Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] ve AA köşesinden hipotenüse indirilen dikme ayağı HH noktasıdır. Üçgenin dik kenar uzunlukları bb ve cc, hipotenüse ait yüksekliği ise hh ile gösterilmektedir.

16h2=b2+c2 16h^2 = b^2 + c^2

eşitliği sağlandığına göre, bu üçgenin en küçük iç açısının ölçüsü kaç derecedir?
  1. 15Cevap
  2. B
    22,5
  3. C
    30
  4. D
    45
  5. E
    60

Cevap

En küçük iç açı 15 derecedir.
Verilen 16h2=b2+c216h^2 = b^2 + c^2 eşitliğinde Pisagor teoremi gereği b2+c2b^2 + c^2 yerine a2a^2 (hipotenüsün karesi) yazıldığında 16h2=a216h^2 = a^2 elde edilir. Buradan 4h=a4h = a yani h=a/4h = a/4 sonucu çıkar. Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüsün dörtte biri olması durumu, yalnızca 15-75-90 üçgenine özgü bir kuraldır. Dolayısıyla üçgenin dar açıları 15 ve 75 derecedir. En küçük açı 15 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Pisagor bağıntısını hatırla.
b2+c2=a2b^2 + c^2 = a^2 (Burada aa hipotenüs uzunluğudur).
Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
2
Verilen denklemde b2+c2b^2 + c^2 yerine a2a^2 yaz.
16h2=a216h^2 = a^2
Denklemi basitleştirerek yükseklik (hh) ile hipotenüs (aa) arasındaki ilişkiyi bulmak.
3
Her iki tarafın karekökünü al.
4h=a4h = a veya h=a4h = \frac{a}{4}
Uzunluklar pozitif olduğu için doğrudan kök alınabilir.
4
Bu özelliği sağlayan özel üçgeni belirle.
Hipotenüse ait yüksekliği, hipotenüsün 4'te 1'i olan dik üçgen 15-75-90 üçgenidir.
Bu, 15-75-90 üçgeninin ayırt edici özelliğidir (h=14⋅hipotenu¨sh = \frac{1}{4} \cdot \text{hipotenüs}).
5
En küçük açıyı seç.
Açılar 15∘15^\circ ve 75∘75^\circ'dir. En küçüğü 15∘15^\circ'dir.
Soru en küçük iç açıyı sormaktadır.

Anahtar Kavram

Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik (hh) ile hipotenüs (aa) arasında h=a/4h = a/4 bağıntısı varsa, bu üçgen 15-75-90 üçgenidir.

İpuçları

1
Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı (b2+c2b^2 + c^2) size tanıdık bir uzunluğu hatırlatmalı.
2
b2+c2=a2b^2 + c^2 = a^2 (Pisagor) eşitliğini kullanarak verilen denklemde aa (hipotenüs) ve hh (yükseklik) arasında bir ilişki kurun.
3
h=a/4h = a/4 bağıntısını elde ettiğinizde, bu orana sahip olan özel dik üçgeni düşünün.

Daha Fazla Pratik

15-75-90 üçgeninde alan hesaplaması soruları çözerek h=a/4h=a/4 kuralını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Geometrik İspat: Hipotenüse ait kenarortayı (VaV_a) çizin. Muhteşem üçlü gereği Va=a/2V_a = a/2'dir. Oluşan dik üçgende hipotenüs VaV_a, dik kenar hh'dir. Eğer h=a/4h = a/4 ve Va=a/2V_a = a/2 ise, sin⁡(α)=h/Va=1/2\sin(\alpha) = h/V_a = 1/2 olur. Buradan kenarortay ile yükseklik arasındaki açının 60∘60^\circ olduğu bulunur, bu da dar açıların farkının 60∘60^\circ olduğu anlamına gelir (75∘75^\circ ve 15∘15^\circ).
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru