Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC üçgeninde [AD][AD] ve [BE][BE] kenarortayları GG ağırlık merkezinde dik kesişmektedir. ∣AD∣=18|AD| = 18 cm ve ∣BE∣=24|BE| = 24 cm olduğuna göre, ∣AB∣|AB| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    10
  2. B
    15
  3. 20Cevap
  4. D
    25
  5. E
    30

Cevap

Üçgenin ∣AB∣|AB| kenarının uzunluğu 20 cm'dir.
Üçgende ağırlık merkezi (GG), kenarortayı köşeye 22 birim, kenara 11 birim olacak şekilde böler. Buna göre ∣AG∣=12|AG| = 12 cm ve ∣BG∣=16|BG| = 16 cm olur. Kenarortaylar dik kesiştiğinden m(AGB)=90∘m(AGB) = 90^{\circ}'dir. 12−16−2012-16-20 özel üçgeni (3−4−53-4-5 üçgeninin 4 katı) gereği ∣AB∣=20|AB| = 20 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezinin kenarortay üzerindeki bölme oranını belirlemek.
∣AG∣=23⋅∣AD∣|AG| = \frac{2}{3} \cdot |AD| ve ∣BG∣=23⋅∣BE∣|BG| = \frac{2}{3} \cdot |BE| bağıntıları kullanılır.
Bir üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru 2:12:1 oranında böler.
2
Ağırlık merkezi ile köşeler arasındaki mesafeleri hesaplamak.
∣AG∣=23⋅18=12|AG| = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12 cm ve ∣BG∣=23⋅24=16|BG| = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16 cm bulunur.
Pisagor bağıntısını uygulayabilmek için dik kesişen kenarortay parçalarının uzunlukları gereklidir.
3
ABGABG dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulamak.
∣AB∣2=∣AG∣2+∣BG∣2⇒∣AB∣2=122+162=144+256=400|AB|^2 = |AG|^2 + |BG|^2 \Rightarrow |AB|^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 cm².
Kenarortaylar dik kesiştiği için GG noktasındaki açı 90∘90^{\circ}'dir.
4
∣AB∣|AB| uzunluğunu kök dışına çıkarmak.
∣AB∣=400=20|AB| = \sqrt{400} = 20 cm olarak hesaplanır.
Karesi 400400 olan pozitif uzunluk değeri 2020 birimdir.

Anahtar Kavram

Ağırlık merkezinin kenarortayı 2:12:1 oranında bölme özelliği ve dik kesişen kenarortaylarda Pisagor bağıntısı uygulaması.

İpuçları

1
Ağırlık merkezinin kenarortayı köşeden itibaren hangi oranda böldüğünü hatırlayın.
2
∣AG∣|AG| ve ∣BG∣|BG| uzunluklarını bulduktan sonra oluşan AGBAGB üçgeninin türüne dikkat edin.
3
1212 ve 1616 uzunluklarını kullanarak Pisagor bağıntısını uygulayın veya 3−4−53-4-5 özel üçgeninin katlarını düşünün.

Daha Fazla Pratik

Kenarortayların dik kesiştiği durumlarda hipotenüse ait kenarortay uzunluğu ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi (Muhteşem Üçlü) inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kenarortaylar dik kesiştiğinde ∣AB∣2+∣DE∣2=∣AD∣2+∣BE∣2|AB|^2 + |DE|^2 = |AD|^2 + |BE|^2 gibi daha karmaşık formüller yerine, temel 2:12:1 kuralı ve Pisagor bağıntısı en güvenli yoldur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru