Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABC dik üçgeninde [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC]'dir. A köşesine ait iç açıortay, [BC][BC] kenarını D noktasında kesmektedir. ∣BD∣=3|BD| = 3 cm ve ∣DC∣=5|DC| = 5 cm olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

  1. A
    12
  2. B
    15
  3. 24Cevap
  4. D
    30
  5. E
    48

Cevap

Doğru cevap, ABC üçgeninin alanının 24 cm² olduğunu gösteren seçenektir.
Soruda verilen açıortay bilgisi kullanılarak kenarlar arasında 3/5 oranı kurulur. Pisagor bağıntısı yardımıyla kenar uzunlukları 6-8-10 üçgenini sağlar. Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısı olduğundan (6*8)/2 işlemi ile doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri şekil üzerinde tanımla ve iç açıortay teoremini uygula.
Açıortay teoremine göre ∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣=35\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{3}{5} olur.
Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.
2
Kenar uzunluklarını orantı sabiti (k) cinsinden ifade et.
∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k olarak belirlenir.
Oranı bilinen kenarların gerçek uzunluklarını bulmak için ortak bir çarpan kullanılır.
3
ABC üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.
(3k)2+(3+5)2=(5k)2⇒9k2+64=25k2(3k)^2 + (3+5)^2 = (5k)^2 \Rightarrow 9k^2 + 64 = 25k^2.
Üçgen dik üçgen olduğu için ([AB]⊥[BC][AB] \perp [BC]) dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
4
Denklemi çözerek k değerini ve üçgenin yüksekliğini bul.
16k2=64⇒k2=4⇒k=216k^2 = 64 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k=2. Buradan ∣AB∣=3k=6|AB| = 3k = 6 cm bulunur.
Alan hesabı için üçgenin dik kenar uzunluklarına ihtiyaç vardır.
5
ABC üçgeninin alanını hesapla.
Alan = ∣AB∣⋅∣BC∣2=6⋅82=24\frac{|AB| \cdot |BC|}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 cm².
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

İpuçları

1
İç açıortay teoremini hatırlayın: Açıortayın böldüğü parçaların oranı, o parçalara komşu olan kenarların oranına eşittir.
2
∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k diyerek üçgenin kenarlarını isimlendirin ve Pisagor bağıntısını kullanarak k değerini bulmaya çalışın.
3
Üçgenin dik kenarları 3k3k ve 88'dir. Hipotenüs ise 5k5k'dır. (3k)2+82=(5k)2(3k)^2 + 8^2 = (5k)^2 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde dış açıortay teoremi içeren bir alan sorusu çözülmesi önerilir.

Alternatif Yöntem

Oranları fark ettikten sonra bu üçgenin, kenarları 2 ile genişletilmiş bir 3-4-5 üçgeni (yani 6-8-10 üçgeni) olduğunu doğrudan görebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru