Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bir ABCABC üçgeninde m(ABC^)=45∘m(\widehat{ABC}) = 45^\circ, m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ ve ∣BC∣=4+43|BC| = 4 + 4\sqrt{3} cm olduğuna göre, ∣AB∣|AB| uzunluğu kaç santimetredir?

  1. A
    44
  2. 424\sqrt{2}Cevap
  3. C
    434\sqrt{3}
  4. D
    88
  5. E
    828\sqrt{2}

Cevap

424\sqrt{2} santimetre olan seçenek doğrudur.
Üçgenin içinden indirilen bir dikme ile iki tane özel açılı dik üçgen (45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ ve 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ) oluşturulur. Bu üçgenlerin ortak kenarı olan yükseklik 44 cm olarak hesaplanır. İstenen ∣AB∣|AB| kenarı, ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü olduğu için yüksekliğin 2\sqrt{2} katı olan 424\sqrt{2} cm sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AA köşesinden [BC][BC] kenarına bir dikme indirelim.
Dikmenin [BC][BC] kenarını kestiği noktaya HH diyelim. [AH]⊥[BC][AH] \perp [BC] olur.
Özel açılı (30∘,45∘,60∘30^\circ, 45^\circ, 60^\circ) üçgen sorularında, bu açılardan faydalanmak için dik üçgenler oluşturulur.
2
ABHABH dik üçgenindeki özellikleri belirleyelim.
m(BAH^)=45∘m(\widehat{BAH}) = 45^\circ olur. ∣AH∣=x|AH| = x dersek, ∣BH∣=x|BH| = x ve ∣AB∣=x2|AB| = x\sqrt{2} olur.
45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ ikizkenar dik üçgeninde dik kenarlar eşit, hipotenüs dik kenarın 2\sqrt{2} katıdır.
3
AHCAHC dik üçgenindeki özellikleri belirleyelim.
m(CAH^)=60∘m(\widehat{CAH}) = 60^\circ olur. ∣AH∣=x|AH| = x ise, 30∘30^\circ karşısındaki kenar xx olduğundan, 60∘60^\circ karşısındaki ∣HC∣=x3|HC| = x\sqrt{3} olur.
30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısındaki kenar, 30∘30^\circ'nin karşısındakinin 3\sqrt{3} katıdır.
4
∣BC∣|BC| uzunluğunu xx cinsinden yazıp verilen değere eşitleyelim.
∣BC∣=∣BH∣+∣HC∣=x+x3=x(1+3)|BC| = |BH| + |HC| = x + x\sqrt{3} = x(1 + \sqrt{3}) olur. x(1+3)=4+43=4(1+3)x(1 + \sqrt{3}) = 4 + 4\sqrt{3} = 4(1 + \sqrt{3}) ise x=4x = 4 bulunur.
BCBC uzunluğu, oluşturduğumuz iki dik üçgenin taban parçalarının toplamına eşittir.
5
∣AB∣|AB| uzunluğunu hesaplayalım.
∣AB∣=x2=42|AB| = x\sqrt{2} = 4\sqrt{2} cm bulunur.
İkinci adımda belirlediğimiz ∣AB∣=x2|AB| = x\sqrt{2} ilişkisini kullanarak sonuca ulaşıyoruz.

Anahtar Kavram

Özel Açılı Üçgenlerde Yardımcı Dikme Yardımıyla Çözüm

İpuçları

1
Üçgenin içinde 45∘45^\circ ve 30∘30^\circ gibi özel açılar varsa, AA köşesinden tabana bir dikme indirerek iki tane dik üçgen oluşturmayı deneyin.
2
İndirdiğiniz yüksekliğe xx derseniz, sol taraftaki üçgende taban xx, sağ taraftaki üçgende taban x3x\sqrt{3} olur. Bunların toplamı size ∣BC∣|BC| uzunluğunu verecektir.
3
x+x3=4(1+3)x + x\sqrt{3} = 4(1 + \sqrt{3}) denklemini çözerek xx değerini bulun. Ardından ABAB kenarının bu xx değerinin 2\sqrt{2} katı olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda dış açıları kullanarak (örneğin 135∘135^\circ veya 120∘120^\circ) dışarıdan dikme indirip dik üçgen oluşturma pratiği yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru