Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC üçgeninde GG noktası ağırlık merkezidir. GG noktasından geçen ve BCBC kenarına paralel olan doğru, ABAB kenarını DD, ACAC kenarını EE noktasında kesmektedir. ABCABC üçgeninde BB köşesine ait iç açıortay doğrusu, [DE][DE] doğru parçasını KK noktasında kestiğine göre; ∣AB∣=12|AB| = 12 cm ve ∣BC∣=18|BC| = 18 cm ise ∣KE∣|KE| uzunluğu kaç santimetredir?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Cevap
  4. D
    10
  5. E
    12

Cevap

8
Doğru cevap, ağırlık merkezinin sağladığı 2/3 benzerlik oranıyla tüm uzunluğun (DE) bulunması ve ardından açıortay ile paralelliğin oluşturduğu ikizkenar üçgen sayesinde sol parçanın (DK) bulunup çıkarılmasıyla elde edilir. |DE|=12 ve |DK|=4 olduğundan farkları 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezi ve paralellik özelliğini kullanma
G ağırlık merkezi olduğundan kenarortayı 2:1 oranında böler. DE // BC olduğundan Temel Benzerlik Teoremi gereği benzerlik oranı 2/3'tür.
Ağırlık merkezi köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıktadır (2k ve k).
2
DE uzunluğunu hesaplama
|DE| / |BC| = 2/3 eşitliğinden, |DE| / 18 = 2/3 => |DE| = 12 cm bulunur.
Benzerlik oranı tabanlara da uygulanır.
3
Paralel doğrular ve açıortay ilişkisini (Z kuralı) inceleme
DE // BC olduğundan Z kuralı gereği m(DKB) = m(KBC). Açıortaydan dolayı m(DBK) = m(KBC) idi. O halde m(DBK) = m(DKB) olur.
İç ters açılar ve açıortay tanımı birleşince ikizkenar üçgen oluşur.
4
DBK üçgeninin ikizkenarlığını kullanma
DBK ikizkenar üçgen olduğundan |DK| = |DB| olur. Ağırlık merkezi oranından (2/3 benzerlik) |AD| = 2/3 |AB| ve |DB| = 1/3 |AB|'dir. |DB| = 12 / 3 = 4 cm. Dolayısıyla |DK| = 4 cm.
Paralel doğru yan kenarları da aynı oranda (2:1) böler.
5
KE uzunluğunu bulma
|KE| = |DE| - |DK| = 12 - 4 = 8 cm.
Bulunan parçaların farkı istenen sonucu verir.

Anahtar Kavram

Ağırlık merkezi, benzerlik ve açıortay-paralellik ilişkisi (Z kuralı ile gizli ikizkenar üçgen)

İpuçları

1
G ağırlık merkezi olduğundan, tepeden inen kenarortayı 2:1 oranında böler. Bu oran, paralel doğrular sayesinde kenarlara da (benzerlik olarak) yansır.
2
Paralel iki doğru arasında bir açıortay varsa (burada BK doğrusu), mutlaka 'Z kuralı'nı arayın. Bu size gizli bir ikizkenar üçgen verecektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer kurguda, açıortayın C köşesinden çizildiği ve arada kalan parçanın sorulduğu bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru