Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜçgende Yardımcı Elemanlar

Dik kenar uzunlukları 66 cm ve 88 cm olan bir dik üçgenin ağırlık merkezi GG, iç teğet çemberinin merkezi ise II noktasıdır. Buna göre, GG ve II noktaları arasındaki uzaklık (∣GI∣|GI|) kaç cm'dir?

  1. A
    12\frac{1}{2}
  2. 23\frac{2}{3}Cevap
  3. C
    11
  4. D
    43\frac{4}{3}
  5. E
    53\frac{5}{3}

Cevap

İki nokta arasındaki uzaklık 23\frac{2}{3} cm'dir.
Dik kenarları 66 ve 88 olan dik üçgende, dik köşeyi orijine (0,0)(0,0) yerleştirdiğimizde, iç teğet çemberin merkezi I(2,2)I(2,2) ve ağırlık merkezi G(2,8/3)G(2, 8/3) koordinatlarında bulunur. Her iki noktanın da apsisi 22 olduğundan, aralarındaki uzaklık sadece ordinatlar farkıdır: 8/3−2=2/38/3 - 2 = 2/3.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin hipotenüs uzunluğunu hesapla.
6−8−106-8-10 özel üçgeninden hipotenüs 1010 cm'dir.
Üçgenin tüm kenar uzunluklarını bilmek, merkezlerin konumlarını belirlemek için gereklidir.
2
Üçgeni koordinat düzlemine yerleştirerek köşeleri belirle.
Dik köşe A(0,0)A(0,0), diğer köşeler B(6,0)B(6,0) ve C(0,8)C(0,8) olsun.
Analitik düzlem, GG ve II noktalarının koordinatlarını bulmayı kolaylaştırır.
3
İç teğet çemberin merkezinin (II) koordinatlarını bul.
Dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı r=a+b−c2=6+8−102=2r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} = 2 olduğundan, I(2,2)I(2,2) noktasıdır.
Merkez, dik kenarlara rr uzaklıktadır.
4
Ağırlık merkezinin (GG) koordinatlarını bul.
G(0+6+03,0+0+83)=G(2,83)G(\frac{0+6+0}{3}, \frac{0+0+8}{3}) = G(2, \frac{8}{3}).
Ağırlık merkezi koordinatları, köşe koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
5
GG ve II noktaları arasındaki uzaklığı hesapla.
Apsisler aynı (x=2x=2) olduğu için uzaklık ordinatlar farkıdır: ∣83−2∣=∣83−63∣=23|\frac{8}{3} - 2| = |\frac{8}{3} - \frac{6}{3}| = \frac{2}{3}.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Üçgende Merkezlerin Konumu ve Analitik İnceleme

İpuçları

1
Üçgeni analitik düzleme yerleştirerek dik köşeyi orijin (0,0)(0,0) kabul ederseniz çözüm kolaylaşır.
2
Dik üçgende iç teğet çemberin yarıçapı r=dik kenarlar toplamı−hipotenu¨s2r = \frac{\text{dik kenarlar toplamı} - \text{hipotenüs}}{2} formülüyle bulunabilir.
3
Ağırlık merkezi koordinatları köşe noktalarının ortalamasıdır. II ve GG noktalarının apsislerini (x değerlerini) karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

3-4-5 üçgeninde iç merkez ile çevrel çember merkezi arasındaki uzaklığı soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Koordinat sistemi kullanmadan: Ağırlık merkezi ACAC kenarına AB/3=2AB/3 = 2 birim uzaklıktadır. İç merkez ACAC kenarına r=2r=2 birim uzaklıktadır. Yani ACAC'ye uzaklıkları eşittir (aynı dikey hizadadırlar). ABAB'ye uzaklıkları farkı ise r−(AC/3)r - (AC/3) yani ∣2−8/3∣|2 - 8/3| olur.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru