Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bir ABCABC üçgeninde m(ABC^)=135∘m(\widehat{ABC}) = 135^\circ, ∣AB∣=72|AB| = 7\sqrt{2} cm ve ∣BC∣=17|BC| = 17 cm olarak verilmiştir. Buna göre, ∣AC∣|AC| uzunluğu kaç santimetredir?

  1. A
    23
  2. B
    24
  3. 25Cevap
  4. D
    31
  5. E
    17217\sqrt{2}

Cevap

25 santimetre
Verilen 135∘135^\circ'lik açı, bir 45∘−45∘−90∘45^\circ - 45^\circ - 90^\circ üçgeni oluşturmak için idealdir. Üçgenin dışından indirilen dikme ile ∣AH∣=7|AH|=7 ve ∣BH∣=7|BH|=7 bulunur. Oluşan büyük AHCAHC dik üçgeninin kenarları 7 ve 24 birimdir. 7−24−257-24-25 özel üçgeni kuralı gereğince ∣AC∣|AC| uzunluğu 25 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
CBCB kenarını BB köşesi yönünde dışarıya doğru uzatın ve AA köşesinden bu uzantıya bir dikme indirerek HH noktasını belirleyin.
m(AHB^)=90∘m(\widehat{AHB}) = 90^\circ olan bir AHBAHB dik üçgeni oluşur.
135∘135^\circ'lik geniş açının bütünleyicisi olan 45∘45^\circ'yi kullanarak özel bir dik üçgen oluşturmak.
2
AHBAHB üçgeninde m(ABH^)=180∘−135∘=45∘m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ olduğunu bulun ve kenar uzunluklarını hesaplayın.
∣AH∣=∣BH∣=7|AH| = |BH| = 7 cm olur.
45∘−45∘−90∘45^\circ - 45^\circ - 90^\circ üçgeninde dik kenarlar, hipotenüsün 12\frac{1}{\sqrt{2}} katıdır (72÷2=77\sqrt{2} \div \sqrt{2} = 7).
3
AHCAHC büyük dik üçgeninin dik kenar uzunluklarını belirleyin.
∣AH∣=7|AH| = 7 cm ve ∣HC∣=∣HB∣+∣BC∣=7+17=24|HC| = |HB| + |BC| = 7 + 17 = 24 cm.
Pisagor bağıntısını uygulamak için gerekli olan toplam taban uzunluğunu bulmak.
4
AHCAHC üçgeninde Pisagor teoremini uygulayın: ∣AC∣2=∣AH∣2+∣HC∣2|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2
∣AC∣2=72+242=49+576=625⇒∣AC∣=25|AC|^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \Rightarrow |AC| = 25 cm.
7−24−257 - 24 - 25 kenarlarına göre özel dik üçgen özelliğinden dolayı.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde dış yükseklik yardımıyla dik üçgen oluşturma ve kenarlarına göre özel üçgenler (7−24−257-24-25).

İpuçları

1
135∘135^\circ derecelik açının dış açısının kaç derece olduğunu düşünün.
2
ABAB kenarını hipotenüs kabul eden dışarıda bir dik üçgen oluşturarak dik kenarları bulun.
3
Dışarıda oluşan yeni dik üçgenin dik kenarları 7 ve 24 cm'dir. Bu tanıdık bir özel üçgen mi?

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 120∘120^\circ veya 150∘150^\circ açılı üçgenlerde dış yükseklik çizerek çözüm yapmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılabilir: b2=a2+c2−2ac⋅cos⁡(135∘)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(135^\circ). Burada a=17,c=72a=17, c=7\sqrt{2} ve cos⁡(135∘)=−22\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} değerleri yerine yazıldığında sonuç aynı çıkacaktır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru