Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC üçgeninde GG noktası ağırlık merkezidir. Bu üçgende ∣AB∣=15|AB| = 15 cm, ∣AC∣=20|AC| = 20 cm ve ∣BC∣=21|BC| = 21 cm olarak verilmiştir. AA köşesine ait iç açıortay doğrusu [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir. GG noktasından geçen ve [BC][BC] kenarına paralel olan doğru; [AB][AB] kenarını KK, [AC][AC] kenarını LL ve [AD][AD] açıortay doğrusunu PP noktasında kesmektedir. Buna göre, ∣PL∣|PL| kaç cm'dir?

  1. A
    6
  2. B
    7
  3. 8Cevap
  4. D
    9
  5. E
    10

Cevap

Hesaplamalar sonucunda ∣PL∣|PL| uzunluğu 8 cm olarak bulunur.
Doğru cevap olan seçenek, ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığının kenara olan uzaklığının iki katı olması (AG=2⋅GD′AG = 2 \cdot GD') gerçeğinden hareketle, KLKL doğrusunun BCBC doğrusuna olan paralelliği sayesinde kurulan 2/32/3 benzerlik oranını doğru kullanmıştır. Bu oranla ∣KL∣=14|KL| = 14 cm bulunmuş, ardından iç açıortay teoremi ile bu uzunluk 15:2015:20 (yani 3:43:4) oranında bölünerek istenen parça elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezinin özelliğini ve benzerlik oranını belirleme.
AK/AB=AL/AC=2/3AK/AB = AL/AC = 2/3 oranı elde edilir.
GG ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara 2:12:1 oranında böler. [KL]∥[BC][KL] \parallel [BC] olduğu için △AKL∼△ABC\triangle AKL \sim \triangle ABC benzerliği oluşur ve benzerlik oranı 2/32/3 olur.
2
∣KL∣|KL| uzunluğunu hesaplama.
∣KL∣=14|KL| = 14 cm
Benzerlik oranından ∣KL∣/∣BC∣=2/3⇒∣KL∣/21=2/3|KL| / |BC| = 2/3 \Rightarrow |KL| / 21 = 2/3 eşitliği yazılır.
3
İç açıortay teoremini [KL][KL] segmentine uygulama.
∣KP∣/∣PL∣=15/20=3/4|KP| / |PL| = 15 / 20 = 3/4 oranı bulunur.
[AD][AD] açıortay olduğu için [KL][KL] üzerinde ∣KP∣/∣PL∣=∣AK∣/∣AL∣|KP| / |PL| = |AK| / |AL| oranı geçerlidir. Benzerlikten ∣AK∣/∣AL∣=∣AB∣/∣AC∣|AK|/|AL| = |AB|/|AC| olduğu görülür.
4
Orantı kullanarak ∣PL∣|PL| değerini bulma.
∣PL∣=8|PL| = 8 cm
∣KP∣=3k|KP| = 3k ve ∣PL∣=4k|PL| = 4k dersek, 3k+4k=14⇒7k=14⇒k=23k + 4k = 14 \Rightarrow 7k = 14 \Rightarrow k = 2 olur. Buradan ∣PL∣=4×2=8|PL| = 4 \times 2 = 8 cm bulunur.

Anahtar Kavram

Ağırlık merkezi kenarortayı 2:12:1 oranında böler ve iç açıortay teoremi karşı kenarı kolların oranında böler.
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru