Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC üçgeninde, AA köşesine ait iç açıortay [BC][BC] kenarını DD noktasında, dış açıortay ise [BC][BC] kenarının uzantısını EE noktasında kesmektedir.

∣AB∣=6|AB| = 6 cm, ∣AC∣=4|AC| = 4 cm ve ∣BC∣=5|BC| = 5 cm olduğuna göre, ∣DE∣|DE| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    10
  2. 12Cevap
  3. C
    13
  4. D
    15
  5. E
    18

Cevap

12
Soru hem iç hem dış açıortay teoremlerinin uygulanmasını gerektirir. İç açıortay teoreminden 6∣BD∣=4∣DC∣\frac{6}{|BD|} = \frac{4}{|DC|} ve ∣BD∣+∣DC∣=5|BD|+|DC|=5 olduğu için ∣BD∣=3|BD|=3, ∣DC∣=2|DC|=2 bulunur. Dış açıortay teoreminden (dış açıortay CC tarafında olacağından, çünkü AC<ABAC < AB) 65+∣CE∣=4∣CE∣\frac{6}{5+|CE|} = \frac{4}{|CE|} yazılır. Buradan 6∣CE∣=20+4∣CE∣⇒2∣CE∣=20⇒∣CE∣=106|CE| = 20 + 4|CE| \Rightarrow 2|CE|=20 \Rightarrow |CE|=10 bulunur. İstenen uzunluk ∣DE∣=∣DC∣+∣CE∣=2+10=12|DE| = |DC| + |CE| = 2 + 10 = 12 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini uygulayarak ∣BD∣|BD| ve ∣DC∣|DC| uzunluklarını hesaplama
∣BD∣=3|BD| = 3 cm, ∣DC∣=2|DC| = 2 cm
İç açıortay teoremine göre ∣AB∣∣BD∣=∣AC∣∣DC∣\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|DC|} olmalıdır. ∣BD∣=x|BD|=x dersek, 6x=45−x\frac{6}{x} = \frac{4}{5-x} denklemi çözülür.
2
Dış açıortay teoremini uygulayarak ∣CE∣|CE| uzunluğunu hesaplama
∣CE∣=10|CE| = 10 cm
Dış açıortay teoremine göre ∣AB∣∣BE∣=∣AC∣∣CE∣\frac{|AB|}{|BE|} = \frac{|AC|}{|CE|} olmalıdır. ∣CE∣=y|CE|=y dersek, 65+y=4y\frac{6}{5+y} = \frac{4}{y} denklemi çözülür.
3
∣DE∣|DE| uzunluğunu bulmak için ∣DC∣|DC| ve ∣CE∣|CE| değerlerini toplama
∣DE∣=2+10=12|DE| = 2 + 10 = 12 cm
D,C,ED, C, E noktaları doğrusal olduğundan ∣DE∣=∣DC∣+∣CE∣|DE| = |DC| + |CE| bağıntısı kullanılır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende hem iç hem de dış açıortay teoremlerinin aynı doğru üzerinde uygulanması.

İpuçları

1
Önce iç açıortay teoremini kullanarak DD noktasının BCBC kenarını hangi oranda böldüğünü bulun.
2
Ardından dış açıortay teoremini (KenarTamamı=KenarDıs¸ Parc¸a\frac{\text{Kenar}}{\text{Tamamı}} = \frac{\text{Kenar}}{\text{Dış Parça}}) kullanarak EE noktasının konumunu belirleyin.
3
∣DE∣|DE| uzunluğu, iç açıortaydan gelen ∣DC∣|DC| parçası ile dış açıortaydan gelen ∣CE∣|CE| parçasının toplamıdır.

Daha Fazla Pratik

İç ve dış açıortaylar arasındaki açının 90 derece olduğunu kullanan sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Harmonik bölüm özelliği kullanılarak da çözülebilir; iç ve dış açıortaylar tabanı harmonik olarak bölerler.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru