Examkin

Soru

Zorluk: ZorDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olarak verilmiştir. AA köşesinin [BC][BC] hipotenüsüne olan en kısa uzaklığı 6 cm, [BC][BC] kenarının orta noktasına olan uzaklığı ise 12 cm'dir. m(ABC^)>m(ACB^)m(\widehat{ABC}) > m(\widehat{ACB}) olduğuna göre, m(ACB^)m(\widehat{ACB}) kaç derecedir?

  1. 15Cevap
  2. B
    22,5
  3. C
    30
  4. D
    45
  5. E
    75

Cevap

Aranan açı 15 derecedir.
Dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay (∣AD∣|AD|), hipotenüsün ayırdığı parçalara eşittir (∣DC∣|DC|). Bu durum ADCADC üçgeninin ikizkenar olmasını sağlar. Yükseklik üçgeninde (AHDAHD) hipotenüs (1212), dik kenarın (66) iki katı olduğu için tepe açısı (kenarortayın tabanla yaptığı açı) 30∘30^\circ bulunur. İkizkenar ADCADC üçgeninde dış açı 30∘30^\circ ise, taban açısı olan CC açısı 15∘15^\circ olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen uzunlukları tanımlayalım.
AA köşesinden inilen dikme ayağına HH, orta noktaya DD diyelim. ∣AH∣=6|AH| = 6 cm (yükseklik), ∣AD∣=12|AD| = 12 cm (kenarortay) olur.
En kısa uzaklık yüksekliktir; orta noktaya olan uzaklık kenarortaydır.
2
AHDAHD dik üçgeninde açıları inceleyelim.
Hipotenüs ∣AD∣=12|AD|=12 ve dik kenar ∣AH∣=6|AH|=6 olduğu için bu bir 30-60-90 üçgenidir. sin⁡(ADH^)=612=12\sin(\widehat{ADH}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} olduğundan m(ADH^)=30∘m(\widehat{ADH}) = 30^\circ olur.
Bir dik üçgende dik kenar hipotenüsün yarısı ise, o kenarı gören açı 30∘30^\circ dir.
3
Muhteşem üçlü kuralını ve ikizkenar üçgen özelliklerini kullanalım.
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir (∣AD∣=∣DC∣=∣BD∣|AD| = |DC| = |BD|). Dolayısıyla ADCADC üçgeni ikizkenardır.
Muhteşem üçlü kuralı gereği ∣AD∣=∣DC∣|AD| = |DC|.
4
Dış açı kuralı ile CC açısını hesaplayalım.
ADCADC üçgeninde m(DAC^)=m(ACD^)=xm(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ACD}) = x dersek, iki iç açının toplamı komşu olmayan dış açıya (m(ADH^)m(\widehat{ADH})) eşittir. 2x=30∘⇒x=15∘2x = 30^\circ \Rightarrow x = 15^\circ.
Bir üçgende iki iç açının toplamı, kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşittir.

Anahtar Kavram

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü) ve yükseklik ile kenarortay arasındaki açı ilişkisi.

İpuçları

1
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayı çizin. Bu kenarortayın uzunluğu ile ayırdığı parçalar arasındaki ilişkiyi hatırlayın (Muhteşem Üçlü).
2
Oluşan dik üçgende hipotenüs 12 cm, bir dik kenar 6 cm'dir. Bu size hangi özel üçgeni hatırlatıyor?
3
Kenarortayın hipotenüsle yaptığı açı 30∘30^\circ'dir. Kenarortay hipotenüsün yarısına eşit olduğundan oluşan ikizkenar üçgende dış açı kuralını uygulayın.

Alternatif Yöntem

Formül Yöntemi: Bir dik üçgende yükseklik (hh) ile kenarortay (VaV_a) arasındaki açı α=∣B−C∣\alpha = |B - C|'dir. AHDAHD üçgeninde cos⁡(α)=6/12=1/2⇒α=60∘\cos(\alpha) = 6/12 = 1/2 \Rightarrow \alpha = 60^\circ. ∣B−C∣=60∘|B - C| = 60^\circ ve B+C=90∘B + C = 90^\circ. Bu denklem sistemi çözülerek 2C=30∘⇒C=15∘2C = 30^\circ \Rightarrow C = 15^\circ bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru