Examkin

Soru

Zorluk: ZorDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Aşağıdaki ABC üçgeninde m(ABC^)=135∘m(\widehat{ABC}) = 135^\circ, ∣AB∣=52|AB| = 5\sqrt{2} cm ve ∣BC∣=7|BC| = 7 cm olarak verilmiştir.

Buna göre, ∣AC∣|AC| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    29\sqrt{29}
  2. B
    3113\sqrt{11}
  3. C
    12
  4. 13Cevap
  5. E
    14

Cevap

Üçgenin dışında oluşturulan özel dik üçgen yardımıyla ∣AC∣|AC| uzunluğu 13 cm bulunur.
Verilen 135∘135^\circ açısı geniş bir açıdır ve bütünleri olan 45∘45^\circ, özel bir dik üçgen oluşturmak için ipucudur. Şeklin dışına doğru uzatma yapılarak 45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ üçgeni elde edilir. Bu küçük üçgenin kenarları 5 ve 5 bulunduğunda, büyük dik üçgenin kenarları 5 ve 12 olur. 5-12-13 özel üçgeni kuralıyla hipotenüs 13 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
BC kenarını B köşesinden sol tarafa doğru uzatın ve A köşesinden bu uzantıya bir dikme indirin. İndirilen dikmenin ayağına H noktası deyin.
AHC dik üçgeni oluşturulur.
135∘135^\circ gibi geniş açılı üçgen sorularında, açının bütünleri olan 45∘45^\circ'yi kullanmak için genellikle dışarıdan dik üçgen tamamlanır.
2
Oluşan ABH üçgeninin açılarını ve kenarlarını inceleyin.
m(ABH^)=180∘−135∘=45∘m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ olur. AHB üçgeni 45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ özel üçgenidir.
Bütünler açı kuralı ve dik üçgen inşası.
3
ABH üçgeninde hipotenüs ∣AB∣=52|AB|=5\sqrt{2} olduğuna göre dik kenarları hesaplayın.
∣AH∣=∣HB∣=5|AH| = |HB| = 5 cm bulunur.
45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ üçgeninde hipotenüs, dik kenarın 2\sqrt{2} katıdır (a2=52⇒a=5a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \Rightarrow a=5).
4
Büyük AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayın.
Dik kenarlar: ∣AH∣=5|AH|=5 ve ∣HC∣=∣HB∣+∣BC∣=5+7=12|HC| = |HB| + |BC| = 5 + 7 = 12 cm. ∣AC∣2=52+122=25+144=169|AC|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169.
Büyük üçgenin tabanı, eklenen parça ile mevcut kenarın toplamıdır.
5
Sonucu bulun.
∣AC∣=169=13|AC| = \sqrt{169} = 13 cm.
5-12-13 özel dik üçgeni.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde dışarıdan dikme indirerek özel açılı (30∘,45∘,60∘30^\circ, 45^\circ, 60^\circ) dik üçgenler oluşturma.

İpuçları

1
135∘135^\circ açısı geniş bir açıdır. Bu açının bütünleri olan 45∘45^\circ'yi kullanabilmek için üçgenin kenarını dışarı doğru uzatmayı deneyin.
2
BC kenarını sol tarafa uzatıp A köşesinden bir dikme indirdiğinizde, hipotenüsü ∣AB∣=52|AB|=5\sqrt{2} olan ikizkenar bir dik üçgen elde edeceksiniz.
3
Oluşan küçük dik üçgenin dik kenarları 5'er cm olur. Böylece oluşan büyük dik üçgenin kenarları 5 cm ve (5+7)(5+7) cm olur. Pisagor bağıntısını bu büyük üçgen için uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen, 120∘120^\circ veya 150∘150^\circ açılı üçgen sorularını inceleyin. Bu açılar sırasıyla 60∘60^\circ ve 30∘30^\circ'lik dış dik üçgenler oluşturur.

Alternatif Yöntem

Kosinüs Teoremi: ∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2∣AB∣∣BC∣cos⁡(135∘)|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(135^\circ) formülü ile de çözüm yapılabilir. cos⁡(135∘)=−22\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} değeri yerine konularak ∣AC∣2=50+49−2(52)(7)(−22)=99+70=169|AC|^2 = 50 + 49 - 2(5\sqrt{2})(7)(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 99 + 70 = 169 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru