait yükseklik olduğunu gizli bir şekilde ifade eder. Bir dik üçgende, hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların oranı (

|BD|/|DC|

), bu parçalara komşu olan dik kenarların karelerinin oranına (

|AB|^2/|AC|^2

) eşittir. Bu özellik kullanılarak

(12/16)^2 = (3/4)^2 = 9/16

sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Açı ilişkilerini analiz et.

m(\widehat{DAC}) + m(\widehat{C}) = 90^\circ

olduğunu gör.

Üçgenin iç açıları toplamı

180^\circ

kuralından,

m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 90^\circ

olduğu bilinmektedir. Verilen

m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{B})

eşitliği kullanıldığında,

\triangle ADC

içinde

D

açısının

90^\circ

olduğu, yani

[AD] \perp [BC]

olduğu anlaşılır.

2

Öklid bağıntılarını yaz.

|AB|^2 = |BD| \cdot |BC|

ve

|AC|^2 = |DC| \cdot |BC|

.

Dik üçgende hipotenüse indirilen dikme (yükseklik) için Öklid dik kenar bağıntıları geçerlidir.

3

Oranlama işlemini yap.

\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|^2}{|AC|^2}

Her iki denklemi taraf tarafa oranlayarak

|BC|

uzunluğunu sadeleştiririz.

4

Sayısal değerleri yerine koy ve hesapla.

\frac{12^2}{16^2} = \frac{144}{256} = \frac{9}{16}

Verilen uzunlukların kareleri alınıp sadeleştirme işlemi yapılır (her iki taraf 16'ya bölünür).

Anahtar Kavram

Dik Üçgende Öklid Bağıntıları ve Açı Özellikleri

İpuçları

1

Üçgenin açılarının toplamının

180^\circ

olduğunu hatırlayarak,

m(\widehat{ADC})

açısının kaç derece olduğunu bulmaya çalışın.

2

Bulduğunuz açı değeri

D

noktasından indirilen doğrunun yükseklik olduğunu gösterir. Dik üçgende hipotenüse inen dikme için Öklid bağıntılarını hatırlayın.

3

Öklid'in dik kenar bağıntılarına göre, bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafına düşen parça ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir (

c^2 = p \cdot a

). Bunu her iki kenar için yazıp oranlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, öklid bağıntısında yükseklik formülü (

h^2 = p \cdot k

) kullanılarak yüksekliğin uzunluğunun sorulduğu bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak çözüm:

\triangle ABD \sim \triangle CBA

ve

\triangle ACD \sim \triangle BCA

benzerliklerini kullanarak da oran bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 20Soru →

Aşağıdaki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $[AH] \perp [BC]$ 'dir.

$m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|AC| = 12$ cm olduğuna göre, $|BH|$ uzunluğu kaç cm'dir?

2

4

6

12

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18 cm

Öncelikle

ABC

üçgeninde

30-60-90

özelliği kullanılır.

30^\circ

'nin karşısındaki kenar (

AC

) 6 cm ise,

90^\circ

'nin karşısındaki hipotenüs (

BC

)

2 \times 6 = 12

cm olur. Daha sonra Öklit bağıntısı (

|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|

) uygulanır:

6^2 = |HC| \cdot 12 \Rightarrow 36 = 12|HC| \Rightarrow |HC| = 3

cm. Bizden

|BH|

istendiği için:

|BH| = |BC| - |HC| = 12 - 3 = 9

cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Büyük

ABC

üçgenindeki açıları ve kenarları belirle.

C

açısı

30^\circ

ve

A

açısı

90^\circ

olduğu için

B

açısı

60^\circ

'dir.

30-60-90

üçgeni özelliğinden,

30^\circ

'nin karşısındaki kenar (

AB

),

60^\circ

'nin karşısındaki kenarın (

AC

)

\frac{1}{\sqrt{3}}

katıdır.

|AB| = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}

cm.

30-60-90 üçgeni özelliklerini kullanarak dik kenarı bulmak.

2

ABC

üçgeninde hipotenüs uzunluğunu (

BC

) hesapla.

30^\circ

'nin karşısı (

AB

)

4\sqrt{3}

ise,

90^\circ

'nin karşısı (

BC

) bunun 2 katıdır.

|BC| = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}

cm. (Bu yolla da gidilebilir, ancak Öklit ile daha pratik çözülebilir). Alternatif Öklit:

|AB|^2 = |BH| \cdot |BC|

yerine

|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|

kullanmak daha kolay olabilir. Biz

ABH

üçgenine odaklanalım.

Kenar uzunluklarını doğrulamak.

3

Küçük

ABH

üçgeninde (veya Öklit bağıntısı ile)

|BH|

uzunluğunu bul.

ABH

üçgeni de bir 30-60-90 üçgenidir.

\widehat{B} = 60^\circ

ve

\widehat{AHB}=90^\circ

olduğu için

\widehat{BAH} = 30^\circ

'dir. Hipotenüs

|AB| = 4\sqrt{3}

cm'dir.

60^\circ

'nin karşısındaki

|AH|

ve

30^\circ

'nin karşısındaki

|BH|

aranıyor.

|BH| = \frac{|AB|}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}

... Bir dakika, hesaplamayı kontrol edelim. Büyük üçgende:

AC=12

(

60^\circ

karşısı değil,

30^\circ

'nin komşusu).

\tan(30) = AB/12 \Rightarrow 1/\sqrt{3} = AB/12 \Rightarrow AB = 4\sqrt{3}

. Doğru.

BC

hipotenüsü

AB

'nin 2 katı değil,

30^\circ

karşısının 2 katı.

\sin(30) = AB/BC \Rightarrow 1/2 = 4\sqrt{3}/BC \Rightarrow BC=8\sqrt{3}

. Öklit Bağıntısı:

|AB|^2 = |BH| \cdot |BC| \Rightarrow (4\sqrt{3})^2 = |BH| \cdot 8\sqrt{3} \Rightarrow 48 = |BH| \cdot 8\sqrt{3} \Rightarrow |BH| = \frac{48}{8\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}

. Seçeneklerde 18 yok. Soruyu tekrar kurgulayalım:

AC

hipotenüs değil dik kenar.

30^\circ

'nin karşısı

AB

olsun diye kurgu değişmeli veya sayılar ayarlanmalı. YENİ KURGU:

C=30

,

AC=12

.

AC

,

30

'un komşusudur.

30

'un karşısı

AB = 12 / \sqrt{3} = 4\sqrt{3}

. Hipotenüs

BC = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}

. Öklit'ten

AC^2 = HC \cdot BC \Rightarrow 144 = HC \cdot 8\sqrt{3} \Rightarrow HC = 18/\sqrt{3} = 6\sqrt{3}

.

BH = BC - HC = 8\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}

. Bu sayılar köklü çıkıyor, KPSS genelde tam sayı sever.

YENİ SAYILAR:

m(\widehat{C}) = 30^\circ

.

|AB|=6

cm (

30

'un karşısı). O zaman hipotenüs

|BC|=12

.

|AC| = 6\sqrt{3}

. Öklit:

|AB|^2 = |BH| \cdot |BC| \Rightarrow 36 = |BH| \cdot 12 \Rightarrow |BH| = 3

. Bu çok temiz.
Soru:

|AB|=6

,

\widehat{C}=30

.

|BH|

nedir? Cevap 3.
Seçenekler: 2, 3, 4, 6, 9.

Biraz daha zorlaştıralım:

|AC| = 12

cm (

60

'ın karşısı) verilirse?

|AB| = 12/\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

. Bu köklü.

Şöyle yapalım:

|HC| = 9

cm,

|BH| = 3

cm.

|AH|

nedir?

h^2 = p \cdot k \Rightarrow h^2 = 27 = 3\sqrt{3}

. Köklü.

En temiz senaryo:

|AB|=6

cm ve

m(\widehat{C})=30^\circ

verelim,

|BH|

soralım.
Adım 1: Büyük üçgen 30-60-90.

30

'un karşısı

AB=6

ise

90

'ın karşısı

BC=12

.
Adım 2: Öklit bağıntısı:

AB^2 = BH \cdot BC

.
Adım 3:

6^2 = |BH| \cdot 12 \Rightarrow 36 = 12|BH| \Rightarrow |BH| = 3

.
Bu soru 3/5 zorluk için biraz kolay (tek aşama Öklit + temel 30-60-90).

Zorlaştırma:

|AC|=12

ve

m(\widehat{B})=60^\circ

verip

|BH|

soralım. (Aynı kapıya çıkar).

Zorlaştırma 2:

|AC| = 8\sqrt{3}

ve

m(\widehat{B}) = 30^\circ

.

30

'un karşısı

AC = 8\sqrt{3}

DEĞİL,

B

açısı

30

.

AC

,

30

'un karşısı.
O zaman

BC = 16\sqrt{3}

.
Öklit:

AC^2 = HC \cdot BC \Rightarrow (8\sqrt{3})^2 = HC \cdot 16\sqrt{3} \Rightarrow 64 \cdot 3 = HC \cdot 16\sqrt{3} \Rightarrow 192 = HC \cdot 16\sqrt{3} \Rightarrow HC = 12/\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

.
Bu da köklü.

Tam sayı çıkan ve orta zorlukta bir senaryo:

m(\widehat{B}) = 15^\circ

,

m(\widehat{C}) = 75^\circ

. Hipotenüs

|BC| = 16

. Yükseklik

|AH|

nedir?
Kural: 15-75-90 üçgeninde

h = \text{hipotenüs} / 4

.

|AH| = 16 / 4 = 4

.
Bu özellik direkt bilgi sorusu olur.

Öklit + 30-60-90 kombinasyonuna dönelim ama sayıları ayarlayalım.

|AC| = 6

cm.

m(\widehat{B}) = 30^\circ

.

|HC|

nedir?
1. Büyük üçgen (

ABC

):

30

'un karşısı

AC=6

. Hipotenüs

BC=12

.
2. Öklit:

AC^2 = HC \cdot BC

.
3.

6^2 = HC \cdot 12 \Rightarrow 36 = 12 \cdot HC \Rightarrow HC = 3

.
Soru

|BH|

'ı sorsun.

BH = BC - HC = 12 - 3 = 9

.
Bu gayet güzel, 2 aşamalı ve sayıları temiz.

Doğru cevap: 9.
Çeldiriciler:
- 3 (

HC

'yi bulup işaretleyenler).
- 6 (

AC

'ye eşit sananlar).
- 4 (İşlem hatası).
- 12 (Hipotenüsün tamamı).
-

6\sqrt{3}

(Diğer dik kenar).

Öklit bağıntısı ve özel üçgen özelliklerinin birlikte kullanılması.

Anahtar Kavram

Öklit Bağıntıları ve 30-60-90 Üçgeni

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem