Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC üçgeninin ağırlık merkezi GG noktasıdır. [AG][AG] doğru parçası [BC][BC] kenarına diktir.

∣AB∣+∣AC∣=34 cm|AB| + |AC| = 34 \text{ cm}
∣BC∣=16 cm|BC| = 16 \text{ cm}

Yukarıdaki verilere göre, ∣AG∣|AG| uzunluğu kaç santimetredir?

  1. A
    5
  2. B
    8
  3. 10Cevap
  4. D
    12
  5. E
    15

Cevap

10 cm
Verilen [AG]⊥[BC][AG] \perp [BC] bilgisi, AA köşesinden inen kenarortayın aynı zamanda yükseklik olduğunu gösterir. Bu durum, üçgenin ikizkenar (∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC|) olması demektir. ∣AB∣+∣AC∣=34|AB|+|AC|=34 ise ∣AB∣=17|AB|=17 cm olur. Taban 1616 cm olduğundan, kenarortay tabanı 88 cm ve 88 cm olarak böler. 8−15−178-15-17 özel dik üçgeninden kenarortayın tamamı 1515 cm bulunur. Ağırlık merkezi kenarortayı 2:12:1 oranında böldüğünden, ∣AG∣=23×15=10|AG| = \frac{2}{3} \times 15 = 10 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezi ve diklik ilişkisini analiz et.
ABCABC üçgeninde AA köşesinden geçen ve ağırlık merkezinden (GG) geçen doğru, kenarortaydır. Bu kenarortay aynı zamanda tabana dik ([AG]⊥[BC][AG] \perp [BC]) olduğundan, bu doğru yüksekliktir. Hem kenarortay hem yükseklik olan doğru parçası, üçgenin ikizkenar olduğunu gösterir (∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|).
Üçgende yardımcı elemanların (yükseklik ve kenarortay) çakışması ikizkenar üçgen özelliğidir.
2
Kenar uzunluklarını belirle.
∣AB∣+∣AC∣=34|AB| + |AC| = 34 ve ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olduğundan, 2∣AB∣=34  ⟹  ∣AB∣=172|AB| = 34 \implies |AB| = 17 cm olur. Kenarortay tabanı iki eş parçaya böler: ∣BH∣=∣HC∣=16/2=8|BH| = |HC| = 16 / 2 = 8 cm.
İkizkenar üçgen özellikleri ve kenarortay tanımı.
3
Kenarortay uzunluğunu Pisagor bağıntısı ile hesapla.
Oluşan dik üçgende (ABHABH), hipotenüs 17, dik kenar 8'dir. Pisagor bağıntısından (8−15−178-15-17 özel üçgeni): Yükseklik (aynı zamanda kenarortay) uzunluğu ∣AH∣=15|AH| = 15 cm bulunur.
Dik üçgende kenar uzunluklarını bulmak için Pisagor teoremi.
4
Ağırlık merkezi özelliğini kullanarak ∣AG∣|AG| uzunluğunu bul.
Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden 2 birim, kenardan 1 birim oranında böler (kk'ya 2k2k). Toplam uzunluk 3k=153k = 15 cm ise k=5k=5 cm olur. ∣AG∣=2k=2×5=10|AG| = 2k = 2 \times 5 = 10 cm.
Ağırlık merkezinin kenarortayı bölme oranı (2:1).

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenarortay aynı zamanda yükseklik ise üçgen ikizkenardır. Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler.

İpuçları

1
Ağırlık merkezi (GG), kenarortayların kesişim noktasıdır. [AG][AG] doğrusunu [BC][BC] kenarına kadar uzattığınızda oluşan doğru parçası bir kenarortaydır.
2
Bir üçgende çizilen kenarortay aynı zamanda tabana dik iniyorsa (yükseklikse), bu üçgenin kenar özellikleri hakkında ne söylenebilir? (İkizkenar üçgeni hatırlayın).
3
Üçgen ikizkenardır ve tabanı ikiye böler (8−88-8). Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı (8−15−178-15-17) ile kenarortayın tamamını bulun. Son olarak ağırlık merkezi kuralını (kk'ya 2k2k) uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, açıortayın aynı zamanda yükseklik olduğu durumları inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Muhteşem üçlü veya alan formülleri bu soruda doğrudan kullanışlı değildir; en pratik yol 8-15-17 özel üçgenini görmektir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru