Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC üçgeninde AA köşesine ait iç açıortay, [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir. ∣BD∣=5|BD| = 5 cm, ∣DC∣=7|DC| = 7 cm ve ABCABC üçgeninin çevresi 4848 cm olduğuna göre, ∣AC∣|AC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    15
  2. B
    18
  3. 21Cevap
  4. D
    24
  5. E
    28

Cevap

İç açıortay teoremi gereği kenarların oranı tabanların oranına eşittir; çevre bağıntısı kullanıldığında ∣AC∣|AC| kenarı 21 cm bulunur.
İç açıortay teoremine göre, üçgenin yan kenarları (∣AB∣|AB| ve ∣AC∣|AC|), açıortayın tabanda ayırdığı parçalarla (∣BD∣|BD| ve ∣DC∣|DC|) orantılıdır. ∣BD∣=5|BD|=5 ve ∣DC∣=7|DC|=7 olduğu için ∣AB∣=5k|AB|=5k, ∣AC∣=7k|AC|=7k alınır. Üçgenin çevresi bu üç kenarın toplamı olduğundan, 5k+7k+(5+7)=485k + 7k + (5+7) = 48 denklemi kurulur. Buradan 12k+12=4812k + 12 = 48 işleminden k=3k=3 bulunur. İstenen kenar ∣AC∣=7k=7×3=21|AC| = 7k = 7 \times 3 = 21 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini uygula.
∣AB∣∣BD∣=∣AC∣∣DC∣  ⟹  ∣AB∣5=∣AC∣7\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|DC|} \implies \frac{|AB|}{5} = \frac{|AC|}{7}. Buradan ∣AB∣=5k|AB| = 5k ve ∣AC∣=7k|AC| = 7k denilebilir.
Üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.
2
[BC][BC] kenarının uzunluğunu hesapla.
∣BC∣=∣BD∣+∣DC∣=5+7=12|BC| = |BD| + |DC| = 5 + 7 = 12 cm.
Taban uzunluğu, açıortayın ayırdığı parçaların toplamıdır.
3
Çevre formülünü kullanarak kk orantı sabitini bul.
Çevre(ABCABC) = ∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=48|AB| + |AC| + |BC| = 48 cm. 5k+7k+12=48  ⟹  12k=36  ⟹  k=35k + 7k + 12 = 48 \implies 12k = 36 \implies k = 3.
Üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.
4
İstenen ∣AC∣|AC| kenarını hesapla.
∣AC∣=7k=7×3=21|AC| = 7k = 7 \times 3 = 21 cm.
∣AC∣|AC| kenarı 7k7k olarak belirlenmişti.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru