Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC üçgeninde [AD][AD] iç açıortaydır. ∣AB∣=9|AB| = 9 cm ve ∣AC∣=12|AC| = 12 cm olarak verilmiştir. GG noktası ABCABC üçgeninin ağırlık merkezi olduğuna göre, ABDABD üçgeninin alanının GDCGDC üçgeninin alanına oranı kaçtır?

  1. A
    2
  2. B
    73\frac{7}{3}
  3. 94\frac{9}{4}Cevap
  4. D
    52\frac{5}{2}
  5. E
    3

Cevap

Alanlar oranı 94\frac{9}{4} olarak bulunur.
İç açıortay teoremi gereği BDBD ve DCDC tabanları 9:129:12 (yani 3:43:4) oranındadır. Bu durum ABDABD üçgeninin alanını toplam alanın 3/73/7'si yapar. Ağırlık merkezi olan GG noktası, her bir kenarla oluşturduğu üçgenin alanını ana üçgenin 1/31/3'ü yapacak yükseklik özelliğine sahiptir (GDCGDC alanı, ADCADC alanının üçte biridir). Dolayısıyla (37)/(421)=94(\frac{3}{7}) / (\frac{4}{21}) = \frac{9}{4} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini uygulayarak BDBD ve DCDC kenarları arasındaki oranı belirleyin.
∣BD∣/∣DC∣=∣AB∣/∣AC∣=9/12=3/4|BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 9 / 12 = 3 / 4
Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler.
2
ABDABD ve ADCADC üçgenlerinin alanlarını ABCABC üçgeninin toplam alanı (SS) cinsinden ifade edin.
Alan(ABD)=37SAlan(ABD) = \frac{3}{7}S ve Alan(ADC)=47SAlan(ADC) = \frac{4}{7}S
Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır.
3
Ağırlık merkezinin (GG) özelliğini kullanarak GDCGDC üçgeninin alanını bulun.
Alan(GDC)=13Alan(ADC)=13⋅47S=421SAlan(GDC) = \frac{1}{3} Alan(ADC) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}S = \frac{4}{21}S
Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı, köşeye olan uzaklığının yarısıdır (1:21:2 oranı). Bu durum, GG noktasının tabana olan yüksekliğinin, AA noktasının tabana olan yüksekliğinin 1/31/3'ü olmasına neden olur.
4
Alan(ABD)Alan(ABD) değerini Alan(GDC)Alan(GDC) değerine oranlayın.
(37S)/(421S)=37⋅214=94(\frac{3}{7}S) / (\frac{4}{21}S) = \frac{3}{7} \cdot \frac{21}{4} = \frac{9}{4}
İstenen oran rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılarak elde edilir.

Anahtar Kavram

İç açıortay teoremi ve ağırlık merkezinin alan üzerindeki 1/31/3 oranı etkisi

İpuçları

1
Açıortay teoremini kullanarak BDBD ve DCDC uzunlukları arasındaki oranı bulun.
2
Ağırlık merkezinden (GG) tabana inen dikmenin, köşeden (AA) inen dikmenin kaçta kaçı olduğunu hatırlayın.
3
Alan(GDC)Alan(GDC)'nin Alan(ADC)Alan(ADC)'nin tam olarak 1/31/3'ü olduğunu kullanarak oranlama yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu dış açıortay ve ağırlık merkezi kombinasyonu için çözerek özellikleri pekiştirin.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru