Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC üçgeninde m(ABC^)=80∘m(\widehat{ABC}) = 80^\circ ve m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ olarak verilmiştir. Bu üçgende AA köşesinden [BC][BC] kenarına çizilen [AH][AH] yüksekliği ile AA köşesine ait [AN][AN] iç açıortayı arasındaki m(HAN^)m(\widehat{HAN}) açısı kaç derecedir?

  1. A
    15
  2. B
    20
  3. 25Cevap
  4. D
    30
  5. E
    35

Cevap

Yükseklik ile iç açıortay arasındaki açı 25 derecedir.
Üçgenin iç açıları toplamından AA açısı 70∘70^\circ bulunur. İç açıortay bu açıyı 35∘35^\circ'lik iki parçaya ayırır. Diğer yandan AA köşesinden inen yükseklik, BB açısı 80∘80^\circ olan dik üçgende AA köşesinde 10∘10^\circ'lik bir açı bırakır. Bu iki yardımcı eleman arasındaki fark 25∘25^\circ olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninin iç açıları toplamından AA açısının ölçüsünü bulalım.
m(A^)+80∘+30∘=180∘⇒m(A^)=70∘m(\widehat{A}) + 80^\circ + 30^\circ = 180^\circ \Rightarrow m(\widehat{A}) = 70^\circ
Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180∘180^\circ dir.
2
[AN][AN] iç açıortayının AA açısını nasıl böldüğünü belirleyelim.
m(BAN^)=35∘m(\widehat{BAN}) = 35^\circ
Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya böler (70∘/2=35∘70^\circ / 2 = 35^\circ).
3
[AH][AH] yüksekliğinin ABHABH dik üçgeninde oluşturduğu açıyı bulalım.
m(BAH^)=90∘−80∘=10∘m(\widehat{BAH}) = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ
AH⊥BCAH \perp BC olduğundan ABHABH bir dik üçgendir ve dar açılar birbirini 90∘90^\circ'ye tamamlar.
4
m(HAN^)m(\widehat{HAN}) açısını hesaplayalım.
m(HAN^)=35∘−10∘=25∘m(\widehat{HAN}) = 35^\circ - 10^\circ = 25^\circ
[AH][AH] yüksekliği [AB][AB] kenarına daha yakın olduğu için m(HAN^)=m(BAN^)−m(BAH^)m(\widehat{HAN}) = m(\widehat{BAN}) - m(\widehat{BAH}) olur.

Anahtar Kavram

Bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik ve iç açıortay arasındaki açının ölçüsü, diğer iki köşedeki açıların ölçüleri farkının yarısına eşittir: x=∣m(B^)−m(C^)∣2x = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{C})|}{2}

İpuçları

1
Önce üçgenin verilmeyen AA açısının ölçüsünü bulun.
2
AA köşesinden inen [AH][AH] yüksekliğinin ABHABH dik üçgeninde AA açısının ne kadarını kapladığını hesaplayın.
3
Açıortay AA açısını iki eş parçaya (35∘35^\circ) böler. Bu değer ile yüksekliğin bıraktığı 10∘10^\circ arasındaki farkı bulun.

Daha Fazla Pratik

Eğer üçgen ikizkenar olsaydı ve BB ile CC açıları eşit olsaydı, bu iki yardımcı eleman arasındaki açının kaç derece olacağını düşünebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pratik formül: Bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik ile iç açıortay arasındaki açı, diğer iki açının farkının yarısıdır. ∣80−30∣2=502=25\frac{|80 - 30|}{2} = \frac{50}{2} = 25 derecedir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru