Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] ve [BD]⊥[AC][BD] \perp [AC]'dir. ∣AB∣=15|AB| = 15 cm ve ∣BC∣=20|BC| = 20 cm olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. 9Cevap
  2. B
    12
  3. C
    16
  4. D
    25
  5. E
    7

Cevap

Dik üçgende hipotenüs üzerindeki izdüşüm uzunluğunu veren Öklid bağıntısı kullanılarak ∣AD∣=9|AD| = 9 cm bulunur.
Verilen ABCABC dik üçgeninde önce Pisagor bağıntısı ile ∣AC∣=25|AC| = 25 cm olarak bulunur. Ardından Öklid'in dik kenar bağıntısına göre, bir dik kenarın uzunluğunun karesi (15215^2), o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşüm uzunluğu (∣AD∣|AD|) ile hipotenüsün tamamının (∣AC∣|AC|) çarpımına eşittir. Bu durumda 225=∣AD∣×25225 = |AD| \times 25 eşitliğinden sonuç 9 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde Pisagor bağıntısı ile hipotenüs uzunluğunu hesapla.
∣AC∣2=152+202⇒∣AC∣2=225+400=625⇒∣AC∣=25|AC|^2 = 15^2 + 20^2 \Rightarrow |AC|^2 = 225 + 400 = 625 \Rightarrow |AC| = 25 cm.
Öklid bağıntılarını uygulayabilmek için hipotenüsün tamamına ihtiyaç vardır.
2
Öklid'in dik kenar bağıntısını (∣AB∣2=∣AD∣⋅∣AC∣|AB|^2 = |AD| \cdot |AC|) uygula.
152=∣AD∣⋅25⇒225=∣AD∣⋅2515^2 = |AD| \cdot 25 \Rightarrow 225 = |AD| \cdot 25.
Bir dik üçgende dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
3
∣AD∣|AD| uzunluğunu bulmak için denklemi çöz.
∣AD∣=22525=9|AD| = \frac{225}{25} = 9 cm.
Bölme işlemi ile bilinmeyen kenar uzunluğu elde edilir.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Öklid bağıntıları ve Pisagor teoremi.

İpuçları

1
Öncelikle 15−20−?15-20-? özel üçgenini kullanarak hipotenüsün tamamını bulmayı deneyin.
2
Dik kenarların uzunlukları biliniyorsa, Öklid'in dik kenar bağıntısını (c2=p⋅ac^2 = p \cdot a) kullanabilirsiniz.
3
∣AB∣2=∣AD∣⋅∣AC∣|AB|^2 = |AD| \cdot |AC| formülünde bildiğiniz değerleri yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda ∣BD∣|BD| yüksekliğini bulmayı ve ardından ∣AD∣|AD| ile ∣DC∣|DC| arasındaki ilişkiyi Öklid'in yükseklik bağıntısı (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) ile kontrol etmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce alanı kullanarak veya Öklid yüksekliği ile ∣BD∣=12|BD| = 12 bulunur. Daha sonra ABDABD üçgeninde 9−12−159-12-15 özel üçgeni (3-4-5'in 3 katı) fark edilerek ∣AD∣=9|AD| = 9 doğrudan söylenebilir.
Tahmini Süre:1m 15s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru