Examkin

Soru

Zorluk: ZorDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

ABC bir üçgen olmak üzere, [AH]⊥[BC][AH] \perp [BC] olacak şekilde [BC][BC] kenarı üzerinde bir H noktası alınıyor.

m(HAC^)=m(ABC^)m(\widehat{HAC}) = m(\widehat{ABC})

Verilen şekilde ∣BH∣=4|BH| = 4 cm ve ∣HC∣=9|HC| = 9 cm olduğuna göre, ∣AH∣|AH| uzunluğu kaç santimetredir?

  1. A
    5
  2. 6Cevap
  3. C
    6,5
  4. D
    13
  5. E
    36

Cevap

6 santimetredir
Soruda verilen açı eşitliği (m(HAC^)=m(B^)m(\widehat{HAC}) = m(\widehat{B})), AHC dik üçgenindeki tümler açı ilişkisiyle birleştiğinde m(BAC^)=90∘m(\widehat{BAC}) = 90^\circ olduğunu ispatlar. Bir dik üçgende hipotenüse indirilen dikme (AH) için Öklid bağıntısı (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) geçerlidir. Buna göre ∣AH∣2=4⋅9=36|AH|^2 = 4 \cdot 9 = 36 olup, ∣AH∣=6|AH| = 6 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Açı ilişkilerini analiz et.
Üçgenin A köşesinin 90 derece olduğunu belirle.
m(ABC^)=αm(\widehat{ABC}) = \alpha denirse, verilen eşitlikten m(HAC^)=αm(\widehat{HAC}) = \alpha olur. AHC dik üçgeninde m(C^)=90∘−αm(\widehat{C}) = 90^\circ - \alpha dır. O halde büyük üçgende B ve C açılarının toplamı α+(90∘−α)=90∘\alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ olur. Bu durumda m(BAC^)=90∘m(\widehat{BAC}) = 90^\circ dir.
2
Uygun geometrik teoremi seç.
Öklid Yükseklik Bağıntısı (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k)
Tepe açısı 90 derece olan bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiği için Öklid bağıntıları geçerlidir.
3
Verilen değerleri formülde yerine koy ve hesapla.
∣AH∣=6|AH| = 6 cm
∣AH∣2=∣BH∣⋅∣HC∣⇒h2=4⋅9=36⇒h=6|AH|^2 = |BH| \cdot |HC| \Rightarrow h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow h = 6 cm.

Anahtar Kavram

Öklid Bağıntıları ve Dik Üçgen Özellikleri

İpuçları

1
AHC üçgeninde iç açılar toplamını düşünün. HAC^\widehat{HAC} açısı ile C^\widehat{C} açısının toplamı kaç derecedir?
2
HAC^\widehat{HAC} yerine soruda verilen eşiti olan B^\widehat{B} açısını yazın. Büyük ABC üçgeninde B ve C açılarının toplamını bulursanız, A açısının ölçüsünü de bulabilirsiniz.
3
A açısının 90 derece olduğunu bulduktan sonra, dikten dik inildiği durumlar için geçerli olan h2=p⋅kh^2 = p \cdot k (Öklid) bağıntısını kullanın.

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: △ABH∼△CAH\triangle ABH \sim \triangle CAH. Buradan ∣BH∣∣AH∣=∣AH∣∣HC∣\frac{|BH|}{|AH|} = \frac{|AH|}{|HC|} oranı kurulabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru