Examkin

Üçgende Yardımcı Elemanlar

39 soru

Soru 1Soru →

Bir ABC dik üçgeninde [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC]'dir. A köşesine ait iç açıortay, [BC][BC] kenarını D noktasında kesmektedir. ∣BD∣=3|BD| = 3 cm ve ∣DC∣=5|DC| = 5 cm olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap, ABC üçgeninin alanının 24 cm² olduğunu gösteren seçenektir.
Soruda verilen açıortay bilgisi kullanılarak kenarlar arasında 3/5 oranı kurulur. Pisagor bağıntısı yardımıyla kenar uzunlukları 6-8-10 üçgenini sağlar. Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısı olduğundan (6*8)/2 işlemi ile doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri şekil üzerinde tanımla ve iç açıortay teoremini uygula.
Açıortay teoremine göre ∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣=35\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{3}{5} olur.
Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.
2
Kenar uzunluklarını orantı sabiti (k) cinsinden ifade et.
∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k olarak belirlenir.
Oranı bilinen kenarların gerçek uzunluklarını bulmak için ortak bir çarpan kullanılır.
3
ABC üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.
(3k)2+(3+5)2=(5k)2⇒9k2+64=25k2(3k)^2 + (3+5)^2 = (5k)^2 \Rightarrow 9k^2 + 64 = 25k^2.
Üçgen dik üçgen olduğu için ([AB]⊥[BC][AB] \perp [BC]) dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
4
Denklemi çözerek k değerini ve üçgenin yüksekliğini bul.
16k2=64⇒k2=4⇒k=216k^2 = 64 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k=2. Buradan ∣AB∣=3k=6|AB| = 3k = 6 cm bulunur.
Alan hesabı için üçgenin dik kenar uzunluklarına ihtiyaç vardır.
5
ABC üçgeninin alanını hesapla.
Alan = ∣AB∣⋅∣BC∣2=6⋅82=24\frac{|AB| \cdot |BC|}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 cm².
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

İpuçları

1
İç açıortay teoremini hatırlayın: Açıortayın böldüğü parçaların oranı, o parçalara komşu olan kenarların oranına eşittir.
2
∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k diyerek üçgenin kenarlarını isimlendirin ve Pisagor bağıntısını kullanarak k değerini bulmaya çalışın.
3
Üçgenin dik kenarları 3k3k ve 88'dir. Hipotenüs ise 5k5k'dır. (3k)2+82=(5k)2(3k)^2 + 8^2 = (5k)^2 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde dış açıortay teoremi içeren bir alan sorusu çözülmesi önerilir.

Alternatif Yöntem

Oranları fark ettikten sonra bu üçgenin, kenarları 2 ile genişletilmiş bir 3-4-5 üçgeni (yani 6-8-10 üçgeni) olduğunu doğrudan görebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2Soru →

Bir ABCABC üçgeninin iç bölgesinde belirlenen bir GG noktası; [AD][AD], [BE][BE] ve [CF][CF] doğru parçalarının kesim noktasıdır. Bu doğru parçaları ile ilgili olarak 2∣GD∣=∣AG∣2|GD| = |AG|, 2∣GE∣=∣BG∣2|GE| = |BG| ve 2∣GF∣=∣CG∣2|GF| = |CG| oranlarının sağlandığı biliniyor. Buna göre, GG noktası ve bu doğru parçaları hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: GG noktası üçgenin ağırlık merkezidir ve doğru parçaları kenarortaylardır.

Cevap

Verilen oranlar ağırlık merkezinin temel özelliğidir; bu nedenle G noktası ağırlık merkezi, doğru parçaları ise kenarortaylardır.
Üçgende kenarortayların kesiştiği nokta ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezinin en temel özelliği, üzerinde bulunduğu kenarortayı kenara yakın kısımdan 1 birim, köşeye yakın kısımdan 2 birim olacak şekilde parçalamasıdır. Soruda verilen 2∣GD∣=∣AG∣2|GD| = |AG| gibi eşitlikler tam olarak bu 1:21:2 oranını ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen oranları analiz edin.
∣AG∣=2∣GD∣|AG| = 2|GD|, ∣BG∣=2∣GE∣|BG| = 2|GE| ve ∣CG∣=2∣GF∣|CG| = 2|GF| olduğu görülmektedir.
Bu oranlar, bir doğru parçasının kesim noktası tarafından köşeye olan uzaklığının, kenara olan uzaklığının iki katı olduğunu gösterir.
2
Üçgende yardımcı elemanların özelliklerini hatırlayın.
Kenarortayların kesim noktası (ağırlık merkezi), her bir kenarortayı 1:21:2 oranında böler.
Ağırlık merkezi (GG), kenara 1 birim (kk), köşeye 2 birim (2k2k) uzaklıktadır.
3
Sonucu belirleyin.
GG noktası ağırlık merkezidir, [AD][AD], [BE][BE] ve [CF][CF] ise kenarortaylardır.
Tanım gereği, bu özel oran sadece kenarortaylar ve onların kesim noktası için her zaman geçerlidir.

Anahtar Kavram

Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayları kenardan 1 birim, köşeden 2 birim uzaklıkta olacak şekilde (1:2 oranında) böler.

İpuçları

1
Üçgende köşeden gelen parçanın kenara giden parçanın iki katı olduğu özel noktayı hatırlayın.
2
Bu özellik 'Ağırlık Merkezi' (GG) olarak bilinen nokta için tanımlanmıştır.
3
Ağırlık merkezi, kenarı iki eş parçaya bölen 'kenarortay'ların kesişim noktasıdır.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar ve eşkenar üçgenlerde bu yardımcı elemanların hangilerinin çakıştığını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 3Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde [AI][AI], [BI][BI] ve [CI][CI] doğru parçaları sırasıyla AA, BB ve CC köşelerindeki iç açıları iki eş parçaya bölmektedir. Bu açıortayların kesişim noktası olan **II noktası** aşağıdakilerden hangisi olarak adlandırılır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi

Cevap

Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi
Üçgende iç açıortayların (açıyı ikiye bölen doğruların) kesiştiği nokta, üçgenin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır ve bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olarak tanımlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen yardımcı elemanları tanımlama
Soruda [AI][AI], [BI][BI] ve [CI][CI] doğru parçalarının açıları iki eş parçaya böldüğü belirtilmiştir. Bu durum, bu parçaların 'iç açıortay' olduğunu gösterir.
Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasıdır.
2
Kesişim noktasının özelliğini belirleme
Üçgende üç iç açıortay tek bir noktada kesişir. Bu özel noktaya 'iç teğet çemberin merkezi' denir.
Geometrik tanım gereği iç açıortayların kesim noktası bu şekilde adlandırılır.

Anahtar Kavram

İç Açıortay ve İç Teğet Çemberin Merkezi

İpuçları

1
Şekildeki [AI][AI], [BI][BI] ve [CI][CI] doğru parçalarının köşelerdeki açıları nasıl böldüğüne dikkat edin.
2
Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına 'açıortay' denir. Soruda üç iç açıortayın kesişimi sorulmaktadır.
3
Üçgende iç açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin kenarlarına teğet olan iç teğet çemberin merkezidir.

Daha Fazla Pratik

Kenarortayların kesişim noktası olan ağırlık merkezinin özelliklerini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 4Soru →

Bir ABCABC üçgeninde AA köşesine ait dış açıortay, [BC][BC] kenarının uzantısını DD noktasında kesmektedir.

∣AB∣=6|AB| = 6 cm, ∣AC∣=4|AC| = 4 cm ve ∣BC∣=5|BC| = 5 cm olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Dış açıortay teoremi uygulandığında ∣CD∣|CD| uzunluğu 1010 cm olarak hesaplanır.
Dış açıortay teoremine göre, ∣AC∣/∣AB∣=∣CD∣/∣BD∣|AC|/|AB| = |CD|/|BD| bağıntısı geçerlidir. Verilen ∣AB∣=6|AB|=6, ∣AC∣=4|AC|=4 ve ∣BC∣=5|BC|=5 değerleri yerleştirildiğinde 4/6=x/(x+5)4/6 = x/(x+5) denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü 2x=202x=20 üzerinden x=10x=10 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Dış açıortay teoremi formülünü belirlemek
∣AC∣∣AB∣=∣CD∣∣BD∣\frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|BD|}
Üçgende dış açıortay teoremi, açıortayın karşı kenar uzantısını kestiği noktanın köşelere olan uzaklıkları oranının, komşu kenarların oranına eşit olduğunu belirtir.
2
Verilen değerleri değişkenler cinsinden yazmak
∣CD∣=x|CD| = x olsun. Bu durumda ∣BD∣=∣BC∣+∣CD∣=5+x|BD| = |BC| + |CD| = 5 + x olur.
DD noktası [BC][BC] uzantısı üzerinde olduğu için B,C,DB, C, D noktaları doğrusaldır ve ∣BD∣|BD| toplam uzunluğu verir.
3
Orantıyı kurup denklemi çözmek
46=x5+x⇒4(5+x)=6x⇒20+4x=6x⇒2x=20⇒x=10\frac{4}{6} = \frac{x}{5+x} \Rightarrow 4(5+x) = 6x \Rightarrow 20 + 4x = 6x \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10
İçler dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen xx değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Dış Açıortay Teoremi

İpuçları

1
Dış açıortay teoremini hatırlayın: Açıortayın kestiği noktanın köşelere olan uzaklıkları oranını kurun.
2
∣CD∣=x|CD| = x dersek, ∣BD∣|BD| uzunluğunun 5+x5 + x olacağını unutmayın.
3
4/6=x/(5+x)4/6 = x/(5+x) orantısını kullanarak içler dışlar çarpımı yapın.

Daha Fazla Pratik

İç ve dış açıortayın aynı soruda birleştiği 'iç açıortay ile dış açıortay arasındaki açının 90 derece olması' özelliğini içeren soruları çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

Bir ABCABC üçgeninin ağırlık merkezi GG noktasıdır. Üçgenin iç bölgesindeki [AG][AG] ve [BG][BG] doğru parçaları birbirine diktir.

∣AG∣=9|AG| = 9 cm ve ∣BG∣=12|BG| = 12 cm olduğuna göre, GG noktasının CC köşesine olan uzaklığı (∣GC∣|GC|) kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15 santimetredir.
Soru, ağırlık merkezi (kenarortayların kesim noktası) ve dik üçgen özelliklerinin birleştirilmesini gerektirir. İlk olarak, AGAG ve BGBG birbirine dik olduğu için AGBAGB üçgeni bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısından ABAB kenarı 15 cm bulunur. CC köşesinden çizilen ve GG'den geçen doğru parçası [AB][AB] kenarını ortalar (kenarortay). Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır (Muhteşem Üçlü), bu nedenle GG noktasından ABAB'ye olan mesafe (GKGK) 7,5 cm'dir. Ağırlık merkezi kuralı gereği, köşeye olan uzaklık (GCGC), kenara olan uzaklığın (GKGK) 2 katıdır. Sonuç: 2×7,5=152 \times 7,5 = 15 cm.

Adım Adım Çözüm

1
AGBAGB üçgenini incele.
[AG]⊥[BG][AG] \perp [BG] verildiğinden AGBAGB bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısı ile hipotenüs [AB][AB] bulunur: ∣AB∣2=92+122=81+144=225⇒∣AB∣=15|AB|^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \Rightarrow |AB| = 15 cm.
Dik kesişen kenarortay parçaları bir dik üçgen oluşturur.
2
CC köşesinden gelen kenarortayı çiz ve uzantısını isimlendir.
CC köşesinden geçen kenarortay GG noktasından geçer ve [AB][AB] kenarını bir KK noktasında keser. CKCK, ABCABC üçgeninin kenarortayıdır.
Ağırlık merkezi tüm kenarortayların kesişim noktasıdır.
3
AGBAGB dik üçgeninde GKGK kenarortay uzunluğunu hesapla.
KK noktası hipotenüsün ([AB][AB]) orta noktasıdır. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü kuralı). ∣GK∣=∣AB∣/2=15/2=7,5|GK| = |AB| / 2 = 15 / 2 = 7,5 cm.
Muhteşem üçlü özelliği: Bir dik üçgende hipotenüse inilen kenarortay, ayırdığı parçalara eşittir.
4
Ağırlık merkezi oranını kullanarak ∣GC∣|GC| uzunluğunu bul.
Ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böler (köşeye olan uzaklık, kenara olan uzaklığın 2 katıdır). ∣GC∣=2⋅∣GK∣=2⋅7,5=15|GC| = 2 \cdot |GK| = 2 \cdot 7,5 = 15 cm.
Kenarortay özelliği: ∣GC∣=2∣GK∣|GC| = 2|GK|.

Anahtar Kavram

Dik kesişen kenarortaylar ve muhteşem üçlü özelliği

İpuçları

1
AGBAGB üçgeni bir dik üçgendir. Öncelikle [AB][AB] kenarının uzunluğunu Pisagor bağıntısı ile hesaplayın.
2
CC köşesinden gelip GG'den geçen doğruyu uzatın. Bu doğru [AB][AB] kenarını ortalar (kenarortay). Dik üçgende hipotenüse inen kenarortayın özelliğini hatırlayın.
3
Dik üçgende hipotenüse inen kenarortay, ayırdığı parçalara eşittir (∣GK∣=∣AB∣/2|GK| = |AB|/2). Son olarak ağırlık merkezi kuralını (∣GC∣=2∣GK∣|GC| = 2|GK|) kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, ∣AB∣|AB| ve ∣GC∣|GC| verilip ∣AG∣|AG| uzunluğunun sorulduğu tersine işlem problemlerini çözün.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 6Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde [AN][AN] doğru parçası çizilmiştir. m(BAN^)=m(CAN^)m(\widehat{BAN}) = m(\widehat{CAN}) olduğu bilindiğine göre, [AN][AN] doğru parçasına ne ad verilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Açıortay

Cevap

Verilen [AN][AN] doğru parçası, açıyı iki eş parçaya böldüğü için açıortaydır.
Doğru cevap olan seçenek, bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasının tanımını temsil eder. Soruda verilen matematiksel eşitlik, AA açısının tam ortadan ikiye ayrıldığını ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen matematiksel ifadeyi analiz et.
m(BAN^)=m(CAN^)m(\widehat{BAN}) = m(\widehat{CAN}) ifadesi, AA açısının iki eşit parçaya ayrıldığını gösterir.
Geometrik sembollerin anlamını belirlemek çözümün ilk adımıdır.
2
Üçgende yardımcı elemanların tanımlarını hatırla.
Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir.
Tanım gereği bu özellik açıortayı tanımlar.
3
Sonucu belirle.
[AN][AN] doğru parçası AA açısına ait bir açıortaydır.
Verilen özellikler sadece açıortay tanımına uymaktadır.

Anahtar Kavram

Açıortay Tanımı

İpuçları

1
m(BAN^)=m(CAN^)m(\widehat{BAN}) = m(\widehat{CAN}) ifadesinin ne anlama geldiğine odaklanın.
2
Bu ifade, AA köşesindeki açının [AN][AN] doğrusu tarafından iki eşit parçaya bölündüğünü anlatır.
3
Üçgende 'açıyı bölen' yardımcı elemanın adı nedir? İpucu isminde gizli: 'açı' ve 'ortalamak'.

Daha Fazla Pratik

İç açıortayların kesişim noktasının 'iç teğet çemberin merkezi' olduğunu öğrenerek konuyu derinleştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 7Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, AA köşesine ait iç açıortay doğrusu [AN][AN] ile ACAC kenarına ait kenarortay doğrusu [BM][BM] birbirine diktir.

∣AB∣=6|AB| = 6 cm ve ABCABC üçgeninin çevresi 2828 cm olduğuna göre, ∣BC∣|BC| kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Soruda verilen kritik bilgi, AA açısına ait açıortayın (ANAN), ACAC kenarına ait kenarortaya (BMBM) dik olmasıdır. Geometride 'Yaki' kuralı (Yükseklik, Açıortay, Kenarortay, İkizkenar) gereği, bir doğru parçası hem açıortay hem de yükseklik görevi görüyorsa, o üçgen ikizkenardır. Burada ABMABM üçgeninde AKAK doğrusu hem açıortay hem de yükseklik olduğundan ∣AB∣=∣AM∣|AB| = |AM| olur. BMBM kenarortay olduğu için ∣AM∣=∣MC∣|AM|=|MC|'dir. Dolayısıyla ∣AC∣=2∣AB∣=12|AC| = 2|AB| = 12 cm bulunur. Çevre 2828 cm olduğundan, ∣BC∣=28−(6+12)=10|BC| = 28 - (6+12) = 10 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen geometrik ilişkiyi analiz et.
AA köşesinden çizilen iç açıortay [AN][AN], ACAC kenarına ait [BM][BM] kenarortayına diktir. Bu durum özel bir ikizkenar üçgen yapısı oluşturur.
Açıortayın aynı zamanda yükseklik olması, o üçgenin ikizkenar olduğunu gösterir.
2
Kesişim noktasını tanımla ve ikizkenar üçgeni belirle.
[AN][AN] ve [BM][BM] doğrularının kesişim noktasına KK diyelim. △ABK\triangle ABK ve △AMK\triangle AMK üçgenlerinde AKAK hem açıortay hem de yüksekliktir. Bu durumda △ABM\triangle ABM ikizkenar üçgen olur ve ∣AB∣=∣AM∣|AB| = |AM| eşitliği sağlanır.
Bir üçgende açıortay aynı zamanda yükseklik ise, o üçgen ikizkenardır.
3
ACAC kenar uzunluğunu ABAB cinsinden ifade et.
[BM][BM] kenarortay olduğu için ∣AM∣=∣MC∣|AM| = |MC|'dir. ∣AB∣=∣AM∣|AB| = |AM| olduğundan, ∣AC∣=∣AM∣+∣MC∣=∣AB∣+∣AB∣=2∣AB∣|AC| = |AM| + |MC| = |AB| + |AB| = 2|AB| olur.
Kenarortay kenarı iki eş parçaya böler.
4
Verilenleri kullanarak denklemi kur ve çöz.
∣AB∣=6|AB| = 6 cm ise, ∣AC∣=2⋅6=12|AC| = 2 \cdot 6 = 12 cm olur. Çevre =∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=28= |AB| + |AC| + |BC| = 28 cm. 6+12+∣BC∣=28⇒18+∣BC∣=28⇒∣BC∣=106 + 12 + |BC| = 28 \Rightarrow 18 + |BC| = 28 \Rightarrow |BC| = 10 cm.
Üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende açıortay doğrusu ile kenarortay doğrusu dik kesişiyorsa, bu doğruların oluşturduğu alt üçgen ikizkenardır ve esas üçgenin kenarları arasında 1:21:2 oranı vardır.

İpuçları

1
Bir üçgende açıortay aynı zamanda yükseklik ise, bu üçgenin kenarları hakkında ne söylenebilir? İkizkenar üçgen özelliklerini hatırlayın.
2
ANAN ve BMBM doğrularının kesişim noktasına odaklanın. ABMABM üçgeninde açıortayın tabana dik inmesi, ∣AB∣|AB| ve ∣AM∣|AM| kenarları arasında bir eşitlik olduğunu gösterir.
3
∣AB∣=∣AM∣|AB| = |AM| eşitliğini ve MM noktasının ACAC kenarını ikiye böldüğünü (∣AM∣=∣MC∣|AM|=|MC|) kullanın. Bu, ∣AC∣|AC|'nin ∣AB∣|AB|'nin iki katı olduğu anlamına gelir.

Daha Fazla Pratik

Aynı kuralın dış açıortay ile olan versiyonunu içeren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

İç açıortay teoremi kullanılarak da çözülebilir, ancak 1:21:2 oranı bulunduğu için en pratik yol 'Yaki' kuralıdır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 8Soru →

Bir ABCABC üçgeninin ağırlık merkezi GG noktasıdır. GG noktasından geçen ve [BC][BC] kenarına paralel olan doğru parçası, üçgenin [AB][AB] kenarını DD, [AC][AC] kenarını ise EE noktasında kesmektedir.

∣DE∣=12|DE| = 12 cm olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18 cm
Üçgenin ağırlık merkezi (GG), kenarortayı köşeden itibaren 2'ye 1 oranında böler. DE//BCDE // BC olduğu için Temel Benzerlik Teoremi uygulanır. Benzerlik oranı, köşeden ağırlık merkezine olan uzaklığın tüm kenarortay uzunluğuna oranına eşittir: 2/32/3. Buna göre ∣DE∣/∣BC∣=2/3|DE|/|BC| = 2/3 eşitliğinden 12/∣BC∣=2/312/|BC| = 2/3 bulunur ve ∣BC∣=18|BC| = 18 cm çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezi özelliğini hatırla
A köşesinden çizilen kenarortay GG noktasından geçer. ∣AG∣=2k|AG| = 2k ve ∣GK′∣=k|GK'| = k (tabana olan uzaklık) oranını sağlar.
Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim olacak şekilde böler.
2
Benzerlik oranını kur
ADEADE üçgeni ile ABCABC üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı ∣AG∣∣AK′∣=2k3k=23\frac{|AG|}{|AK'|} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}'tür.
Paralel doğrular temel benzerlik teoremini (Thales) oluşturur.
3
Orantıyı çöz
∣DE∣∣BC∣=23  ⟹  12∣BC∣=23  ⟹  2∣BC∣=36  ⟹  ∣BC∣=18\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{3} \implies \frac{12}{|BC|} = \frac{2}{3} \implies 2|BC| = 36 \implies |BC| = 18 cm.
Üçgenlerin taban uzunlukları benzerlik oranıyla orantılıdır.

Anahtar Kavram

Ağırlık Merkezi ve Benzerlik İlişkisi

İpuçları

1
Ağırlık merkezi, kenarortayı hangi oranda böler?
2
A köşesinden GG noktasından geçen bir doğru (kenarortay) çizdiğinizde, oluşan küçük üçgenin büyük üçgene benzerlik oranı 2/3 olur.
3
∣AG∣∣AK∣=23\frac{|AG|}{|AK|} = \frac{2}{3} oranını kullanarak ∣DE∣∣BC∣\frac{|DE|}{|BC|} eşitliğini kurunuz.

Daha Fazla Pratik

Benzer kurguda alan oranının sorulduğu soruları inceleyiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, köşeleri karşı kenarların orta noktalarıyla birleştiren doğru parçalarının (kenarortayların) tamamı üçgenin içinde bir noktada kesişir.

Buna göre, kenarortayların kesiştiği bu nokta aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ağırlık Merkezi

Cevap

Kenarortayların kesişim noktası ağırlık merkezidir.
Üçgende köşeleri karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğrular kenarortaydır. Tanım gereği, bir üçgendeki tüm kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir.

Adım Adım Çözüm

1
Yardımcı elemanın tanımını yapın.
Üçgenin bir köşesini karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.
Soruda bahsedilen doğru parçalarının ne olduğunu tanımlamak için.
2
Kesişim noktasının ismini belirleyin.
Bir üçgende üç kenarortay tek bir noktada kesişir ve bu noktaya ağırlık merkezi (GG) adı verilir.
Geometrik tanım gereği kenarortayların buluştuğu nokta ağırlık merkezidir.

Anahtar Kavram

Üçgende kenarortayların kesişim noktası ağırlık merkezidir.

İpuçları

1
Köşeyi karşı kenarın ortasına birleştiren çizginin adına odaklanın.
2
Bu çizgi kenarı ikiye böldüğü için 'kenar-ortay' olarak isimlendirilir.
3
Kenarortayların kesiştiği nokta, üçgenin denge noktası olan ağırlık merkezidir.

Daha Fazla Pratik

Ağırlık merkezinin kenarortayı 1'e 2 oranında (1k1k ve 2k2k) böldüğü özelliğini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:30s
Soru 10Soru →

Dik kenar uzunlukları 66 cm ve 88 cm olan bir dik üçgenin ağırlık merkezi GG, iç teğet çemberinin merkezi ise II noktasıdır. Buna göre, GG ve II noktaları arasındaki uzaklık (∣GI∣|GI|) kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23\frac{2}{3}

Cevap

İki nokta arasındaki uzaklık 23\frac{2}{3} cm'dir.
Dik kenarları 66 ve 88 olan dik üçgende, dik köşeyi orijine (0,0)(0,0) yerleştirdiğimizde, iç teğet çemberin merkezi I(2,2)I(2,2) ve ağırlık merkezi G(2,8/3)G(2, 8/3) koordinatlarında bulunur. Her iki noktanın da apsisi 22 olduğundan, aralarındaki uzaklık sadece ordinatlar farkıdır: 8/3−2=2/38/3 - 2 = 2/3.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin hipotenüs uzunluğunu hesapla.
6−8−106-8-10 özel üçgeninden hipotenüs 1010 cm'dir.
Üçgenin tüm kenar uzunluklarını bilmek, merkezlerin konumlarını belirlemek için gereklidir.
2
Üçgeni koordinat düzlemine yerleştirerek köşeleri belirle.
Dik köşe A(0,0)A(0,0), diğer köşeler B(6,0)B(6,0) ve C(0,8)C(0,8) olsun.
Analitik düzlem, GG ve II noktalarının koordinatlarını bulmayı kolaylaştırır.
3
İç teğet çemberin merkezinin (II) koordinatlarını bul.
Dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı r=a+b−c2=6+8−102=2r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} = 2 olduğundan, I(2,2)I(2,2) noktasıdır.
Merkez, dik kenarlara rr uzaklıktadır.
4
Ağırlık merkezinin (GG) koordinatlarını bul.
G(0+6+03,0+0+83)=G(2,83)G(\frac{0+6+0}{3}, \frac{0+0+8}{3}) = G(2, \frac{8}{3}).
Ağırlık merkezi koordinatları, köşe koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
5
GG ve II noktaları arasındaki uzaklığı hesapla.
Apsisler aynı (x=2x=2) olduğu için uzaklık ordinatlar farkıdır: ∣83−2∣=∣83−63∣=23|\frac{8}{3} - 2| = |\frac{8}{3} - \frac{6}{3}| = \frac{2}{3}.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Üçgende Merkezlerin Konumu ve Analitik İnceleme

İpuçları

1
Üçgeni analitik düzleme yerleştirerek dik köşeyi orijin (0,0)(0,0) kabul ederseniz çözüm kolaylaşır.
2
Dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı r=dik kenarlar toplamı−hipotenu¨s2r = \frac{\text{dik kenarlar toplamı} - \text{hipotenüs}}{2} formülüyle bulunabilir.
3
Ağırlık merkezi koordinatları köşe noktalarının ortalamasıdır. II ve GG noktalarının apsislerini (x değerlerini) karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

3-4-5 üçgeninde iç merkez ile çevrel çember merkezi arasındaki uzaklığı soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Koordinat sistemi kullanmadan: Ağırlık merkezi ACAC kenarına AB/3=2AB/3 = 2 birim uzaklıktadır. İç merkez ACAC kenarına r=2r=2 birim uzaklıktadır. Yani ACAC'ye uzaklıkları eşittir (aynı dikey hizadadırlar). ABAB'ye uzaklıkları farkı ise r−(AC/3)r - (AC/3) yani ∣2−8/3∣|2 - 8/3| olur.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 11Soru →

Bir ABCABC üçgeninde GG ağırlık merkezi ve [AD][AD] kenarortaydır. BB açısına ait iç açıortay doğrusu, [AG][AG] doğru parçasının orta noktasından geçmektedir. Buna göre, ∣AB∣∣BC∣\frac{|AB|}{|BC|} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14\frac{1}{4}

Cevap

14\frac{1}{4}
Doğru yanıt olan 14\frac{1}{4} değerine ulaşmak için önce ağırlık merkezinin [AD][AD] kenarortayını ∣AG∣=2∣GD∣|AG|=2|GD| şeklinde böldüğü, ardından [AG][AG]'nin orta noktası MM ile birlikte ∣AM∣=∣MG∣=∣GD∣=k|AM|=|MG|=|GD|=k eşitliğinin sağlandığı görülmelidir. ABDABD üçgeninde [BM][BM] açıortay olduğundan iç açıortay teoremi gereği ∣AB∣/∣BD∣=∣AM∣/∣MD∣=k/2k=1/2|AB|/|BD| = |AM|/|MD| = k/2k = 1/2 olur. ∣BC∣=2∣BD∣|BC|=2|BD| olduğu için ∣AB∣/∣BC∣=1/4|AB|/|BC| = 1/4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezi özelliğini belirleme
∣AG∣=2∣GD∣|AG| = 2|GD|
Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru 2:12:1 oranında böler.
2
AGAG parçasının orta noktasını (MM) kullanma
∣AM∣=∣MG∣=k|AM| = |MG| = k ise ∣GD∣=k|GD| = k olur.
∣AG∣=2k|AG| = 2k olduğunda, orta nokta bu parçayı k,kk, k şeklinde böler. Ağırlık merkezi kuralından ∣GD∣|GD| de kk olur.
3
ABDABD üçgeninde iç açıortay teoremini uygulama
∣AB∣∣BD∣=∣AM∣∣MD∣=k2k=12\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AM|}{|MD|} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}
BB açısının açıortayı [AD][AD] kenarını MM noktasında kestiği için kenarların oranı ayırdığı parçaların oranına eşittir. Burada ∣MD∣=∣MG∣+∣GD∣=2k|MD| = |MG| + |GD| = 2k dır.
4
Kenarortay özelliğini kullanarak nihai oranı bulma
∣AB∣∣BC∣=14\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{1}{4}
∣AD∣|AD| kenarortay olduğundan ∣BC∣=2∣BD∣|BC| = 2|BD| dir. ∣AB∣∣BD∣=12\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{1}{2} ise ∣AB∣2∣BD∣=14\frac{|AB|}{2|BD|} = \frac{1}{4} bulunur.

Anahtar Kavram

Ağırlık merkezi (1:2 oranı) ve iç açıortay teoreminin birlikte kullanımı
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 12Soru →

Bir mimar, üçgen şeklindeki bir arazinin AA köşesinden başlayarak araziyi iki bölgeye ayıracak düz bir çit örmek istiyor. Mimarın belirlediği plana göre, çit üzerindeki her bir noktanın arazinin [AB][AB] ve [AC][AC] kenarlarına (sınırlarına) olan dik uzaklıkları birbirine eşit olacaktır.

Buna göre mimarın inşa edeceği bu çit, ABCABC üçgeninin hangi yardımcı elemanı üzerinde yer almalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AA açısına ait iç açıortay

Cevap

Mimarın inşa edeceği çit, AA açısına ait iç açıortay üzerinde yer almalıdır.
İç açıortay, bir açıyı iki eş açıya bölen doğru parçasıdır. Geometrik bir özellik olarak, açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir noktadan açının kollarına (üçgenin yan kenarlarına) çizilen dikmelerin uzunlukları her zaman birbirine eşittir. Bu nedenle, çit üzerindeki her noktanın kenarlara uzaklığının eşit olması ancak bu çitin açıortay üzerinde olmasıyla mümkündür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen 'kenarlara eşit dik uzaklık' şartının geometrik karşılığını belirlemek.
Çit üzerindeki bir PP noktasının [AB][AB] kenarına uzaklığı (h1h_1) ile [AC][AC] kenarına uzaklığı (h2h_2) için h1=h2h_1 = h_2 olmalıdır.
Soruda her noktanın iki kenara olan dik uzaklıklarının eşitliği şart koşulmuştur.
2
Açıortay tanımını ve temel özelliğini hatırlamak.
Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru üzerindeki her nokta, açının kollarından eşit uzaklıktadır.
Bu özellik açıortay teoreminin temelini oluşturur ve geometrik yer olarak açıortayı tanımlar.
3
Sonucu üçgenin yardımcı elemanıyla eşleştirmek.
AA köşesinden başlayıp bu özelliği sağlayan doğru parçası, AA açısının iç açıortayıdır.
Çit AA köşesinden başladığı ve yan kenarlara ([AB][AB] ve [AC][AC]) olan mesafeleri eşitlediği için bu tanıma tam olarak uyar.

Anahtar Kavram

Açıortay üzerindeki her nokta, açının kollarından eşit uzaklıktadır.

İpuçları

1
Bir noktanın bir doğruya uzaklığı denildiğinde o noktadan doğruya inilen 'dikme' uzunluğu kastedilir.
2
Üçgenin hangi elemanı, bulunduğu açıyı tam ortadan bölerek her iki kenara simetrik bir konumda bulunur?
3
Açıortay teoremini hatırlayın: Açıortay üzerindeki bir noktadan açının kenarlarına çizilen dikmeler birbirine eşittir.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgende hangi yardımcı elemanların (yükseklik, açıortay, kenarortay) çakışık olduğunu inceleyerek bu konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Bu noktanın aynı zamanda iç teğet çemberin merkezi (II) olabileceğini düşünün. İç teğet çemberin merkezi, tüm kenarlara eşit (yarıçap kadar) uzaklıktadır ve bu nokta tüm iç açıortayların kesim noktasıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →

Bir ABCABC üçgeninde GG noktası ağırlık merkezidir. Bu üçgende ∣AB∣=15|AB| = 15 cm, ∣AC∣=20|AC| = 20 cm ve ∣BC∣=21|BC| = 21 cm olarak verilmiştir. AA köşesine ait iç açıortay doğrusu [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir. GG noktasından geçen ve [BC][BC] kenarına paralel olan doğru; [AB][AB] kenarını KK, [AC][AC] kenarını LL ve [AD][AD] açıortay doğrusunu PP noktasında kesmektedir. Buna göre, ∣PL∣|PL| kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Hesaplamalar sonucunda ∣PL∣|PL| uzunluğu 8 cm olarak bulunur.
Doğru cevap olan seçenek, ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığının kenara olan uzaklığının iki katı olması (AG=2⋅GD′AG = 2 \cdot GD') gerçeğinden hareketle, KLKL doğrusunun BCBC doğrusuna olan paralelliği sayesinde kurulan 2/32/3 benzerlik oranını doğru kullanmıştır. Bu oranla ∣KL∣=14|KL| = 14 cm bulunmuş, ardından iç açıortay teoremi ile bu uzunluk 15:2015:20 (yani 3:43:4) oranında bölünerek istenen parça elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezinin özelliğini ve benzerlik oranını belirleme.
AK/AB=AL/AC=2/3AK/AB = AL/AC = 2/3 oranı elde edilir.
GG ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara 2:12:1 oranında böler. [KL]∥[BC][KL] \parallel [BC] olduğu için △AKL∼△ABC\triangle AKL \sim \triangle ABC benzerliği oluşur ve benzerlik oranı 2/32/3 olur.
2
∣KL∣|KL| uzunluğunu hesaplama.
∣KL∣=14|KL| = 14 cm
Benzerlik oranından ∣KL∣/∣BC∣=2/3⇒∣KL∣/21=2/3|KL| / |BC| = 2/3 \Rightarrow |KL| / 21 = 2/3 eşitliği yazılır.
3
İç açıortay teoremini [KL][KL] segmentine uygulama.
∣KP∣/∣PL∣=15/20=3/4|KP| / |PL| = 15 / 20 = 3/4 oranı bulunur.
[AD][AD] açıortay olduğu için [KL][KL] üzerinde ∣KP∣/∣PL∣=∣AK∣/∣AL∣|KP| / |PL| = |AK| / |AL| oranı geçerlidir. Benzerlikten ∣AK∣/∣AL∣=∣AB∣/∣AC∣|AK|/|AL| = |AB|/|AC| olduğu görülür.
4
Orantı kullanarak ∣PL∣|PL| değerini bulma.
∣PL∣=8|PL| = 8 cm
∣KP∣=3k|KP| = 3k ve ∣PL∣=4k|PL| = 4k dersek, 3k+4k=14⇒7k=14⇒k=23k + 4k = 14 \Rightarrow 7k = 14 \Rightarrow k = 2 olur. Buradan ∣PL∣=4×2=8|PL| = 4 \times 2 = 8 cm bulunur.

Anahtar Kavram

Ağırlık merkezi kenarortayı 2:12:1 oranında böler ve iç açıortay teoremi karşı kenarı kolların oranında böler.
Soru 14Soru →

Dik kenarları [AB][AB] ve [BC][BC] olan bir ABCABC dik üçgeninde, AA köşesine ait iç açıortay doğrusu [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir.

∣BD∣=6|BD| = 6 cm ve ∣DC∣=10|DC| = 10 cm olduğuna göre, ABCABC üçgeninin çevresi kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

48
İç açıortay teoremine göre kenarların oranı, açıortayın tabanda ayırdığı parçaların oranına eşittir (3/53/5). Dik kenar 16 cm olduğu için, 3k-16-5k dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak k=4 bulunur. Kenarlar 12, 16 ve 20 cm olur. Toplam çevre 48 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri analiz et
ABCABC bir dik üçgen, [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC]. ∣BD∣=6|BD| = 6, ∣DC∣=10|DC| = 10. Toplam ∣BC∣=16|BC| = 16 cm.
Sorudaki geometrik yapıyı ve uzunlukları belirlemek için.
2
İç Açıortay Teoremini uygula
∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣=610=35\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}. Buradan ∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k diyebiliriz.
Açıortayın kenarları, ayırdığı parçalarla orantılı böldüğü kuralını kullanmak için.
3
Pisagor Bağıntısını kullanarak k değerini bul
(3k)2+162=(5k)2⇒9k2+256=25k2⇒16k2=256⇒k2=16⇒k=4(3k)^2 + 16^2 = (5k)^2 \Rightarrow 9k^2 + 256 = 25k^2 \Rightarrow 16k^2 = 256 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4.
Bilinmeyen kenar uzunluklarını hesaplamak için dik üçgen özelliğini kullanmak.
4
Kenar uzunluklarını ve çevreyi hesapla
∣AB∣=3(4)=12|AB| = 3(4) = 12, ∣AC∣=5(4)=20|AC| = 5(4) = 20. Çevre = 12+16+20=4812 + 16 + 20 = 48 cm.
Sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

İpuçları

1
Önce İç Açıortay Teoremini kullanarak ∣AB∣|AB| ve ∣AC∣|AC| kenarları arasındaki oranı belirleyin.
2
Kenarlar arasındaki orana göre ∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k diyebilirsiniz. ∣BC∣|BC| uzunluğu bellidir.
3
ABCABC üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayın: (3k)2+162=(5k)2(3k)^2 + 16^2 = (5k)^2. Buradan k değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu Dış Açıortay Teoremi kullanarak çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

3k-16-5k kenarlarına sahip dik üçgenin, 3-4-5 üçgeninin bir katı olduğunu fark ederseniz; 4 birimlik kenarın 16'ya karşılık geldiğini görüp doğrudan ölçek katsayısının (k) 4 olduğunu bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 15Soru →

Bir ABCABC üçgeninde BB ve CC köşelerine ait iç açıortaylar üçgenin içindeki bir II noktasında kesişmektedir. m(BAC^)=80∘m(\widehat{BAC}) = 80^\circ olduğuna göre, m(BIC^)m(\widehat{BIC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 130

Cevap

İç açıortayların kesişmesiyle oluşan açı 130 derecedir.
İç açıortayların kesiştiği noktada oluşan geniş açı, tepe açısının yarısının 90 derece fazlası kuralına (90+A/290 + A/2) dayanır. 8080 derecenin yarısı olan 4040 dereceyi 9090 ile topladığımızda 130130 sonucuna ulaşırız.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktasının özelliğini belirleyin
II noktası iç açıortayların kesişim noktasıdır (İç teğet çemberin merkezi).
Soruda BB ve CC köşelerine ait iç açıortayların bu noktada kesiştiği belirtilmiştir.
2
İlgili geometri formülünü uygulayın
m(BIC^)=90∘+m(BAC^)2m(\widehat{BIC}) = 90^\circ + \frac{m(\widehat{BAC})}{2}
Bir üçgende iki iç açıortay arasında kalan açı, tepe açısının yarısının 90 derece fazlasına eşittir.
3
Verilen değeri yerine koyarak hesaplayın
90∘+80∘2=90∘+40∘=130∘90^\circ + \frac{80^\circ}{2} = 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ
Aritmetik toplama işlemi sonucunda doğru açı değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İç Açıortayların Kesişimi ile Oluşan Açı

İpuçları

1
Üçgenin içindeki II noktası, iki iç açıortayın birleştiği yerdir.
2
İç açıortaylar arasında kalan açıyı bulmak için tepe açısı ile 90 derece arasındaki ilişkiyi hatırlayın.
3
90+(A/2)90 + (A/2) formülünü kullanarak 8080 derecelik tepe açısını yerine yerleştirin.

Daha Fazla Pratik

Dış açıortayların kesişimiyle oluşan açıyı bulmaya yönelik benzer bir soru çözerek formül farkını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Üçgenin iç açılar toplamını (180∘180^\circ) kullanarak B/2+C/2+BIC^=180∘B/2 + C/2 + \widehat{BIC} = 180^\circ ve 80+B+C=180∘80 + B + C = 180^\circ denklemlerini kurarak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 16Soru →

[AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olan ABCABC dik üçgeninde, [BN][BN] doğru parçası ABC^\widehat{ABC} açısına ait iç açıortaydır.

NN noktası [AC][AC] kenarı üzerinde olmak üzere; ∣AN∣=3|AN| = 3 cm ve ∣NC∣=5|NC| = 5 cm olduğuna göre, ∣BN∣|BN| kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 353\sqrt{5}

Cevap

Doğru cevap 353\sqrt{5} değeridir.
Açıortay teoremi ile kenarlar arasındaki 3/5 oranı belirlenir. Büyük üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak kenarların gerçek uzunlukları (∣AB∣=6|AB|=6, ∣BC∣=10|BC|=10) bulunur. Son adımda ABNABN dik üçgeninde tekrar Pisagor uygulanarak açıortay uzunluğu hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Açıortay teoremini kullanarak kenar oranlarını belirle.
İç açıortay teoremine göre ∣AB∣∣BC∣=∣AN∣∣NC∣=35\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|AN|}{|NC|} = \frac{3}{5}'tir.
Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.
2
Bilinmeyen kenarları kk sabiti cinsinden ifade et ve Pisagor teoremini uygula.
∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣BC∣=5k|BC| = 5k olsun. ABCABC dik üçgeninde (3k)2+(3+5)2=(5k)2(3k)^2 + (3+5)^2 = (5k)^2 denklemi kurulur.
Büyük dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak orantı sabiti bulunmalıdır.
3
Denklemi çözerek kk değerini ve ∣AB∣|AB| uzunluğunu bul.
9k2+64=25k2⇒16k2=64⇒k2=4⇒k=29k^2 + 64 = 25k^2 \Rightarrow 16k^2 = 64 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = 2. Buradan ∣AB∣=3k=6|AB| = 3k = 6 cm bulunur.
Bilinmeyen kenarı bulmak için denklem çözülür.
4
ABNABN üçgeninde Pisagor uygulayarak ∣BN∣|BN| uzunluğunu hesapla.
∣BN∣2=∣AB∣2+∣AN∣2⇒∣BN∣2=62+32=36+9=45|BN|^2 = |AB|^2 + |AN|^2 \Rightarrow |BN|^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45. Sonuç ∣BN∣=45=35|BN| = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} cm.
İstenen açıortay uzunluğu, oluşan küçük dik üçgenin hipotenüsüdür.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

İpuçları

1
İç açıortay teoremini hatırlayın: Açıortayın böldüğü parçaların oranı, o parçalara komşu olan kenarların oranına eşittir.
2
∣AB∣|AB| ve ∣BC∣|BC| kenarlarına sırasıyla 3k3k ve 5k5k diyerek büyük üçgende Pisagor bağıntısı uygulayın.

Alternatif Yöntem

İç açıortay uzunluğu formülü (∣BN∣2=∣AB∣⋅∣BC∣−∣AN∣⋅∣NC∣|BN|^2 = |AB|\cdot|BC| - |AN|\cdot|NC|) kullanılarak da çözülebilir: ∣BN∣2=6⋅10−3⋅5=60−15=45|BN|^2 = 6\cdot10 - 3\cdot5 = 60 - 15 = 45.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 17Soru →

Bir ABCABC üçgeninde AA köşesine ait iç açıortay, [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir. ∣BD∣=5|BD| = 5 cm, ∣DC∣=7|DC| = 7 cm ve ABCABC üçgeninin çevresi 4848 cm olduğuna göre, ∣AC∣|AC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

İç açıortay teoremi gereği kenarların oranı tabanların oranına eşittir; çevre bağıntısı kullanıldığında ∣AC∣|AC| kenarı 21 cm bulunur.
İç açıortay teoremine göre, üçgenin yan kenarları (∣AB∣|AB| ve ∣AC∣|AC|), açıortayın tabanda ayırdığı parçalarla (∣BD∣|BD| ve ∣DC∣|DC|) orantılıdır. ∣BD∣=5|BD|=5 ve ∣DC∣=7|DC|=7 olduğu için ∣AB∣=5k|AB|=5k, ∣AC∣=7k|AC|=7k alınır. Üçgenin çevresi bu üç kenarın toplamı olduğundan, 5k+7k+(5+7)=485k + 7k + (5+7) = 48 denklemi kurulur. Buradan 12k+12=4812k + 12 = 48 işleminden k=3k=3 bulunur. İstenen kenar ∣AC∣=7k=7×3=21|AC| = 7k = 7 \times 3 = 21 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini uygula.
∣AB∣∣BD∣=∣AC∣∣DC∣  ⟹  ∣AB∣5=∣AC∣7\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|DC|} \implies \frac{|AB|}{5} = \frac{|AC|}{7}. Buradan ∣AB∣=5k|AB| = 5k ve ∣AC∣=7k|AC| = 7k denilebilir.
Üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.
2
[BC][BC] kenarının uzunluğunu hesapla.
∣BC∣=∣BD∣+∣DC∣=5+7=12|BC| = |BD| + |DC| = 5 + 7 = 12 cm.
Taban uzunluğu, açıortayın ayırdığı parçaların toplamıdır.
3
Çevre formülünü kullanarak kk orantı sabitini bul.
Çevre(ABCABC) = ∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=48|AB| + |AC| + |BC| = 48 cm. 5k+7k+12=48  ⟹  12k=36  ⟹  k=35k + 7k + 12 = 48 \implies 12k = 36 \implies k = 3.
Üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.
4
İstenen ∣AC∣|AC| kenarını hesapla.
∣AC∣=7k=7×3=21|AC| = 7k = 7 \times 3 = 21 cm.
∣AC∣|AC| kenarı 7k7k olarak belirlenmişti.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi
Soru 18Soru →

Bir geometri dersinde öğretmen, tahtaya bir ABCABC üçgeni çizmiş ve bu üçgenin her bir iç açısını iki eş parçaya bölen doğru parçalarını (iç açıortaylar) göstermiştir. Bu üç iç açıortayın üçgenin içerisinde kesiştiği nokta ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Cevap

İç açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
Üçgende iç açıortaylar, üçgenin kenarlarına eşit uzaklıkta bulunan tek bir noktada kesişirler. Bu nokta, üçgenin kenarlarına içten teğet olan çemberin merkezi olduğu için 'iç teğet çemberin merkezi' olarak adlandırılır.

Adım Adım Çözüm

1
Yardımcı elemanı tanımlayın.
Soruda verilen elemanlar iç açıortaylardır.
Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir.
2
Kesişim noktasının özelliklerini hatırlayın.
İç açıortaylar üçgenin içinde tek bir noktada kesişir.
Üçgende yardımcı elemanların kesişim noktaları özel isimler alır.
3
Noktanın geometrik karşılığını saptayın.
Açıortayların kesişim noktası, üçgenin kenarlarına eşit uzaklıktadır.
Bu eşit uzaklık (r), üçgenin içine çizilen ve kenarlara teğet olan çemberin yarıçapıdır, dolayısıyla bu nokta iç teğet çemberin merkezidir.

Anahtar Kavram

Üçgende İç Açıortayların Kesişim Noktası (İç Teğet Çemberin Merkezi)

İpuçları

1
Üçgende açıları iki eş parçaya bölen doğru parçalarına 'açıortay' denir.
2
Açıortayların kesiştiği bu özel nokta, üçgenin tüm kenarlarına aynı dik uzaklıktadır.
3
Kenarlara eşit uzaklıkta olan bu nokta, üçgenin içine çizilen ve kenarlara dokunan çemberin merkezidir.

Daha Fazla Pratik

Kenarortayların kesişim noktası olan 'Ağırlık Merkezi' (G) ve özelliklerini tekrar etmek bu konuyu pekiştirmenize yardımcı olacaktır.
Tahmini Süre:45s
Soru 19Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde [AN][AN] doğru parçası, BAC^\widehat{BAC} açısının açıortayıdır.

∣AB∣=8|AB| = 8 cm, ∣AC∣=12|AC| = 12 cm ve ∣BN∣=6|BN| = 6 cm olduğuna göre, ∣NC∣|NC| uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İç açıortay teoremi kullanılarak hesaplanan uzunluk 9 santimetredir.
Üçgende iç açıortay teoremi gereği, kenar uzunluklarının oranı, bu kenarların ayırdığı taban parçalarının oranına eşittir. Verilen değerlerle ∣AB∣∣BN∣=∣AC∣∣NC∣\frac{|AB|}{|BN|} = \frac{|AC|}{|NC|} orantısı kurulur. Buradan 86=12∣NC∣\frac{8}{6} = \frac{12}{|NC|} eşitliği elde edilir ve işlem yapıldığında ∣NC∣=9|NC| = 9 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen [AN][AN] doğru parçasının iç açıortay olduğunu belirle.
İç Açıortay Teoremi uygulanmalıdır.
Bir üçgende iç açıortay, indiği kenarı diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler.
2
Teoreme uygun orantıyı kur: ∣AB∣∣BN∣=∣AC∣∣NC∣\frac{|AB|}{|BN|} = \frac{|AC|}{|NC|}.
86=12x\frac{8}{6} = \frac{12}{x}
Kenarların kendi taraflarındaki taban parçalarına oranı eşittir.
3
İçler dışlar çarpımı yaparak xx değerini hesapla.
8⋅x=6⋅12⇒8x=72⇒x=98 \cdot x = 6 \cdot 12 \Rightarrow 8x = 72 \Rightarrow x = 9 cm
Denklem çözümü.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi

İpuçları

1
Üçgende iç açıortay, kenarları ve taban parçalarını belirli bir orana göre böler.
2
Sol kenarın sol taban parçasına oranı, sağ kenarın sağ taban parçasına oranına eşittir.
3
86=12∣NC∣\frac{8}{6} = \frac{12}{|NC|} eşitliğini kullanmalısın.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 20Soru →

ABC bir üçgen ve G noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir.

BG⊥CGBG \perp CG olmak üzere;
∣BG∣=6|BG| = 6 cm ve ∣CG∣=8|CG| = 8 cm olduğuna göre, ∣AG∣|AG| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

AG uzunluğu 10 cm'dir.
Öncelikle BGCBGC üçgeninde Pisagor bağıntısı veya 6-8-10 özel üçgeni kuralı ile ∣BC∣=10|BC|=10 cm bulunur. GG noktası ağırlık merkezi olduğu için, AA köşesinden gelen kenarortay GG noktasından geçer ve BCBC kenarını ortalar (bu noktaya DD diyelim). BGCBGC dik üçgen olduğu için 'Muhteşem Üçlü' kuralı gereği hipotenüse ait kenarortay (GDGD), hipotenüsün yarısıdır (∣GD∣=5|GD|=5 cm). Son olarak, ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böldüğü için ∣AG∣=2⋅∣GD∣|AG| = 2 \cdot |GD| formülünden ∣AG∣=10|AG| = 10 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
BGC üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.
∣BG∣=6|BG|=6 ve ∣CG∣=8|CG|=8 olduğu için, 6−8−106-8-10 özel üçgeninden ∣BC∣=10|BC| = 10 cm bulunur.
BG ve CG dik kesiştiği için BGC dik üçgendir.
2
Ağırlık merkezinden geçen kenarortay doğrusunu çiz ve 'Muhteşem Üçlü' özelliğini kullan.
AG doğrusunu uzatıp BC'yi kestiği noktaya D diyelim. BGC dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortay (GD), hipotenüsün yarısıdır. ∣GD∣=∣BC∣/2=10/2=5|GD| = |BC| / 2 = 10 / 2 = 5 cm.
Dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.
3
Ağırlık merkezi oran özelliğini kullanarak AG uzunluğunu hesapla.
G ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böler (∣AG∣=2⋅∣GD∣|AG| = 2 \cdot |GD|). Buna göre ∣AG∣=2⋅5=10|AG| = 2 \cdot 5 = 10 cm.
Ağırlık merkezi köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıktadır.

Anahtar Kavram

Ağırlık Merkezi ve Muhteşem Üçlü

İpuçları

1
BGC üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak BC uzunluğunu bulunuz.
2
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısıdır (Muhteşem Üçlü).
3
Ağırlık merkezi, kenarortayı 1 birim kenara, 2 birim köşeye olacak şekilde böler (∣AG∣=2∣GD∣|AG| = 2|GD|).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda hipotenüs uzunluğu verilip ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı sorulabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Sayfa 1 / 2Sonraki