Examkin

Soru

Zorluk: ZorDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] ve m(ACB^)=15∘m(\widehat{ACB}) = 15^\circ olarak verilmiştir. AA köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı HH ve [BC][BC] kenarının orta noktası KK noktasıdır. Eğer ∣HK∣=23|HK| = 2\sqrt{3} cm ise, hipotenüs uzunluğu ∣BC∣|BC| kaç santimetredir?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Cevap
  4. D
    12
  5. E
    16

Cevap

Hipotenüs uzunluğu 8 cm'dir.
Soruda verilen 15−75−9015-75-90 üçgeni özelliği gereği yükseklik hipotenüsün dörtte biridir (ha=∣BC∣/4h_{a} = |BC|/4). Kenarortay ise hipotenüsün yarısıdır (∣AK∣=∣BC∣/2=2ha|AK| = |BC|/2 = 2h_{a}). Oluşan AHKAHK dik üçgeninde hipotenüs 2h2h, dik kenar hh olduğundan bu bir 30−60−9030-60-90 üçgenidir ve diğer dik kenar ∣HK∣=h3|HK| = h\sqrt{3} olur. Verilen ∣HK∣=23|HK|=2\sqrt{3} eşitliğinden h=2h=2 bulunur. Buradan hipotenüs ∣BC∣=4h=8|BC|=4h=8 cm elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
15−75−9015-75-90 üçgeninde hipotenüse ait yüksekliğin (hh), hipotenüsün (∣BC∣|BC|) dörtte biri olduğunu hatırlayalım.
∣AH∣=h|AH| = h ve ∣BC∣=4h|BC| = 4h.
15−75−9015-75-90 üçgeninin temel özelliği: hhyp=14⋅Hyph_{hyp} = \frac{1}{4} \cdot Hyp.
2
Muhteşem üçlü kuralını kullanarak kenarortay uzunluğunu (∣AK∣|AK|) hh cinsinden ifade edelim.
∣AK∣=∣BC∣2=4h2=2h|AK| = \frac{|BC|}{2} = \frac{4h}{2} = 2h.
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.
3
AHKAHK dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak hh değerini bulalım.
h2+(23)2=(2h)2⇒h2+12=4h2⇒3h2=12⇒h=2h^2 + (2\sqrt{3})^2 = (2h)^2 \Rightarrow h^2 + 12 = 4h^2 \Rightarrow 3h^2 = 12 \Rightarrow h = 2.
AHKAHK üçgeninde hipotenüs 2h2h, bir dik kenar hh ise diğer dik kenar h3h\sqrt{3}'tür (30-60-90 üçgeni).
4
Bulunan hh değerini kullanarak ∣BC∣|BC| uzunluğunu hesaplayalım.
∣BC∣=4h=4⋅2=8|BC| = 4h = 4 \cdot 2 = 8 cm.
Soruda istenen hipotenüs uzunluğudur.

Anahtar Kavram

15-75-90 üçgeninde yükseklik-hipotenüs ilişkisi (h=4ah=4a) ve muhteşem üçlü kuralının bir arada kullanımı.

İpuçları

1
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü).
2
15-75-90 üçgeninde hipotenüse ait yükseklik (hh) ile hipotenüs (aa) arasında h=a/4h = a/4 bağıntısı vardır.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, 22.5-67.5-90 üçgeninde yükseklik ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi (h=a/22h = a / 2\sqrt{2}) inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru