Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Yardımcı Elemanlar

Bir ABCABC üçgeninde GG ağırlık merkezi ve [AD][AD] kenarortaydır. BB açısına ait iç açıortay doğrusu, [AG][AG] doğru parçasının orta noktasından geçmektedir. Buna göre, ∣AB∣∣BC∣\frac{|AB|}{|BC|} oranı kaçtır?

  1. A
    12\frac{1}{2}
  2. B
    13\frac{1}{3}
  3. 14\frac{1}{4}Cevap
  4. D
    23\frac{2}{3}
  5. E
    34\frac{3}{4}

Cevap

14\frac{1}{4}
Doğru yanıt olan 14\frac{1}{4} değerine ulaşmak için önce ağırlık merkezinin [AD][AD] kenarortayını ∣AG∣=2∣GD∣|AG|=2|GD| şeklinde böldüğü, ardından [AG][AG]'nin orta noktası MM ile birlikte ∣AM∣=∣MG∣=∣GD∣=k|AM|=|MG|=|GD|=k eşitliğinin sağlandığı görülmelidir. ABDABD üçgeninde [BM][BM] açıortay olduğundan iç açıortay teoremi gereği ∣AB∣/∣BD∣=∣AM∣/∣MD∣=k/2k=1/2|AB|/|BD| = |AM|/|MD| = k/2k = 1/2 olur. ∣BC∣=2∣BD∣|BC|=2|BD| olduğu için ∣AB∣/∣BC∣=1/4|AB|/|BC| = 1/4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezi özelliğini belirleme
∣AG∣=2∣GD∣|AG| = 2|GD|
Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru 2:12:1 oranında böler.
2
AGAG parçasının orta noktasını (MM) kullanma
∣AM∣=∣MG∣=k|AM| = |MG| = k ise ∣GD∣=k|GD| = k olur.
∣AG∣=2k|AG| = 2k olduğunda, orta nokta bu parçayı k,kk, k şeklinde böler. Ağırlık merkezi kuralından ∣GD∣|GD| de kk olur.
3
ABDABD üçgeninde iç açıortay teoremini uygulama
∣AB∣∣BD∣=∣AM∣∣MD∣=k2k=12\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AM|}{|MD|} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}
BB açısının açıortayı [AD][AD] kenarını MM noktasında kestiği için kenarların oranı ayırdığı parçaların oranına eşittir. Burada ∣MD∣=∣MG∣+∣GD∣=2k|MD| = |MG| + |GD| = 2k dır.
4
Kenarortay özelliğini kullanarak nihai oranı bulma
∣AB∣∣BC∣=14\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{1}{4}
∣AD∣|AD| kenarortay olduğundan ∣BC∣=2∣BD∣|BC| = 2|BD| dir. ∣AB∣∣BD∣=12\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{1}{2} ise ∣AB∣2∣BD∣=14\frac{|AB|}{2|BD|} = \frac{1}{4} bulunur.

Anahtar Kavram

Ağırlık merkezi (1:2 oranı) ve iç açıortay teoreminin birlikte kullanımı
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Bu konudan daha fazla soru