Examkin

Soru

Zorluk: ZorDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bir ABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] ve m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ olarak verilmiştir. [AC][AC] kenarı üzerinde, A köşesine olan uzaklığı [AB][AB] kenarının uzunluğuna eşit olan bir D noktası işaretleniyor.

∣BD∣=62|BD| = 6\sqrt{2} cm olduğuna göre, ∣DC∣|DC| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    6
  2. 63−66\sqrt{3} - 6Cevap
  3. C
    636\sqrt{3}
  4. D
    63+66\sqrt{3} + 6
  5. E
    12

Cevap

İstenen |DC| uzunluğu 63−66\sqrt{3} - 6 cm'dir.
Soruda verilen kurgu, bir 30-60-90 üçgeni (ABC) ile bir ikizkenar dik üçgenin (ABD) birleşimini içermektedir. Öncelikle ∣BD∣|BD| hipotenüsü verilen ikizkenar dik üçgenden dik kenarlar (∣AB∣=∣AD∣=6|AB|=|AD|=6) bulunur. Daha sonra büyük üçgenin 30-60-90 özelliği kullanılarak ∣AC∣=63|AC|=6\sqrt{3} elde edilir. Son olarak ∣DC∣|DC|, toplam uzunluktan ∣AD∣|AD| çıkarılarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABD üçgeninin açılarını ve türünü belirle.
A açısı 90∘90^\circ ve ∣AB∣=∣AD∣|AB|=|AD| verildiği için, ABD üçgeni ikizkenar dik üçgendir. Taban açıları 45∘45^\circ'dir.
Soruda verilen diklik ve eşitlik bilgileri üçgenin türünü belirlemek için kullanılır.
2
ABD üçgeninde pisagor bağıntısı veya özel üçgen kuralı ile |AB| uzunluğunu bul.
∣BD∣=∣AB∣2|BD| = |AB|\sqrt{2} olduğundan, 62=∣AB∣2⇒∣AB∣=66\sqrt{2} = |AB|\sqrt{2} \Rightarrow |AB| = 6 cm bulunur. Dolayısıyla ∣AD∣=6|AD| = 6 cm'dir.
45-45-90 üçgeninde hipotenüs, dik kenarın 2\sqrt{2} katıdır.
3
Büyük ABC üçgeninde (30-60-90) |AC| uzunluğunu hesapla.
ABC üçgeninde 30∘30^\circ'nin karşısı (∣AB∣|AB|) 6 cm ise, 60∘60^\circ'nin karşısı (∣AC∣|AC|) bunun 3\sqrt{3} katıdır. ∣AC∣=63|AC| = 6\sqrt{3} cm.
30-60-90 üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısındaki kenar, 30∘30^\circ'nin karşısındakinin 3\sqrt{3} katıdır.
4
|DC| uzunluğunu bulmak için parça-bütün ilişkisini kullan.
∣DC∣=∣AC∣−∣AD∣=63−6|DC| = |AC| - |AD| = 6\sqrt{3} - 6 cm.
D noktası AC üzerinde olduğundan, tüm uzunluktan bilinen parça çıkarılır.

Anahtar Kavram

Özel açılı üçgenler (30-60-90 ve 45-45-90) iç içe kullanıldığında kenar bağıntıları arasındaki geçiş.

İpuçları

1
Şekli çizmeye çalışın: A açısı 90∘90^\circ olan bir dik üçgen ve içinde A köşesinden çıkan, ∣AB∣=∣AD∣|AB|=|AD| olacak şekilde bir D noktası.
2
∣AB∣=∣AD∣|AB|=|AD| ve A açısı dik olduğundan ABD üçgeninin açılarını düşünün. ∣BD∣|BD| uzunluğunu kullanarak ∣AB∣|AB|'yi bulabilirsiniz.
3
ABD bir ikizkenar dik üçgendir (45-45-90). ∣AB∣=6|AB|=6 cm bulunur. Büyük ABC üçgeni ise 30-60-90 üçgenidir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguyu 15-75-90 üçgeni içindeki özelliklerle çözen soruları inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Trigonometri kullanarak: tan⁡(60∘)=∣AC∣∣AB∣=3\tan(60^\circ) = \frac{|AC|}{|AB|} = \sqrt{3} bağıntısından ∣AC∣|AC| bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru