Examkin

Soru

Zorluk: ZorDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bir ABCABC dik üçgeninde [BA]⊥[AC][BA] \perp [AC] ve m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ olarak verilmiştir. BB köşesine ait açıortay [AC][AC] kenarını DD noktasında kesmektedir.

∣AD∣=6|AD| = 6 cm olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç santimetredir?

  1. A
    636\sqrt{3}
  2. B
    12
  3. 12312\sqrt{3}Cevap
  4. D
    18
  5. E
    24

Cevap

12312\sqrt{3} cm
Verilen ABCABC dik üçgeninde CC açısı 30∘30^\circ olduğundan BB açısı 60∘60^\circ olur. Açıortay bu açıyı 30∘−30∘30^\circ-30^\circ böler. Oluşan ABDABD üçgeni (30-60-90) kullanılarak ∣AB∣=63|AB|=6\sqrt{3} cm bulunur. Büyük üçgende ise hipotenüs ∣BC∣|BC|, ∣AB∣|AB|'nin 2 katıdır; yani 12312\sqrt{3} cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin açılarını belirle
ABCABC üçgeninde A=90∘A=90^\circ ve C=30∘C=30^\circ olduğundan, B=60∘B=60^\circ'dir. BDBD açıortay olduğu için BB açısını 30∘30^\circ ve 30∘30^\circ olarak ikiye böler.
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ'dir ve açıortay açıyı iki eş parçaya ayırır.
2
ABDABD üçgenini analiz et
ABDABD üçgeninde A=90∘A=90^\circ ve m(ABD^)=30∘m(\widehat{ABD})=30^\circ'dir. Bu bir 30-60-90 üçgenidir. 30∘30^\circ karşısındaki kenar ∣AD∣=6|AD|=6 cm ise, 60∘60^\circ karşısındaki kenar ∣AB∣=63|AB| = 6\sqrt{3} cm olur.
30-60-90 üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısındaki kenar, 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenarın 3\sqrt{3} katıdır.
3
ABCABC büyük üçgeninde hipotenüsü (∣BC∣|BC|) hesapla
Büyük ABCABC üçgeni de bir 30-60-90 üçgenidir. 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenar ∣AB∣=63|AB|=6\sqrt{3} cm olduğuna göre, 90∘90^\circ'nin karşısındaki hipotenüs ∣BC∣=2⋅(63)=123|BC| = 2 \cdot (6\sqrt{3}) = 12\sqrt{3} cm bulunur.
30-60-90 üçgeninde hipotenüs, 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.

Anahtar Kavram

30-60-90 Üçgeni Özellikleri ve Açıortay

İpuçları

1
Üçgenin iç açılar toplamından BB açısının tamamını bulun ve açıortayın bu açıyı nasıl böldüğünü düşünün.
2
ABDABD üçgeni bir özel üçgendir (30-60-90). 30∘30^\circ'nin karşısı 6 cm ise, diğer dik kenar (ABAB) ne olur?
3
∣AB∣|AB| uzunluğunu bulduktan sonra büyük üçgen (ABCABC) için 30-60-90 özelliğini tekrar kullanın: Hipotenüs (BCBC), 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.

Alternatif Yöntem

m(DBC^)=30∘m(\widehat{DBC}) = 30^\circ ve m(C^)=30∘m(\widehat{C}) = 30^\circ olduğu için BDCBDC üçgeni ikizkenardır (∣BD∣=∣DC∣|BD|=|DC|). ABDABD üçgeninde hipotenüs ∣BD∣=12|BD|=12 bulunur, dolayısıyla ∣DC∣=12|DC|=12 olur. Buradan ∣AC∣=18|AC|=18 bulunur. sin⁡(60∘)=∣AC∣/∣BC∣⇒3/2=18/∣BC∣\sin(60^\circ) = |AC|/|BC| \Rightarrow \sqrt{3}/2 = 18/|BC| işlemiyle de sonuca gidilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru