Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bir ABCABC üçgeninde m(ABC^)=45∘m(\widehat{ABC}) = 45^\circ, m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ ve ∣AB∣=82|AB| = 8\sqrt{2} cm olarak verilmiştir.

Buna göre, ∣BC∣|BC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    16
  2. 8+838 + 8\sqrt{3}Cevap
  3. C
    838\sqrt{3}
  4. D
    16216\sqrt{2}
  5. E
    83−88\sqrt{3} - 8

Cevap

Dikme indirilerek oluşturulan 45-45-90 ve 30-60-90 üçgenlerinden elde edilen uzunlukların toplamı 8(1+3)8(1 + \sqrt{3}) yani 8+838 + 8\sqrt{3} cm'dir.
Verilen 45∘45^\circ ve 30∘30^\circ açılarını kullanmak için AA köşesinden tabana dikme indirildiğinde, solda bir ikizkenar dik üçgen (45-45-90), sağda ise bir 30-60-90 üçgeni oluşur. Sol taraftan gelen 8 birimlik parça ile sağ taraftan gelen 838\sqrt{3} birimlik parça toplandığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AA köşesinden [BC][BC] kenarına bir AHAH dikmesi indirilir.
Üçgen, ABHABH ve AHCAHC olmak üzere iki dik üçgene ayrılır.
Özel açıları (45∘45^\circ ve 30∘30^\circ) kullanabilmek için dik üçgenler oluşturmak gerekir.
2
ABHABH üçgeninde (45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ), hipotenüs ∣AB∣=82|AB| = 8\sqrt{2} cm olduğu için dik kenarlar hesaplanır.
∣AH∣=∣BH∣=822=8|AH| = |BH| = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 cm bulunur.
45-45-90 üçgeninde hipotenüs, dik kenarın 2\sqrt{2} katıdır.
3
AHCAHC üçgeninde (30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ), 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenar ∣AH∣=8|AH|=8 cm olduğu için diğer kenarlar hesaplanır.
60∘60^\circ'nin karşısındaki ∣HC∣=83|HC| = 8\sqrt{3} cm (ve hipotenüs ∣AC∣=16|AC| = 16 cm) bulunur.
30-60-90 üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısı, 30∘30^\circ'nin karşısının 3\sqrt{3} katıdır.
4
∣BC∣|BC| uzunluğu için bulunan parçalar toplanır.
∣BC∣=∣BH∣+∣HC∣=8+83|BC| = |BH| + |HC| = 8 + 8\sqrt{3} cm.
BCBC kenarı HH noktası ile iki parçaya ayrılmıştır.

Anahtar Kavram

Özel Açılı Üçgenler (30-60-90 ve 45-45-90)

İpuçları

1
Özel açıları (30∘,45∘30^\circ, 45^\circ) parçalamadan kullanabilmek için AA köşesinden BCBC kenarına bir dikme indirmeyi deneyin.
2
Dikme indirdiğinizde solda bir 45-45-90 üçgeni, sağda ise bir 30-60-90 üçgeni oluşacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen, açılarından biri 135∘135^\circ veya 120∘120^\circ olan geniş açılı üçgen sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sinüs Teoremi kullanılarak da çözülebilir: ∣AC∣/sin⁡(45)=∣AB∣/sin⁡(30)|AC|/\sin(45) = |AB|/\sin(30) eşitliğinden ∣AC∣=16|AC|=16 bulunur. Daha sonra Kosinüs teoremi ile ∣BC∣|BC| bulunabilir, ancak dikme indirmek çok daha pratiktir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru