Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC üçgeninin ağırlık merkezi GG noktasıdır. Üçgenin iç bölgesindeki [AG][AG] ve [BG][BG] doğru parçaları birbirine diktir.

∣AG∣=9|AG| = 9 cm ve ∣BG∣=12|BG| = 12 cm olduğuna göre, GG noktasının CC köşesine olan uzaklığı (∣GC∣|GC|) kaç santimetredir?

  1. A
    7,5
  2. B
    10
  3. C
    12,5
  4. 15Cevap
  5. E
    22,5

Cevap

15 santimetredir.
Soru, ağırlık merkezi (kenarortayların kesim noktası) ve dik üçgen özelliklerinin birleştirilmesini gerektirir. İlk olarak, AGAG ve BGBG birbirine dik olduğu için AGBAGB üçgeni bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısından ABAB kenarı 15 cm bulunur. CC köşesinden çizilen ve GG'den geçen doğru parçası [AB][AB] kenarını ortalar (kenarortay). Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır (Muhteşem Üçlü), bu nedenle GG noktasından ABAB'ye olan mesafe (GKGK) 7,5 cm'dir. Ağırlık merkezi kuralı gereği, köşeye olan uzaklık (GCGC), kenara olan uzaklığın (GKGK) 2 katıdır. Sonuç: 2×7,5=152 \times 7,5 = 15 cm.

Adım Adım Çözüm

1
AGBAGB üçgenini incele.
[AG]⊥[BG][AG] \perp [BG] verildiğinden AGBAGB bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısı ile hipotenüs [AB][AB] bulunur: ∣AB∣2=92+122=81+144=225⇒∣AB∣=15|AB|^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \Rightarrow |AB| = 15 cm.
Dik kesişen kenarortay parçaları bir dik üçgen oluşturur.
2
CC köşesinden gelen kenarortayı çiz ve uzantısını isimlendir.
CC köşesinden geçen kenarortay GG noktasından geçer ve [AB][AB] kenarını bir KK noktasında keser. CKCK, ABCABC üçgeninin kenarortayıdır.
Ağırlık merkezi tüm kenarortayların kesişim noktasıdır.
3
AGBAGB dik üçgeninde GKGK kenarortay uzunluğunu hesapla.
KK noktası hipotenüsün ([AB][AB]) orta noktasıdır. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü kuralı). ∣GK∣=∣AB∣/2=15/2=7,5|GK| = |AB| / 2 = 15 / 2 = 7,5 cm.
Muhteşem üçlü özelliği: Bir dik üçgende hipotenüse inilen kenarortay, ayırdığı parçalara eşittir.
4
Ağırlık merkezi oranını kullanarak ∣GC∣|GC| uzunluğunu bul.
Ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böler (köşeye olan uzaklık, kenara olan uzaklığın 2 katıdır). ∣GC∣=2⋅∣GK∣=2⋅7,5=15|GC| = 2 \cdot |GK| = 2 \cdot 7,5 = 15 cm.
Kenarortay özelliği: ∣GC∣=2∣GK∣|GC| = 2|GK|.

Anahtar Kavram

Dik kesişen kenarortaylar ve muhteşem üçlü özelliği

İpuçları

1
AGBAGB üçgeni bir dik üçgendir. Öncelikle [AB][AB] kenarının uzunluğunu Pisagor bağıntısı ile hesaplayın.
2
CC köşesinden gelip GG'den geçen doğruyu uzatın. Bu doğru [AB][AB] kenarını ortalar (kenarortay). Dik üçgende hipotenüse inen kenarortayın özelliğini hatırlayın.
3
Dik üçgende hipotenüse inen kenarortay, ayırdığı parçalara eşittir (∣GK∣=∣AB∣/2|GK| = |AB|/2). Son olarak ağırlık merkezi kuralını (∣GC∣=2∣GK∣|GC| = 2|GK|) kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, ∣AB∣|AB| ve ∣GC∣|GC| verilip ∣AG∣|AG| uzunluğunun sorulduğu tersine işlem problemlerini çözün.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru