Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC üçgeninin ağırlık merkezi GG noktasıdır. GG noktasından geçen ve [BC][BC] kenarına paralel olan doğru, [AB][AB] kenarını DD, [AC][AC] kenarını ise EE noktasında kesmektedir. BB köşesine ait iç açıortay doğrusu [DE][DE] doğru parçasını KK noktasında kestiğine göre; ∣BD∣=4|BD| = 4 cm ve ∣BC∣=18|BC| = 18 cm verileri ışığında ∣KG∣|KG| uzunluğu kaç santimetredir?

  1. A
    1
  2. 2Cevap
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    6

Cevap

Doğru cevap 2 santimetredir.
Soru, geometri bilgisini sentezlemeyi gerektirir. İlk olarak, DE//BCDE // BC paralelliği ve BB açısının açıortayı kullanılarak 'Z kuralı' yardımıyla △DBK\triangle DBK'nin ikizkenar olduğu ve ∣DK∣=∣BD∣=4|DK|=|BD|=4 cm olduğu bulunur. İkinci olarak, GG ağırlık merkezi olduğu için tabana paralel çizilen doğru, kenarortayı 2:12:1 oranında böler (köşeden ağırlık merkezine 2 birim). Bu da △ADG\triangle ADG ile △ABM\triangle ABM (M, BC'nin orta noktası) arasında 2/32/3 benzerlik oranı kurar. ∣BM∣=9|BM|=9 cm olduğundan, ∣DG∣=(2/3)⋅9=6|DG| = (2/3) \cdot 9 = 6 cm bulunur. Sonuç olarak aradaki fark ∣KG∣=6−4=2|KG| = 6 - 4 = 2 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Paralellik ve açıortay özelliklerini kullanarak üçgen türünü belirle.
DE//BCDE // BC olduğu için Z kuralından m(DKB^)=m(KBC^)m(\widehat{DKB}) = m(\widehat{KBC}) olur. Açıortaydan m(DBK^)=m(KBC^)m(\widehat{DBK}) = m(\widehat{KBC}) olduğundan, m(DKB^)=m(DBK^)m(\widehat{DKB}) = m(\widehat{DBK}) bulunur. Bu durumda DBKDBK üçgeni ikizkenardır ve ∣DK∣=∣BD∣=4|DK| = |BD| = 4 cm olur.
Sorudaki paralellik ve açıortay bilgisi, gizli bir ikizkenar üçgeni (DBK) ortaya çıkarır.
2
Ağırlık merkezi özelliğini kullanarak benzerlik oranını belirle.
GG ağırlık merkezi olduğundan, AA köşesinden gelen kenarortay GG noktasında 2'ye 1 oranında bölünür. Bu oran, Tales teoremi gereği ADEADE ve ABCABC üçgenleri arasındaki benzerlik oranını 2/32/3 yapar.
Ağırlık merkezi köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıktadır; bu da tabanlara paralel doğrularda 2/3 benzerlik oranı sağlar.
3
DG uzunluğunu hesapla.
AA köşesinden inen kenarortayın BCBC kenarını kestiği noktaya MM dersek, ∣BM∣=18/2=9|BM| = 18 / 2 = 9 cm olur. Benzerlikten ∣DG∣/∣BM∣=2/3|DG| / |BM| = 2/3 ise, ∣DG∣/9=2/3⇒∣DG∣=6|DG| / 9 = 2/3 \Rightarrow |DG| = 6 cm bulunur.
Paralel doğru parçasının uzunluğunu bulmak için temel benzerlik teoremi uygulanır.
4
İstenen KG uzunluğunu bul.
KK noktası DD ile GG arasında bir noktadır (çünkü ∣DK∣=4|DK|=4 ve ∣DG∣=6|DG|=6). O halde ∣KG∣=∣DG∣−∣DK∣=6−4=2|KG| = |DG| - |DK| = 6 - 4 = 2 cm bulunur.
Bulunan parça uzunlukları farkı alınarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üçgende ağırlık merkezi 1:2 oranı, paralel doğrularda Z kuralı ve açıortay ile oluşan ikizkenar üçgen özellikleri.

İpuçları

1
Paralel doğrularda açıortay gördüğünüzde 'Z kuralını' (iç ters açılar) kullanarak gizli bir ikizkenar üçgen arayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru