Examkin

Soru

Zorluk: ZorDik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bir ABC üçgeninde m(ABC^)=135∘m(\widehat{ABC}) = 135^\circ, ∣AB∣=72|AB| = 7\sqrt{2} cm ve ∣BC∣=17|BC| = 17 cm olarak verilmiştir. Buna göre, ∣AC∣|AC| uzunluğu kaç santimetredir?

  1. A
    13213\sqrt{2}
  2. B
    20
  3. C
    24
  4. 25Cevap
  5. E
    26

Cevap

Doğru cevap 25 santimetredir.
Soruda verilen 135∘135^\circ geniş açısı, bütünleri olan 45∘45^\circ'yi kullanmamız gerektiğini işaret eder. BC kenarı uzatılıp dışarıdan dikme indirildiğinde, hem bir 45−45−9045-45-90 ikizkenar dik üçgeni hem de kenarları tam sayı olan 7−24−257-24-25 özel dik üçgeni elde edilir. Bu yöntemle hipotenüs uzunluğu hatasız hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
BC kenarını B yönünde doğrusal olarak uzatıp, A köşesinden bu uzantıya bir dikme ininiz.
Oluşan dikmenin ayağına H noktası diyelim. m(ABC^)=135∘m(\widehat{ABC}) = 135^\circ olduğu için dış açı m(ABH^)=180∘−135∘=45∘m(\widehat{ABH}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ olur.
Geniş açılı üçgenlerde özel açıyı (45∘45^\circ) kullanabilmek için dış bölgede dik üçgen oluşturulur.
2
Oluşan ABH dik üçgeninde kenar uzunluklarını hesaplayınız.
ABH üçgeni 45∘−45∘−90∘45^\circ-45^\circ-90^\circ üçgenidir. Hipotenüs ∣AB∣=72|AB| = 7\sqrt{2} cm olduğundan, dik kenarlar ∣AH∣=7|AH| = 7 cm ve ∣HB∣=7|HB| = 7 cm olur.
45−45−9045-45-90 üçgeninde dik kenarlar hipotenüsün 12\frac{1}{\sqrt{2}} katıdır.
3
Büyük AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak |AC| uzunluğunu bulunuz.
AHC üçgeninin dik kenarları: ∣AH∣=7|AH| = 7 cm ve ∣HC∣=∣HB∣+∣BC∣=7+17=24|HC| = |HB| + |BC| = 7 + 17 = 24 cm'dir. Bu 7−24−257-24-25 özel dik üçgenidir, dolayısıyla ∣AC∣=25|AC| = 25 cm bulunur.
Dik kenarları 7 ve 24 olan dik üçgenin hipotenüsü 25'tir (72+242=2527^2 + 24^2 = 25^2).

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde dış açıdan yararlanarak özel dik üçgen (45-45-90) oluşturma ve 7-24-25 özel üçgeni.

İpuçları

1
135∘135^\circ geniş bir açıdır. Bu açının bütünleri olan 45∘45^\circ'yi kullanabileceğiniz bir dik üçgen oluşturmayı deneyin.
2
BC kenarını sol tarafa (B yönüne) doğru uzatın ve A köşesinden bu uzantıya bir dikme indirin.

Alternatif Yöntem

Kosinüs Teoremi kullanılarak da çözülebilir: ∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2∣AB∣∣BC∣cos⁡(135∘)|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(135^\circ). Ancak bu yöntem işlem hatasına daha açıktır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Özel Açılı Üçgenler

Bu konudan daha fazla soru