Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Aşağıdaki ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] ve [AH]⊥[BC][AH] \perp [BC] olarak verilmiştir.

∣BH∣=9|BH| = 9 cm ve ∣AC∣=20|AC| = 20 cm olduğuna göre, AA köşesinin hipotenüse olan uzaklığı (∣AH∣|AH|) kaç santimetredir?

  1. A
    10
  2. 12Cevap
  3. C
    15
  4. D
    16
  5. E
    18

Cevap

Üçgenin yüksekliği 12 cm olarak bulunur.
Soruda verilen dik üçgende dikten dik inildiği için Öklid bağıntıları geçerlidir. Önce ∣AC∣|AC| dik kenarını kullanarak ∣AC∣2=∣HC∣⋅∣BC∣|AC|^2 = |HC| \cdot |BC| bağıntısından ∣HC∣=16|HC|=16 cm bulunur. Ardından ∣AH∣2=∣BH∣⋅∣HC∣|AH|^2 = |BH| \cdot |HC| yükseklik bağıntısı ile h2=9⋅16=144h^2 = 9 \cdot 16 = 144 elde edilir ve yükseklik 12 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri tanımla ve bilinmeyen parçaya değişken ata.
∣BH∣=9|BH| = 9, ∣AC∣=20|AC| = 20. ∣HC∣=x|HC| = x ve ∣AH∣=h|AH| = h diyelim.
Öklid bağıntılarını kullanabilmek için hipotenüs parçalarını belirlemek gerekir.
2
Öklid'in Dik Kenar Bağıntısını kullanarak xx'i bul.
∣AC∣2=∣HC∣⋅∣BC∣  ⟹  202=x⋅(x+9)|AC|^2 = |HC| \cdot |BC| \implies 20^2 = x \cdot (x + 9)
Bir dik kenarın karesi, kendine yakın hipotenüs parçası ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
3
Oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.
400=x2+9x  ⟹  x2+9x−400=0400 = x^2 + 9x \implies x^2 + 9x - 400 = 0. Çarpanlarına ayırırsak (x+25)(x−16)=0(x+25)(x-16)=0. Uzunluk negatif olamayacağı için x=16x=16 cm.
xx değeri ∣HC∣|HC| uzunluğudur.
4
Öklid'in Yükseklik Bağıntısını kullanarak hh'yi hesapla.
h2=p⋅k  ⟹  h2=9⋅16=144h^2 = p \cdot k \implies h^2 = 9 \cdot 16 = 144. Buradan h=12h = 12 cm bulunur.
Yüksekliğin karesi, hipotenüs parçalarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Öklid Bağıntıları (Dik Kenar ve Yükseklik İlişkileri)

İpuçları

1
Dik açıdan dik inildiği için 'Muhteşem Üçlü' değil, 'Öklid Bağıntıları'nı kullanmalısın.
2
Verilen ∣AC∣|AC| kenarı bir dik kenardır. Öklid'in kenar bağıntısını (b2=k⋅ab^2 = k \cdot a) kullanarak önce bilinmeyen hipotenüs parçasını bul.
3
∣HC∣=x|HC| = x dersen, 202=x⋅(x+9)20^2 = x \cdot (x + 9) denklemini kurup xx'i çözmelisin. Sonra yüksekliği bulabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Öklid bağıntılarında alan formülünü (a⋅h=b⋅ca \cdot h = b \cdot c) kullandıran bir soru çöz.

Alternatif Yöntem

Pisagor yöntemi: AH=hAH = h ve HC=xHC = x olsun. Soldaki üçgende AB2=92+h2AB^2 = 9^2 + h^2. Büyük üçgende 202+AB2=(9+x)220^2 + AB^2 = (9+x)^2. Sağdaki üçgende 202=h2+x220^2 = h^2 + x^2. Bu denklemler ortak çözülerek de hh bulunabilir ancak Öklid çok daha hızlıdır.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru