Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC üçgeninde; AA açısının iç açıortay doğrusu [BC][BC] kenarını DD noktasında, dış açıortay doğrusu ise BCBC kenarını taşıyan doğruyu EE noktasında kesmektedir. ∣AB∣=8|AB| = 8 cm, ∣AC∣=6|AC| = 6 cm ve ∣BC∣=7|BC| = 7 cm olduğuna göre, ∣DE∣|DE| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    14
  2. B
    21
  3. 24Cevap
  4. D
    25
  5. E
    28

Cevap

Doğru cevap 24 cm'dir.
Soruda hem iç hem de dış açıortay teoremlerinin uygulanması gerekmektedir. Öncelikle iç açıortay teoremine göre ABAB ve ACAC kenarlarının oranı (8/6=4/38/6=4/3), BDBD ve DCDC parçalarının oranına eşittir. ∣BC∣=7|BC|=7 cm olduğu için bu oranla ∣DC∣=3|DC|=3 cm bulunur. Daha sonra dış açıortay teoremine göre, dış açıortayın kestiği EE noktası için ∣BE∣/∣CE∣|BE|/|CE| oranı da kenarların oranına (8/68/6) eşittir. Buradan kurulan denklemle ∣CE∣=21|CE|=21 cm bulunur. İstenen ∣DE∣|DE| uzunluğu ise ∣DC∣+∣CE∣|DC| + |CE| toplamından 3+21=243 + 21 = 24 cm olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini uygula
∣BD∣/∣DC∣=∣AB∣/∣AC∣=8/6=4/3|BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 8/6 = 4/3. Toplam ∣BC∣=7|BC|=7 olduğundan, ∣BD∣=4|BD|=4 cm ve ∣DC∣=3|DC|=3 cm bulunur.
Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı diğer kenarların oranına göre böler.
2
Dış açıortay teoremini uygula
∣BE∣/∣CE∣=∣AB∣/∣AC∣=8/6=4/3|BE|/|CE| = |AB|/|AC| = 8/6 = 4/3. ∣CE∣=x|CE|=x denirse, ∣BE∣=7+x|BE|=7+x olur. (7+x)/x=4/3⇒21+3x=4x⇒x=21(7+x)/x = 4/3 \Rightarrow 21+3x=4x \Rightarrow x=21. Yani ∣CE∣=21|CE|=21 cm bulunur.
Dış açıortay teoremi, dış açıortayın kestiği nokta ile köşe noktaları arasındaki uzaklıkların oranını verir.
3
∣DE∣|DE| uzunluğunu hesapla
∣DE∣=∣DC∣+∣CE∣=3+21=24|DE| = |DC| + |CE| = 3 + 21 = 24 cm.
D,C,ED, C, E noktaları doğrusaldır ve DD ile EE arasındaki mesafe bu iki parçanın toplamıdır.

Anahtar Kavram

İç ve Dış Açıortay Teoremleri

İpuçları

1
Önce iç açıortay teoremini kullanarak DD noktasının BCBC kenarını hangi oranda böldüğünü bulunuz.
2
İç açıortay teoremine göre ∣AB∣/∣AC∣=∣BD∣/∣DC∣|AB|/|AC| = |BD|/|DC| eşitliğini kullanın. ∣BD∣+∣DC∣=7|BD|+|DC|=7 olduğunu unutmayın.
3
Dış açıortay teoremi için ∣BE∣/∣CE∣=∣AB∣/∣AC∣|BE|/|CE| = |AB|/|AC| oranını kurun. Burada ∣BE∣=∣BC∣+∣CE∣|BE| = |BC| + |CE| olacaktır.

Daha Fazla Pratik

İç ve dış açıortay doğrularının birbirine dik olduğu (DA⊥AEDA \perp AE) özelliğini kullanan soruları inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru