Examkin

Soru

Zorluk: ZorDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Şekildeki ABCABC üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olarak verilmiştir. [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası alınmıştır. m(ADC^)=45∘m(\widehat{ADC}) = 45^\circ, ∣BD∣=6|BD| = 6 cm ve ∣DC∣=4|DC| = 4 cm olduğuna göre, ∣AB∣|AB| uzunluğu kaç santimetredir?

  1. A
    4
  2. 252\sqrt{5}Cevap
  3. C
    5
  4. D
    454\sqrt{5}
  5. E
    262\sqrt{6}

Cevap

Doğru cevap 252\sqrt{5} santimetredir.
Soru, bir dik üçgenin hipotenüsüne indirilen dikme (Öklid bağıntısı) ile özel açılı üçgenlerin (45∘45^\circ) özelliklerinin birleştirilmesini gerektirir. AA noktasından dikme indirildiğinde oluşan 45−45−9045-45-90 üçgeni sayesinde yükseklik ve taban parçaları arasında bir ilişki kurulur. Öklid bağıntısı ile yükseklik 44 cm bulunur. Sonrasında Pisagor teoremi ile istenen kenar 252\sqrt{5} cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
AA köşesinden [BC][BC] kenarına bir [AH][AH] dikmesi indirin.
[AH]⊥[BC][AH] \perp [BC] ve H∈[BC]H \in [BC] olur.
Dik üçgende metrik bağıntıları (Öklid) kullanabilmek ve 45∘45^\circ açısını bir dik üçgen içinde değerlendirmek için yükseklik çizilir.
2
Oluşan AHDAHD üçgenini inceleyin.
m(ADH^)=45∘m(\widehat{ADH}) = 45^\circ olduğu için △AHD\triangle AHD ikizkenar dik üçgendir. ∣AH∣=∣HD∣=h|AH| = |HD| = h diyelim.
Bir açısı 45∘45^\circ olan dik üçgen ikizkenardır.
3
[BC][BC] üzerindeki parça uzunluklarını hh cinsinden ifade edin.
∣BH∣=∣BD∣−∣HD∣=6−h|BH| = |BD| - |HD| = 6 - h (Not: Geometrik tutarlılık için HH noktası BB ile DD arasında olmalıdır). ∣HC∣=∣HD∣+∣DC∣=h+4|HC| = |HD| + |DC| = h + 4.
Öklid bağıntısını uygulayabilmek için hipotenüsün ayırdığı parçaların (pp ve kk) uzunlukları belirlenmelidir.
4
Öklid bağıntısını (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) uygulayın.
h2=(6−h)⋅(h+4)⇒h2=6h+24−h2−4h⇒2h2−2h−24=0h^2 = (6 - h) \cdot (h + 4) \Rightarrow h^2 = 6h + 24 - h^2 - 4h \Rightarrow 2h^2 - 2h - 24 = 0.
Dik kenardan hipotenüse indirilen dikmenin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
5
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözün.
h2−h−12=0⇒(h−4)(h+3)=0h^2 - h - 12 = 0 \Rightarrow (h - 4)(h + 3) = 0. Uzunluk negatif olamayacağı için h=4h = 4 cm bulunur.
Yüksekliğin sayısal değerini bulmak için.
6
ABHABH üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak ∣AB∣|AB|'yi bulun.
∣BH∣=6−4=2|BH| = 6 - 4 = 2 cm. ∣AB∣2=∣AH∣2+∣BH∣2=42+22=16+4=20|AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20. ∣AB∣=20=25|AB| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} cm.
Dik kenar uzunluğuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Öklid Bağıntısı ve Özel Üçgenler (45-45-90)

İpuçları

1
45∘45^\circ açısını bir dik üçgenin içine alacak şekilde AA köşesinden bir yardımcı doğru çizmeyi deneyin.
2
AA köşesinden [BC][BC] kenarına indireceğiniz dikme (hh), 45∘45^\circ'lik açı sayesinde tabanda ayırdığı bir parçaya eşit olacaktır (h=p′h = p').
3
İndirdiğiniz dikmenin ayağına HH deyin. ∣AH∣=∣HD∣=h|AH| = |HD| = h olacaktır. Öklid bağıntısını (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) kullanarak hh değerini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 30∘30^\circ veya 60∘60^\circ açıları kullanarak ve 15−75−9015-75-90 üçgeni özelliği (h=4ah = 4a) ekleyerek çözün.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi ile △ABD\triangle ABD veya △ADC\triangle ADC de kullanılabilir, ancak Öklid yöntemi bu soru için daha pratiktir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru