Examkin

Soru

Zorluk: ZorDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bir ABCABC üçgeninde m(ABC^)=135∘m(\widehat{ABC}) = 135^\circ, ∣AB∣=72|AB| = 7\sqrt{2} cm ve ∣BC∣=17|BC| = 17 cm olarak verilmiştir.

Buna göre, ∣AC∣|AC| uzunluğu kaç santimetredir?

  1. A
    20
  2. B
    23
  3. C
    24
  4. 25Cevap
  5. E
    26

Cevap

∣AC∣|AC| uzunluğu 25 santimetredir.
Soruda verilen üçgen geniş açılı (135∘135^\circ) olduğu için, çözüm için üçgenin dışına bir yardımcı dikme çizilmelidir. BCBC kenarı uzatılıp AA'dan dikme inildiğinde, 45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ özellikli küçük bir üçgen ve kenarları 7 ile 24 olan büyük bir dik üçgen oluşur. 7-24-25 özel üçgeni gereği hipotenüs 25 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geniş açılı üçgenlerde dışarıdan dikme inme yöntemini uygula.
BCBC kenarını BB köşesi yönünde uzatıp, AA köşesinden bu uzantıya bir dikme inilerek HH noktası oluşturulur.
135∘135^\circ'nin bütünleri olan 45∘45^\circ'lik açıyı kullanarak özel bir dik üçgen elde etmek için.
2
Oluşan küçük dik üçgendeki kenar uzunluklarını hesapla.
AHBAHB üçgeni bir 45-45-90 üçgenidir. Hipotenüs ∣AB∣=72|AB| = 7\sqrt{2} olduğundan, dik kenarlar ∣AH∣=7|AH| = 7 cm ve ∣HB∣=7|HB| = 7 cm olur.
45-45-90 üçgeninde hipotenüs, dik kenarın 2\sqrt{2} katıdır (k,k,k2k, k, k\sqrt{2}).
3
Büyük dik üçgenin taban uzunluğunu ve hipotenüsü hesapla.
Büyük AHCAHC dik üçgeninin tabanı ∣HC∣=∣HB∣+∣BC∣=7+17=24|HC| = |HB| + |BC| = 7 + 17 = 24 cm'dir. Dik kenarlar 7 ve 24'tür.
∣AC∣|AC| uzunluğunu bulmak için Pisagor bağıntısı veya özel üçgen kuralı uygulanır.
4
Pisagor bağıntısı veya özel üçgen bilgisiyle sonucu bul.
7-24-25 özel dik üçgeni kuralına göre hipotenüs ∣AC∣=25|AC| = 25 cm bulunur.
72+242=49+576=625=2527^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde, açının bütünleri (180'e tamamlayanı) kullanılarak üçgenin dış bölgesinde bir dik üçgen oluşturulması ve Pisagor bağıntısı.

İpuçları

1
Üçgenin iç açılarından biri 135∘135^\circ. Bu açının bütünleri olan 45∘45^\circ'yi kullanabileceğiniz bir yardımcı doğru çizmeyi deneyin.
2
BB köşesinden geçen taban doğrusunu dışarıya doğru uzatın ve AA köşesinden bu uzantıya bir dikme indirin. Oluşan küçük üçgen tanıdık geliyor mu?
3
Oluşan dış üçgen 45-45-90 üçgenidir. Hipotenüsü 727\sqrt{2} ise dik kenarları 7'dir. Şimdi büyük dik üçgenin kenarlarına bakın: biri 7, diğeri 7+177+17.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla 120∘120^\circ açısı ve 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeni oluşturmayı gerektiren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Kosinüs Teoremi: b2=a2+c2−2accos⁡(B)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B). Burada cos⁡(135∘)=−22\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} olduğu için formül b2=(17)2+(72)2−2(17)(72)(−22)b^2 = (17)^2 + (7\sqrt{2})^2 - 2(17)(7\sqrt{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) haline gelir. İşaret değişimine dikkat edilmelidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru