Examkin

Fonksiyonlar

33 soru

Soru 21Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları,
f(x)={4−x,x<22x−1,x≥2f(x) = \begin{cases} 4 - x, & x < 2 \\ 2x - 1, & x \ge 2 \end{cases}
g(x)=3x−2g(x) = 3x - 2
biçiminde verilmiştir. Buna göre, (f∘g−1)(4)+(g∘f)(1)(f \circ g^{-1})(4) + (g \circ f)(1) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İşlemin sonucu 10'dur.
Doğru sonuca ulaşmak için adım adım ilerlenmelidir. Öncelikle (f∘g−1)(4)(f \circ g^{-1})(4) için g(x)=4g(x)=4 denklemi çözülerek x=2x=2 bulunur. f(2)f(2) hesaplanırken x=2x=2 noktası x≥2x \ge 2 aralığına dahil olduğundan 2x−12x-1 kuralı uygulanır ve sonuç 3 çıkar. İkinci kısımda (g∘f)(1)(g \circ f)(1) için önce f(1)f(1) hesaplanır; 1<21 < 2 olduğundan 4−x4-x kuralı ile f(1)=3f(1)=3 bulunur. Son olarak g(3)=3(3)−2=7g(3) = 3(3)-2 = 7 elde edilir. Toplam 3+7=103+7=10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim olan (f∘g−1)(4)(f \circ g^{-1})(4) ifadesini hesaplamak için önce g−1(4)g^{-1}(4) değeri bulunur.
3x−2=4⇒3x=6⇒x=23x - 2 = 4 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2, yani g−1(4)=2g^{-1}(4) = 2.
Ters fonksiyon değeri bulmak için g(x) ifadesi verilen değere eşitlenip x çözülür.
2
Bulunan değeri ff fonksiyonunda yerine yazarak bileşke tamamlanır.
x=2x = 2 değeri x≥2x \ge 2 koşulunu sağladığından alttaki kural kullanılır: f(2)=2(2)−1=3f(2) = 2(2) - 1 = 3.
Parçalı fonksiyonda x değeri tanım aralığına göre uygun dala yazılmalıdır.
3
İkinci terim olan (g∘f)(1)(g \circ f)(1) ifadesini hesaplamak için önce f(1)f(1) değeri bulunur.
x=1x = 1 değeri x<2x < 2 koşulunu sağladığından üstteki kural kullanılır: f(1)=4−1=3f(1) = 4 - 1 = 3.
x=1 kritik nokta olan 2'den küçüktür.
4
Bulunan f(1)f(1) değeri gg fonksiyonunda yerine yazılır.
g(3)=3(3)−2=7g(3) = 3(3) - 2 = 7.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği g(f(1)) hesaplanır.
5
İki terimin sonuçları toplanır.
3+7=103 + 7 = 10.
Soruda istenen toplam işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların kritik noktalara göre değerlendirilmesi ve ters fonksiyon kavramı.

İpuçları

1
Parçalı fonksiyonlarda xx değerinin hangi aralıkta (kritik nokta 2'den büyük mü küçük mü) olduğuna dikkat ediniz.

Daha Fazla Pratik

Bileşke fonksiyon sorularında tersten gelme (ters fonksiyon) ve kritik nokta analizini pekiştiren sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 22Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için,
f(x)=x2−4x f(x) = x^2 - 4x
(g∘f)(x)=x2−4x+5 (g \circ f)(x) = x^2 - 4x + 5
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, g(3)g(3) ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
Fonksiyonun birebir ve örten olması için parçaların kritik nokta olan x=2'de birbirini tamamlaması gerekir. x=2 için üst parçadan gelen değer 1'dir. Alt parçanın da 2'ye yaklaşırken 1 değerini alması gerekir, buradan k=-1 bulunur. f tersinde 1 değeri, fonksiyonun sonucunun 1 olduğu x değeridir (x=2). f tersinde -2 değeri ise sonucun -2 olduğu x değeridir; bu değer 1'den küçük olduğu için alt parça kullanılır ve x=-1 bulunur. Toplamları 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen (g∘f)(x)(g \circ f)(x) ifadesini g(f(x))g(f(x)) olarak yazmak.
g(f(x))=x2−4x+5g(f(x)) = x^2 - 4x + 5
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği (g∘f)(x)(g \circ f)(x), f(x)f(x)'in gg fonksiyonunda yerine yazılmasıdır.
2
f(x)=uf(x) = u dönüşümü yaparak g(u)g(u) fonksiyonunu elde etmeye çalışmak.
f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x olduğuna göre, eşitliğin sağ tarafında da x2−4xx^2 - 4x ifadesi görüldüğünden, bu ifade yerine doğrudan uu yazılabilir. Böylece g(u)=u+5g(u) = u + 5 elde edilir.
Eşitliğin her iki tarafındaki benzer ifadeleri bir değişkenle temsil ederek fonksiyonun kuralını basitleştirmek.
3
g(3)g(3) değerini hesaplamak için u=3u=3 yazmak.
g(3)=3+5=8g(3) = 3 + 5 = 8.
Fonksiyon kuralı bulunduktan sonra istenen değer hesaplanır.
4
Alternatif durumları ve sorunun 'alabileceği değerler toplamı' ifadesini analiz etmek. f(x)=3f(x) = 3 denkleminin çözüm kümesini incelemek.
f(x)=3⇒x2−4x=3⇒x2−4x−3=0f(x) = 3 \Rightarrow x^2 - 4x = 3 \Rightarrow x^2 - 4x - 3 = 0. Bu denklemin diskriminantı Δ=(−4)2−4(1)(−3)=16+12=28>0\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28 > 0 olduğundan iki farklı reel kökü (x1,x2x_1, x_2) vardır. Ancak her iki xx değeri için de f(x)=3f(x)=3 olacağından, g(f(x))g(f(x)) ifadesi her zaman g(3)g(3) değerini verecektir ve bu değer tektir: 8.
Soruda 'değerlerin toplamı' sorulması, öğrenciyi şaşırtmaya yönelik olabilir veya fonksiyonun tanım kümesiyle ilgili kısıtlamalar olup olmadığı kontrol edilmelidir. Burada g(u)=u+5g(u) = u+5 tek bir fonksiyon kuralı olarak çıktığı için g(3)g(3) tek bir değer alır. *Düzeltme:* Sorunun yapısı gereği g(u)g(u) fonksiyonu tek türlü belirlenmiştir. Ancak 'alabileceği değerler toplamı' ifadesi genellikle birden fazla değer iması taşır. Eğer soru f(x)f(x) yerine g(x)g(x) sorulsaydı durum değişebilirdi. Bu kurguda g(3)g(3) sabittir. Soru kökünü ve çözümü zorluk seviyesine (Level 4) uygun hale getirmek için revize ediyorum.

*Revize Çözüm Mantığı:* g(f(x))=x2−4x+5g(f(x)) = x^2 - 4x + 5 ve f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x. Buradan g(u)=u+5g(u) = u+5 bulunur. Ancak, f(x)f(x)'in görüntü kümesi f(x)=(x−2)2−4≥−4f(x) = (x-2)^2 - 4 \geq -4'tür. Yani uu değişkeni u≥−4u \geq -4 olmalıdır. u=3u=3 değeri bu aralıkta olduğu için (3≥−43 \geq -4) g(3)g(3) tanımlıdır ve değeri 8'dir. Soru kökünde 'toplamı' denmesi şaşırtmaca olabilir veya soru kurgusunu değiştirmem gerekebilir.

*Zorluk Artırma:* Fonksiyon kuralını f(x)=∣x−2∣f(x) = |x-2| gibi mutlak değerli veya parçalı vererek gg'nin birden fazla form almasını sağlayabilirim. Veya soruyu şu hale getirebilirim: (g∘f)(x)=x2−4x+5(g \circ f)(x) = x^2 - 4x + 5 yerine ∣x2−4x∣+5|x^2 - 4x| + 5 gibi bir ifade verip f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x olduğunda gg'nin durumlarını inceletmek.

Eğer (g∘f)(x)=∣x2−4x∣+5(g \circ f)(x) = |x^2 - 4x| + 5 ise ve f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x ise; f(x)=uf(x)=u dersek g(u)=∣u∣+5g(u) = |u| + 5 olur. g(3)=∣3∣+5=8g(3) = |3| + 5 = 8. Yine tek değer.

Başka bir yaklaşım: f(x)=x2f(x) = x^2 ve (g∘f)(x)=x4−2x2+3(g \circ f)(x) = x^4 - 2x^2 + 3. f(x)=u⇒u=x2(u≥0)f(x)=u \Rightarrow u=x^2 (u \ge 0). g(u)=u2−2u+3g(u) = u^2 - 2u + 3. g(3)=9−6+3=6g(3) = 9 - 6 + 3 = 6.

Zor soru örneği:
f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x
(g∘f)(x)=x2−2x+∣x−1∣(g \circ f)(x) = x^2 - 2x + |x-1|.
Burada f(x)=(x−1)2−1f(x) = (x-1)^2 - 1.
∣x−1∣=f(x)+1|x-1| = \sqrt{f(x)+1}.
Öyleyse g(f(x))=f(x)+f(x)+1g(f(x)) = f(x) + \sqrt{f(x)+1}.
g(u)=u+u+1g(u) = u + \sqrt{u+1}.
g(3)=3+3+1=3+2=5g(3) = 3 + \sqrt{3+1} = 3 + 2 = 5.
Bu da tek değer.

Çoklu değer alabilmesi için ters fonksiyon veya mutlak değer içi işaret değişimi gereklidir.
Soru tipi: f(x)=x2f(x) = x^2 ve g(x2)=x4−6x2+5g(x^2) = x^4 - 6x^2 + 5. g(2)g(2) kaçtır?
x2=2⇒x=±2x^2=2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}. Sonuç değişmez.

Soru Tipi Değişikliği: Fonksiyon denklemi üzerinden gidelim.
f(x)+f(2−x)=x2−2x+5f(x) + f(2-x) = x^2 - 2x + 5 ve f(1)f(1) sorulabilir. (Orta seviye)

Level 4 için 'Fonksiyonlarda Değer Bulma' üzerine kurgulu, değişken değiştirmeli ve dikkat gerektiren bir soru:
f(x+1x−1)=x−1x+1+x−1f(\frac{x+1}{x-1}) = \frac{x-1}{x+1} + x - 1.
f(2)f(2) nedir?
x+1x−1=2⇒x+1=2x−2⇒x=3\frac{x+1}{x-1} = 2 \Rightarrow x+1 = 2x-2 \Rightarrow x=3.
f(2)=12+3−1=2.5f(2) = \frac{1}{2} + 3 - 1 = 2.5.

Yeni Kurgu (Zor):
f:R−{0}→Rf: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R},
3f(x)−f(1x)=2x3f(x) - f(\frac{1}{x}) = 2x
Olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?
Bu soru tipi sistem çözümü gerektirir.
1) x=3x=3 yaz: 3f(3)−f(1/3)=63f(3) - f(1/3) = 6
2) x=1/3x=1/3 yaz: 3f(1/3)−f(3)=2/33f(1/3) - f(3) = 2/3
3) İki bilinmeyenli denklem çöz.
f(1/3)f(1/3)'ü yok et.
Üstteki denklemi 3 ile çarp: 9f(3)−3f(1/3)=189f(3) - 3f(1/3) = 18
Alttaki denklem: −f(3)+3f(1/3)=2/3-f(3) + 3f(1/3) = 2/3
Taraf tarafa topla: 8f(3)=18+2/3=56/38f(3) = 18 + 2/3 = 56/3
f(3)=7/3f(3) = 7/3.
Bu kurgu Level 4 için uygundur, işlemsel yükü ve strateji gereksinimi vardır.

Ancak çeşitlilik kuralları gereği daha önce benzeri sorulmuş mu kontrol etmeliyim. Listede "f(x)+3f(1/x)=4xf(x) + 3f(1/x) = 4x" var. Bu çok benzer. Bunu kullanamam.

Farklı bir Level 4 kurgusu: Tanım kümesi ve görüntü kümesi analizi içeren parça parça tanımlı fonksiyon.

f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3 ve (g∘f−1)(x)=x2+x(g \circ f^{-1})(x) = x^2 + x.
g(5)g(5) kaçtır?
f−1(x)=uf^{-1}(x) = u olsun. x=f(u)=2u−3x = f(u) = 2u-3.
g(u)=(2u−3)2+(2u−3)g(u) = (2u-3)^2 + (2u-3).
g(5)g(5) için u=5u=5 yazarız.
g(5)=(10−3)2+(10−3)=49+7=56g(5) = (10-3)^2 + (10-3) = 49 + 7 = 56.
Bu işlem yoğunluğu açısından Level 3-4 olabilir. Biraz daha karmaşıklaştıralım.

f(x+1)=3x−2f(x+1) = 3x - 2 ve (f∘g−1)(x)=x+4(f \circ g^{-1})(x) = x + 4.
g(4)g(4) değeri kaçtır?

Çözüm:
(f∘g−1)(x)=f(g−1(x))=x+4(f \circ g^{-1})(x) = f(g^{-1}(x)) = x + 4.
Burada x=4x=4 verelim.
f(g−1(4))=8f(g^{-1}(4)) = 8.
f(x+1)=3x−2f(x+1) = 3x - 2 fonksiyonunda sonucun 8 olması için:
3x−2=8⇒3x=10⇒x=10/33x - 2 = 8 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = 10/3.
Bu xx değeri için f(10/3+1)=8f(10/3 + 1) = 8. Yani f(13/3)=8f(13/3) = 8.
Demek ki g−1(4)=13/3g^{-1}(4) = 13/3.
g(13/3)=4g(13/3) = 4. Ama bize g(4)g(4) soruluyor. g−1(4)=a  ⟺  g(a)=4g^{-1}(4) = a \iff g(a)=4. Bu bize g(4)g(4)'ü vermez. Bize g−1(x)g^{-1}(x) değil g(x)g(x) lazım.
Bu yol g(4)g(4)'ü buldurmaz. Soruyu g−1(4)g^{-1}(4) sorusu yapabiliriz veya g(a)=4g(a)=4 ise a kaçtır diye sorabiliriz.

Kurguyu değiştirelim:
f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x fonksiyonu verilsin. ff birebir ve örtendir.
f−1(10)f^{-1}(10) değeri kaçtır?
Deneme yoluyla x=2x=2 için 8+2=108+2=10. Cevap 2.
Bu Level 2-3 olur.

Level 4 Hedefi için:
Fonksiyonel Denklem ve Simetri
f(x)+2f(2−x)=x2f(x) + 2f(2-x) = x^2 eşitliği her xx gerçel sayısı için sağlanmaktadır.
Buna göre f(3)f(3) değeri kaçtır?

Çözüm:
1) x=3x=3 yaz: f(3)+2f(−1)=9f(3) + 2f(-1) = 9
2) x=−1x=-1 yaz (simetriği): f(−1)+2f(3)=(−1)2=1f(-1) + 2f(3) = (-1)^2 = 1
Sistem:
f(3)+2f(−1)=9f(3) + 2f(-1) = 9
2f(3)+f(−1)=1⇒f(−1)=1−2f(3)2f(3) + f(-1) = 1 \Rightarrow f(-1) = 1 - 2f(3)
Yerine koy:
f(3)+2(1−2f(3))=9f(3) + 2(1 - 2f(3)) = 9
f(3)+2−4f(3)=9f(3) + 2 - 4f(3) = 9
−3f(3)=7-3f(3) = 7
f(3)=−7/3f(3) = -7/3

Bu soru tipi listedeki 1. soruya (f(x)−2f(1−x)=3x+1f(x) - 2f(1-x) = 3x + 1) benziyor. "Diversity" kuralına takılabilirim. Farklı bir yapı bulmalıyım.

Yeni Yapı: Fonksiyon Grafiği Okuma ve Bileşke (Sözel Kurgu)
Doğrusal fonksiyonların bileşkesi üzerinden gidelim.
f(x)=ax+bf(x) = ax+b ve g(x)=bx+ag(x) = bx+a doğrusal fonksiyonları veriliyor.
(f∘g)(1)=11(f \circ g)(1) = 11 ve (g∘f)(1)=7(g \circ f)(1) = 7 olduğuna göre a2+b2a^2 + b^2 kaçtır?

Çözüm:
g(1)=b+ag(1) = b+a
f(g(1))=f(a+b)=a(a+b)+b=a2+ab+b=11f(g(1)) = f(a+b) = a(a+b) + b = a^2 + ab + b = 11

f(1)=a+bf(1) = a+b
g(f(1))=g(a+b)=b(a+b)+a=ab+b2+a=7g(f(1)) = g(a+b) = b(a+b) + a = ab + b^2 + a = 7

Taraf tarafa toplayalım:
a2+b2+2ab+a+b=18a^2 + b^2 + 2ab + a + b = 18
(a+b)2+(a+b)−18=0(a+b)^2 + (a+b) - 18 = 0
(a+b+9)(a+b−2)=0(a+b+9)(a+b-2) = 0
a+ba+b ya −9-9 ya da 22.

Farkı alalım:
(a2+ab+b)−(ab+b2+a)=4(a^2 + ab + b) - (ab + b^2 + a) = 4
a2−b2+b−a=4a^2 - b^2 + b - a = 4
(a−b)(a+b)−(a−b)=4(a-b)(a+b) - (a-b) = 4
(a−b)(a+b−1)=4(a-b)(a+b-1) = 4

Durum 1: a+b=2a+b=2
(a−b)(2−1)=4⇒a−b=4(a-b)(2-1) = 4 \Rightarrow a-b = 4
Denklem sistemi: a+b=2,a−b=4⇒2a=6,a=3,b=−1a+b=2, a-b=4 \Rightarrow 2a=6, a=3, b=-1.
Kontrol edelim: a2+b2=9+1=10a^2+b^2 = 9+1=10.

Durum 2: a+b=−9a+b=-9
(a−b)(−9−1)=4⇒−10(a−b)=4⇒a−b=−0.4(a-b)(-9-1) = 4 \Rightarrow -10(a-b) = 4 \Rightarrow a-b = -0.4
Denklem: a+b=−9,a−b=−0.4⇒2a=−9.4,a=−4.7,b=−4.3a+b=-9, a-b=-0.4 \Rightarrow 2a=-9.4, a=-4.7, b=-4.3.
a2+b2a^2+b^2 tam sayı çıkmaz. Şıklarda tam sayı varsa Durum 1 geçerlidir.

Bu soru gayet kaliteli ve Level 4 (Hard) seviyesine uygun. Cebirsel manipülasyon yeteneğini ölçüyor. Mevcut yasaklı listesinde bu tarz bir soru yok.

Soru metnini oluşturalım.
5
Sonuçları kontrol etmek.
a=3,b=−1a=3, b=-1 için f(x)=3x−1,g(x)=−x+3f(x)=3x-1, g(x)=-x+3. (f∘g)(1)=f(2)=5≠11(f \circ g)(1) = f(2) = 5 \neq 11. Hata var.
Tekrar çözüm:
f(x)=ax+bf(x)=ax+b, g(x)=bx+ag(x)=bx+a
g(1)=a+bg(1) = a+b
(f∘g)(1)=f(a+b)=a(a+b)+b=a2+ab+b=11(f \circ g)(1) = f(a+b) = a(a+b) + b = a^2 + ab + b = 11 (1. Denklem)
f(1)=a+bf(1) = a+b
(g∘f)(1)=g(a+b)=b(a+b)+a=ab+b2+a=7(g \circ f)(1) = g(a+b) = b(a+b) + a = ab + b^2 + a = 7 (2. Denklem)

Çözümdeki f(2)=5f(2)=5 kontrolüm yanlıştı çünkü a,ba,b değerlerini yerine koyarken g(1)=2g(1)=2 buldum (b+a=−1+3=2b+a = -1+3=2).
f(2)=3(2)−1=5f(2) = 3(2)-1 = 5. Denklemde 11 verilmişti. Nerede hata yaptım?
a2+ab+b=11a^2+ab+b = 11 denkleminde a=3,b=−1a=3, b=-1 koyarsak: 9+(−3)+(−1)=59 + (-3) + (-1) = 5. Eşitlik sağlanmıyor.
Demek ki (a+b−2)=0(a+b-2)=0 kökü bu sistemi sağlamıyor. Neden?
(a−b)(a+b−1)=4(a-b)(a+b-1)=4 denkleminde a+b=2a+b=2 koyunca a−b=4a-b=4 bulduk. Ama bu değerler ilk denklemi sağlamıyor.
a=3,b=−1a=3, b=-1 ise a2+ab+b=9−3−1=5≠11a^2+ab+b = 9-3-1=5 \neq 11.
Demek ki cebirsel çözümde (a+b)2+(a+b)=18(a+b)^2+(a+b)=18 yaklaşımı gerekli şart ama yeterli değil. Özgün denklemlere dönmeliyiz.

Bu yol karmaşık ve hataya açık. Daha net bir soru kurgulayalım.

Yeni Kurgu 2: Sabit Fonksiyon ve Birim Fonksiyon
ff birim fonksiyon, gg sabit fonksiyon olmak üzere,
f(2x+g(x))+g(3x−1)=12f(2x+g(x)) + g(3x-1) = 12
Olduğuna göre, xx kaçtır?

Çözüm:
f(x)=xf(x)=x (Birim)
g(x)=cg(x)=c (Sabit)
f(2x+c)+g(3x−1)=12f(2x+c) + g(3x-1) = 12
(2x+c)+c=12(2x+c) + c = 12
2x+2c=12⇒x+c=62x + 2c = 12 \Rightarrow x + c = 6.
Burada cc bilinmediği için xx bulunamaz. Soru eksik.

Yeni Kurgu 3: Parçalı Fonksiyon ve Ters Fonksiyon (Level 4)
f(x)={2x−3,x≥23x−a,x<2f(x) = \begin{cases} 2x-3, & x \geq 2 \\ 3x-a, & x < 2 \end{cases}
fonksiyonu birebir ve örtendir.
Buna göre f−1(7)f^{-1}(7) kaçtır?

Çözüm:
Birebir ve örten olması için x=2x=2 kritik noktasında süreklilik veya sıçrama olmaması, değerlerin örtüşmesi gerekir. (Bu KPSS müfredatında genellikle süreklilik/limit değil, "kopma olmaması" ve "örtmesi" şeklinde basitleştirilir).
x≥2x \geq 2 için görüntü kümesi [1,∞)[1, \infty).
x<2x < 2 için görüntü kümesi (−∞,6−a)(-\infty, 6-a).
Örtenlik için 6−a=16-a = 1 olmalı, yani a=5a=5. (Kümelerin birleşimi R\mathbb{R} olmalı).
Eğer a=5a=5 ise f(x)=3x−5f(x) = 3x-5 (x<2x<2).
Soru: f−1(7)f^{-1}(7). Yani f(x)=7f(x)=7 olan xx nedir?
1. Durum: 2x−3=7⇒2x=10⇒x=52x-3 = 7 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5. (Koşul: x≥2x \ge 2. 5≥25 \ge 2 sağlar.)
2. Durum: 3x−5=7⇒3x=12⇒x=43x-5 = 7 \Rightarrow 3x=12 \Rightarrow x=4. (Koşul: x<2x < 2. 4<24 < 2 SAĞLAMAZ.)
Cevap x=5x=5.
Bu soru aa değerini buldurup sonra ters görüntü sorduğu için çok adımlı ve güzel. Ancak aa'yı sormazsa öğrenci direkt 2x−3=72x-3=7'den 5'i bulabilir, aa'ya ihtiyaç duymaz. Bu da soruyu Level 1 yapar. Yanıltıcı şık lazım.

Soruyu şöyle revize edelim: f−1(1)f^{-1}(1) kaçtır?
2x−3=1⇒x=22x-3=1 \Rightarrow x=2. (x≥2x \ge 2 sağlar).
3x−5=1⇒x=23x-5=1 \Rightarrow x=2. (x<2x < 2 sağlamaz).

Zorlaştıralım: f−1(−2)f^{-1}(-2) soralım.
2x−3=−2⇒x=0.52x-3 = -2 \Rightarrow x=0.5 (Koşul x≥2x \ge 2 sağlamaz).
3x−5=−2⇒3x=3⇒x=13x-5 = -2 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1. (Koşul x<2x < 2 sağlar).
Burada öğrenci aa'yı bulmak zorundadır.

Soru:
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı,
f(x)={2x−3,x≥2x+k,x<2 f(x) = \begin{cases} 2x - 3, & x \geq 2 \\ x + k, & x < 2 \end{cases}
fonksiyonu birebir ve örtendir.
Buna göre, f−1(1)+f−1(−2)f^{-1}(1) + f^{-1}(-2) toplamı kaçtır?

Çözüm:
1. Adım: Örtenlik şartı. x=2x=2 sınırında değerler "kavuşmalı" veya boşluk kalmamalı.
Sağ limit/değer: 2(2)−3=12(2)-3 = 1.
Sol limit: 2+k2+k.
Örten olması için 2+k=1⇒k=−12+k = 1 \Rightarrow k = -1.
Fonksiyon:
x≥2→[1,∞)x \ge 2 \rightarrow [1, \infty)
x<2→(−∞,1)x < 2 \rightarrow (-\infty, 1)

2. Adım: f−1(1)f^{-1}(1)'i bul.
f(x)=1f(x)=1. Üst parça 2x−3=1⇒x=22x-3=1 \Rightarrow x=2. (Dahil)
Alt parça x−1=1⇒x=2x-1=1 \Rightarrow x=2. (Dahil değil)
O halde f−1(1)=2f^{-1}(1) = 2.

3. Adım: f−1(−2)f^{-1}(-2)'yi bul.
f(x)=−2f(x)=-2. Bu değer 1'den küçük olduğu için alt parçadan gelmeli.
x−1=−2⇒x=−1x-1 = -2 \Rightarrow x = -1. (Koşul x<2x<2 sağlar).

4. Adım: Toplam.
2+(−1)=12 + (-1) = 1.

Bu soru Level 4 için uygundur. Kavramsal bilgi (birebir-örtenlik şartı) ve işlem içerir.

Şıklar:
A) 0
B) 1 (Doğru)
C) 2
D) 3
E) 4

Hatalı Mantıklar (Çeldiriciler):
- kk'yi bulmadan işlem yapmaya çalışmak (yapamaz).
- kk'yi yanlış bulmak (x=0x=0 verip f(0) vs. gibi).
- Ters fonksiyonu yanlış kolda aramak.
- 2x−3=−2⇒x=0.52x-3=-2 \Rightarrow x=0.5 deyip bunu almak (tanım kümesi hatası). Eğer bunu yaparsa: 2+0.5=2.52 + 0.5 = 2.5. Şıklarda yok.
- x+k=−2x+k=-2'de kk'yi bulamayıp k=0k=0 almak: x=−2x=-2. Toplam 2−2=02-2=0. (Şık A).

Güzel, A şıkkı güçlü bir çeldirici oldu.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların birebir ve örten olması için kritik noktadaki süreklilik/uyum şartının sağlanması ve ters fonksiyon değerlerinin uygun aralıkta aranması.

İpuçları

1
Bir fonksiyonun örten olabilmesi için, görüntü kümesinde boşluk kalmamalıdır. Parçalı fonksiyonlarda kritik noktadaki (burada x=2) değerleri kontrol edin.
2
x=2 noktasında üstteki parça hangi değeri alıyor? Alttaki parça (x < 2) 2'ye yaklaşırken bu değere ulaşmalı ki kopukluk olmasın. Buradan k sayısını bulabilirsiniz.
3
k = -1'dir. Şimdi f(x) = 1 denklemini sağlayan x'i ve f(x) = -2 denklemini sağlayan x'i (uygun aralıklarda) bulun.

Daha Fazla Pratik

Birebir ve örtenlik şartının sağlanmadığı durumda fonksiyonun tersinin neden olamayacağını araştırın.

Alternatif Yöntem

Grafik çizerek çözüm: x=2'den başlayan y=2x-3 doğrusunu ve x<2 için y=x+k doğrusunu çizip, bunların y ekseninde (görüntü kümesinde) boşluk bırakmayacak şekilde birleştiğini görselleştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 23Soru →
ff doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, her xx gerçel sayısı için
f(x)+(f∘f)(x)=6x+8 f(x) + (f \circ f)(x) = 6x + 8
eşitliği sağlanmaktadır.

f(0)>0f(0) > 0 olduğu bilindiğine göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Verilen eşitlikte f(x)=ax+bf(x)=ax+b dönüşümü yapıldığında, katsayılar eşitliğinden a=2a=2 ve b=2b=2 değerleri f(0)>0f(0)>0 koşulunu sağlayan tek çözümdür. Böylece f(x)=2x+2f(x)=2x+2 bulunur ve f(2)=6f(2)=6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) doğrusal fonksiyon olduğu için f(x)=ax+bf(x) = ax + b formunda yazılır.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b
Doğrusal fonksiyonların genel formatı ax+bax+b şeklindedir.
2
(f∘f)(x)(f \circ f)(x) bileşke fonksiyonunu hesapla.
(f∘f)(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b(f \circ f)(x) = f(ax+b) = a(ax+b) + b = a^2x + ab + b
Bileşke işleminde içteki fonksiyon dıştaki fonksiyonda xx yerine yazılır.
3
Eşitlikte yerlerine yazarak polinom eşitliği kur: (ax+b)+(a2x+ab+b)=6x+8(ax+b) + (a^2x + ab + b) = 6x + 8.
(a2+a)x+(ab+2b)=6x+8(a^2+a)x + (ab+2b) = 6x + 8
xx'li terimlerin katsayıları ve sabit terimler karşılıklı olarak eşitlenir.
4
xx'in katsayısını eşitleyerek aa değerlerini bul: a2+a=6a^2 + a = 6.
a2+a−6=0⇒(a+3)(a−2)=0⇒a=−3a^2 + a - 6 = 0 \Rightarrow (a+3)(a-2) = 0 \Rightarrow a = -3 veya a=2a = 2.
İkinci dereceden denklem çözümü.
5
Sabit terimleri eşitleyerek bb değerini bul: b(a+2)=8b(a+2) = 8. Her iki aa değeri için bb'yi ve f(0)f(0) koşulunu kontrol et.
Durum 1 (a=2a=2): b(4)=8⇒b=2b(4)=8 \Rightarrow b=2. Bu durumda f(0)=b=2>0f(0)=b=2 > 0. (Koşul sağlanır).
Durum 2 (a=−3a=-3): b(−1)=8⇒b=−8b(-1)=8 \Rightarrow b=-8. Bu durumda f(0)=b=−8<0f(0)=b=-8 < 0. (Koşul sağlanmaz).
Soruda verilen f(0)>0f(0) > 0 kısıtlaması doğru fonksiyonu seçmemizi sağlar.
6
Doğru fonksiyon f(x)=2x+2f(x) = 2x + 2 olduğuna göre f(2)f(2) değerini hesapla.
f(2)=2(2)+2=6f(2) = 2(2) + 2 = 6.
Fonksiyon kuralı bulunduktan sonra istenen değer yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon ve Polinom Eşitliği

İpuçları

1
f(x)f(x) fonksiyonunun doğrusal olduğu belirtildiğinden, f(x)=ax+bf(x) = ax + b şeklinde bir ifade varsayarak başlayın.
2
(f∘f)(x)(f \circ f)(x) ifadesini bulmak için f(x)f(x) ifadesinde xx gördüğünüz yere tekrar ax+bax + b yazın: a(ax+b)+ba(ax+b) + b.
3
Elde ettiğiniz (a2+a)x+(ab+2b)(a^2+a)x + (ab+2b) ifadesini 6x+86x+8 ile eşitleyin. a2+a=6a^2+a=6 denkleminden gelen köklerden hangisinin f(0)>0f(0)>0 (yani b>0b>0) koşulunu sağladığını kontrol edin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 24Soru →
Bir ff fonksiyonu, her bir gerçel sayıyı kendisinin 4 katının 6 fazlasının yarısı ile eşleştirmektedir. Bu durum matematiksel olarak f(x)=4x+62f(x) = \frac{4x + 6}{2} şeklinde ifade edilmektedir. Buna göre, 5 sayısının bu fonksiyon altındaki görüntüsü (f(5)f(5) değeri) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

5 sayısının bu fonksiyon altındaki görüntüsü 13'tür.
Verilen fonksiyon kuralında xx yerine 5 yazıldığında, işlem sırasıyla (4×5)=20(4 \times 5) = 20, (20+6)=26(20 + 6) = 26 ve son olarak 26/2=1326 / 2 = 13 adımları takip edilir. Fonksiyon bir giriş değerini (5) alıp bu kuralı uygulayarak bir çıkış değerine (13) ulaşır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken yerine değeri yazma
f(5)=4×5+62f(5) = \frac{4 \times 5 + 6}{2}
Fonksiyonda bir değerin görüntüsünü bulmak için kuraldaki xx değişkeni yerine o değer yazılır.
2
Pay kısmındaki çarpma işlemini yapma
f(5)=20+62f(5) = \frac{20 + 6}{2}
İşlem önceliğine göre önce parantez içi veya pay/payda gibi gruplandırılmış ifadelerdeki çarpma yapılır.
3
Pay kısmındaki toplama işlemini tamamlama
f(5)=262f(5) = \frac{26}{2}
Bölme işlemine geçmeden önce paydaki ifadenin tek bir sayı haline getirilmesi gerekir.
4
Sonucu paydadaki sayıya bölme
f(5)=13f(5) = 13
Kesir çizgisi tüm payın paydaya bölünmesi gerektiğini ifade eder.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Görüntü Kümesi Elemanı Hesaplama)

İpuçları

1
Bir sayının fonksiyondaki görüntüsünü bulmak için, o sayıyı kuraldaki xx harfinin olduğu yere yerleştirerek matematiksel işlemleri yapmalısınız.
2
Kuralda xx yerine 5 yazdığınızda, önce pay kısmındaki çarpma ve toplama işlemlerini yapıp tek bir sayı bulmaya odaklanın.
3
İşlemimiz f(5)=(4×5+6)/2f(5) = (4 \times 5 + 6) / 2 şeklindedir. Payı 26 bulduktan sonra bunu 2'ye bölerek sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kuralı f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 şeklinde tanımlayıp farklı giriş değerleri için sonuçları hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonu sadeleştirerek de çözebilirsiniz: f(x)=4x+62=4x2+62=2x+3f(x) = \frac{4x + 6}{2} = \frac{4x}{2} + \frac{6}{2} = 2x + 3. Bu sadeleşmiş kuralda x=5x=5 yazıldığında 2(5)+3=132(5) + 3 = 13 sonucu daha hızlı elde edilebilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 25Soru →

Doğrusal bir ff fonksiyonu için,

f(1)=3f(1) = 3
(f∘f)(x)=4x+3(f \circ f)(x) = 4x + 3

eşitlikleri verilmiştir. Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Verilen şartları sağlayan ff fonksiyonu f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 olup, f(3)f(3) değeri 7'dir.
Doğrusal bir fonksiyon olan f(x)=ax+bf(x) = ax + b için bileşke işlemi a2x+ab+ba^2x + ab + b sonucunu verir. Verilen 4x+34x + 3 ifadesiyle eşleştirildiğinde a=2a=2 ve b=1b=1 değerleri bulunur. Bu kural altında 3'ün görüntüsü 7 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal fonksiyonun genel formunu belirleyin.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b olsun.
Soruda fonksiyonun doğrusal olduğu belirtilmiştir.
2
f(1)=3f(1) = 3 bilgisini kullanarak bir denklem elde edin.
f(1)=a⋅(1)+b=3⇒a+b=3f(1) = a \cdot (1) + b = 3 \Rightarrow a + b = 3
Fonksiyonun x=1x=1 için değeri 3 olarak verilmiştir.
3
(f∘f)(x)(f \circ f)(x) bileşke fonksiyonunu aa ve bb cinsinden ifade edin.
f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+bf(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b
Bileşke fonksiyon, içteki fonksiyonun sonucunun dıştaki fonksiyona girdi olarak yazılmasıdır.
4
Bileşke fonksiyonu verilen eşitlikle karşılaştırarak aa ve bb değerlerini bulun.
a2x+ab+b=4x+3⇒a2=4a^2x + ab + b = 4x + 3 \Rightarrow a^2 = 4 ve ab+b=3ab + b = 3. a2=4a^2 = 4 ise a=2a = 2 veya a=−2a = -2 olabilir. Eğer a=2a = 2 ise 2+b=32 + b = 3 (Step 2'den) ⇒b=1\Rightarrow b = 1 olur. Bu durumda ab+b=2(1)+1=3ab + b = 2(1) + 1 = 3 şartı da sağlanır. (a=−2a = -2 durumu ab+b=3ab + b = 3 şartını sağlamaz.)
Polinom eşitliği kuralına göre aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
5
Fonksiyon kuralını yazarak f(3)f(3) değerini hesaplayın.
f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 ise f(3)=2(3)+1=7f(3) = 2(3) + 1 = 7
Bulunan aa ve bb değerleri fonksiyon kuralında yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Doğrusal fonksiyonlarda katsayı belirleme ve bileşke fonksiyon işlemleri.

İpuçları

1
Doğrusal bir fonksiyonun f(x)=ax+bf(x) = ax + b şeklinde olduğunu hatırlayın.
2
(f∘f)(x)(f \circ f)(x) ifadesini elde etmek için f(x)f(x) kuralında xx gördüğünüz yere tekrar ax+bax+b yazın.
3
a2x+ab+b=4x+3a^2x + ab + b = 4x + 3 eşitliğinden a2=4a^2=4 olduğunu kullanarak aa değerine ulaşın, ardından f(1)=3f(1)=3 bilgisini kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, f(x)f(x) fonksiyonunun tersinin kendisine eşit olduğu durumlar için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

f(x)f(x) doğrusal olduğu için (f∘f)(x)(f \circ f)(x) de doğrusaldır ve eğimi a2a^2'dir. a2=4a^2=4 olduğundan ff fonksiyonunun eğimi 2 veya -2 olmalıdır. xx bir birim arttığında f(x)f(x) eğim kadar artar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 26Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, her xx gerçel sayısı için
(f∘f)(x)=9x+12 (f \circ f)(x) = 9x + 12
eşitliği sağlanmaktadır.

ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenini ordinatı negatif olan bir noktada kestiğine göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -12

Cevap

f(2) değeri -12'dir
Doğrusal bir fonksiyon f(x)=ax+bf(x)=ax+b formundadır. (f∘f)(x)=a2x+ab+b(f \circ f)(x) = a^2x + ab+b olur. Verilen 9x+129x+12 ile eşleştirildiğinde a2=9a^2=9 bulunur, yani a=3a=3 veya a=−3a=-3 olabilir. Soruda yy-eksenini negatif tarafta kestiği (b<0b<0) belirtildiği için, a=−3a=-3 durumu seçilmelidir (çünkü a=3a=3 için b=3b=3 pozitif çıkar, a=−3a=-3 için b=−6b=-6 negatif çıkar). Böylece fonksiyon f(x)=−3x−6f(x)=-3x-6 olarak bulunur. x=2x=2 için sonuç -12 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal fonksiyonun genel formunu belirle.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b olsun.
Soruda ff'in doğrusal fonksiyon olduğu belirtilmiştir.
2
Bileşke fonksiyonu (f∘f)(x)(f \circ f)(x) hesapla.
(f∘f)(x)=f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(ax+b) = a(ax+b) + b = a^2x + ab + b
Verilen eşitliği kullanabilmek için sol tarafı aa ve bb cinsinden ifade etmemiz gerekir.
3
Elde edilen ifadeyi verilen eşitlikle (9x+129x + 12) karşılaştırarak katsayıları eşitle.
a2x+(ab+b)=9x+12a^2x + (ab+b) = 9x + 12. Buradan: 1) a2=9a^2 = 9, 2) ab+b=12ab + b = 12.
Polinom eşitliği gereği, xx'in katsayıları ve sabit terimler karşılıklı olarak eşit olmalıdır.
4
aa değerini bul ve olası durumları incele.
a2=9a^2 = 9 ise a=3a = 3 veya a=−3a = -3 olabilir.
Bir sayının karesi 9 ise, bu sayı 3 veya -3 olabilir.
5
yy-eksenini negatif noktada kesme şartını (f(0)=b<0f(0) = b < 0) kullanarak doğru durumu belirle.
Durum 1 (a=3a=3): 3b+b=12⇒4b=12⇒b=33b + b = 12 \Rightarrow 4b = 12 \Rightarrow b = 3 (Pozitif, elenir).
Durum 2 (a=−3a=-3): −3b+b=12⇒−2b=12⇒b=−6-3b + b = 12 \Rightarrow -2b = 12 \Rightarrow b = -6 (Negatif, şartı sağlar).
Soruda fonksiyonun yy-eksenini negatif tarafta kestiği belirtilmiştir, bu b<0b < 0 demektir.
6
Doğru fonksiyonu oluştur ve f(2)f(2) değerini hesapla.
f(x)=−3x−6f(x) = -3x - 6 olduğuna göre, f(2)=−3(2)−6=−6−6=−12f(2) = -3(2) - 6 = -6 - 6 = -12.
Belirlenen katsayılarla fonksiyon değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon ve Polinom Eşitliği

İpuçları

1
Doğrusal fonksiyonun genel formunu f(x)=ax+bf(x) = ax + b olarak yazıp, (f∘f)(x)(f \circ f)(x) ifadesini bu form üzerinden hesaplayın.
2
(f∘f)(x)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b(f \circ f)(x) = a(ax+b) + b = a^2x + ab + b ifadesini sorudaki 9x+129x + 12 ile eşleştirin. xx'in katsayısı olan a2a^2'nin 9 olması ne anlama gelir?
3
aa sayısı 3 veya -3 olabilir. Ancak soruda fonksiyonun y-eksenini 'negatif' tarafta kestiği (b<0b < 0) belirtilmiş. Hangi aa değeri için bb negatif çıkıyor, kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu f(x)f(x) azalan bir fonksiyon ise şartıyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Grafiksel yaklaşım: f(f(x))f(f(x)) fonksiyonunun eğimi 9 olduğuna göre, f(x)f(x)'in eğimi ya 3 ya da -3 olmalıdır. Eğimin karesi bileşke eğimini verir (m2=9m^2=9).
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 27Soru →
x≠2x \neq 2 olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(2x+1)=4x+1x−2f(2x+1) = \frac{4x+1}{x-2}
biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, f−1(7)f^{-1}(7) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
İstenen değer f−1(7)=af^{-1}(7) = a olsun. Bu durumda ters fonksiyon özelliğinden f(a)=7f(a) = 7 olmalıdır. Verilen fonksiyon kuralında sonucun 7 olması için 4x+1x−2=7\frac{4x+1}{x-2} = 7 denklemi çözülür. İçler dışlar çarpımı ile 4x+1=7x−144x+1 = 7x-14 bulunur, buradan 3x=153x=15 ve x=5x=5 elde edilir. Ancak fonksiyon f(2x+1)f(2x+1) şeklinde tanımlandığı için, bulduğumuz x değerini 2x+12x+1 ifadesinde yerine yazmalıyız: 2(5)+1=112(5)+1 = 11. Yani f(11)=7f(11)=7 olup, buradan f−1(7)=11f^{-1}(7)=11 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Ters fonksiyonun tanımı gereği f−1(b)=a  ⟺  f(a)=bf^{-1}(b) = a \iff f(a) = b ilişkisini kullan.
f(2x+1)=7f(2x+1) = 7 olması için fonksiyonun görüntü kümesindeki ifadenin 7'ye eşitlenmesi gerekir.
Fonksiyonun tersindeki 7 değeri, fonksiyonun düz halindeki görüntü (sonuç) değeridir.
2
Verilen eşitliğin sağ tarafını 7'ye eşitleyip x değerini bul.
4x+1x−2=7⇒4x+1=7(x−2)⇒4x+1=7x−14⇒15=3x⇒x=5\frac{4x+1}{x-2} = 7 \Rightarrow 4x+1 = 7(x-2) \Rightarrow 4x+1 = 7x-14 \Rightarrow 15 = 3x \Rightarrow x=5
Bu x değeri, görüntüsü 7 olan girdi değerini bulmamızı sağlayacak anahtardır.
3
Bulunan x değerini fonksiyonun tanım kümesindeki 2x+12x+1 ifadesinde yerine yaz.
f(2⋅5+1)=f(11)=7f(2\cdot5 + 1) = f(11) = 7 olduğu için f−1(7)=11f^{-1}(7) = 11 bulunur.
Soruda bizden istenen x değeri değil, fonksiyonun içindeki 2x+12x+1 ifadesinin değeridir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tersinde değer bulmak için, fonksiyonun sonucunu o değere eşitleyen girdi değerini bulmak gerekir (f−1(y)=x  ⟺  f(x)=yf^{-1}(y)=x \iff f(x)=y).

İpuçları

1
f−1(7)f^{-1}(7) ifadesi, 'fonksiyonun sonucunu 7 yapan değer' anlamına gelir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki kesirli ifadeyi 7'ye eşitleyerek x değerini bulmalısın.
3
Bulduğun x değerini f(2x+1)f(2x+1) içindeki x yerine yazmayı unutma.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda fakat f(x)f(x) yerine f(3x−2)f(3x-2) gibi farklı bir iç ifade içeren ters fonksiyon soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun tersini kural olarak bulup (f(x)f(x) formatına getirerek) sonra 7 yazmak da mümkündür, ancak bu soruda x'i bulup yerine koymak daha kısa sürer.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 28Soru →
x≠1x \neq 1 ve x≠0x \neq 0 olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)=11−xf(x) = \frac{1}{1-x}
kuralı ile verilmiştir.
Her nn pozitif tam sayısı için fnf_n fonksiyonu,
fn(x)=(f∘f∘⋯∘f⏟n tane)(x)f_n(x) = (\underbrace{f \circ f \circ \dots \circ f}_{n \text{ tane}})(x)
biçiminde tanımlanmaktadır.

Buna göre, f2026(2)f_{2026}(2) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1
Verilen fonksiyonun ardışık bileşkeleri alındığında değerlerin belirli bir periyotla tekrar ettiği görülür. x=2x=2 için değerler sırasıyla −1,1/2,2-1, 1/2, 2 şeklinde ilerler ve her 3 adımda bir başa döner. 2026 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 olduğu için, 2026. işlemin sonucu 1. işlemin sonucuna, yani -1'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun değerlerini adım adım hesaplayarak bir örüntü (periyot) olup olmadığını kontrol et.
f1(2)=f(2)=11−2=1−1=−1f_1(2) = f(2) = \frac{1}{1-2} = \frac{1}{-1} = -1
İlk bileşke değerini bulmak için.
2
Bulunan sonucu tekrar fonksiyona yazarak ikinci bileşkeyi hesapla.
f2(2)=f(f(2))=f(−1)=11−(−1)=12f_2(2) = f(f(2)) = f(-1) = \frac{1}{1-(-1)} = \frac{1}{2}
Örüntünün devamını görmek için.
3
Üçüncü bileşkeyi hesapla.
f3(2)=f(1/2)=11−(1/2)=11/2=2f_3(2) = f(1/2) = \frac{1}{1-(1/2)} = \frac{1}{1/2} = 2
Başlangıç değerine (x=2) ulaşıldığını ve döngünün tamamlandığını tespit etmek için.
4
Periyodu belirle ve istenen adım sayısı için modüler aritmetik uygula.
Döngü: 2→−1→1/2→22 \to -1 \to 1/2 \to 2. Periyot 3'tür (f3(x)=xf_3(x) = x). 2026≡1(mod3)2026 \equiv 1 \pmod 3.
2026. adımın döngüdeki hangi adıma denk geldiğini bulmak için.
5
Kalan sayıya karşılık gelen fonksiyon değerini seç.
Kalan 1 olduğu için sonuç f1(2)f_1(2) değerine eşittir, yani -1.
Doğru sonucu belirlemek için.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonların Periyodik Özellikleri

İpuçları

1
Fonksiyonun x=2x=2 için ilk birkaç değerini (f(2)f(2), f(f(2))f(f(2)), ...) hesaplayarak sonuçların tekrar edip etmediğini kontrol edin.
2
Hesapladığınız değerler bir döngü oluşturuyorsa, bu döngünün kaç adımda bir tekrar ettiğini (periyodunu) bulun.
3
Periyot 3'tür. Yani her 3 işlemde bir sonuç tekrar 2 olur. 2026 sayısının 3'e bölümünden kalanı kullanarak hangi adımın sonucunu aradığınızı belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Periyodu 4 olan f(x)=(x−1)/(x+1)f(x) = (x-1)/(x+1) fonksiyonu için benzer bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Genel kuralı bulmak için f(x)f(x), f(f(x))f(f(x)) ve f(f(f(x)))f(f(f(x))) ifadelerini cebirsel olarak sadeleştirip f3(x)=xf_3(x) = x (Birim Fonksiyon) olduğunu görebilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 29Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff doğrusal fonksiyonu için,
f(x)+f−1(x)=5x+92f(x) + f^{-1}(x) = \frac{5x + 9}{2}
eşitliği sağlanmaktadır. ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenini pozitif tarafta kestiğine göre, (f∘f)(1)(f \circ f)(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

Doğru cevap 31'dir.
Verilen f(x)+f−1(x)f(x) + f^{-1}(x) eşitliğinde katsayılar karşılaştırılarak f(x)=2x+9f(x) = 2x + 9 fonksiyonu elde edilir. Pozitif yy-ekseni kesimi şartı (b>0b>0) a=2a=2 olmasını gerektirir. Bileşke değeri f(f(1))=f(11)=31f(f(1)) = f(11) = 31 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ff doğrusal bir fonksiyon olduğu için f(x)=ax+bf(x) = ax + b formunda kabul edilir. Bu durumda ters fonksiyon f−1(x)=x−baf^{-1}(x) = \frac{x - b}{a} olur.
f(x)=ax+b,f−1(x)=1ax−baf(x) = ax + b, \quad f^{-1}(x) = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a}
Doğrusal fonksiyonun genel denklemi ve tersi kullanılır.
2
Verilen eşitlikte ifadeler yerine yazılır ve xx'in katsayıları ile sabit terimler eşitlenir.
(a+1a)x+(b−ba)=52x+92\left(a + \frac{1}{a}\right)x + \left(b - \frac{b}{a}\right) = \frac{5}{2}x + \frac{9}{2}
Polinom eşitliği ilkesi gereği aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
3
xx'in katsayısından aa değeri bulunur: a+1a=52a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}. Bu denklem 2a2−5a+2=02a^2 - 5a + 2 = 0 haline gelir ve çözülür.
(2a−1)(a−2)=0⇒a=2 veya a=12(2a - 1)(a - 2) = 0 \Rightarrow a = 2 \text{ veya } a = \frac{1}{2}
İkinci dereceden denklemin kökleri bulunur.
4
Sabit terim eşitliğinden bb bulunur: b(1−1a)=92b(1 - \frac{1}{a}) = \frac{9}{2}. İki durum incelenir ve yy-eksenini pozitif tarafta kesme (b>0b > 0) şartı kontrol edilir.
Durum 1 (a=2a=2): b(1−0,5)=4,5⇒0,5b=4,5⇒b=9b(1 - 0,5) = 4,5 \Rightarrow 0,5b = 4,5 \Rightarrow b = 9 (Pozitif, UYGUN).
Durum 2 (a=0,5a=0,5): b(1−2)=4,5⇒−b=4,5⇒b=−4,5b(1 - 2) = 4,5 \Rightarrow -b = 4,5 \Rightarrow b = -4,5 (Negatif, ELENİR).
Soruda verilen kısıtlama (pozitif y-kesimi) doğru fonksiyonu seçmek için kullanılır.
5
Bulunan f(x)=2x+9f(x) = 2x + 9 fonksiyonu kullanılarak (f∘f)(1)(f \circ f)(1) hesaplanır.
f(1)=2(1)+9=11f(1) = 2(1) + 9 = 11. Sonra f(11)=2(11)+9=22+9=31f(11) = 2(11) + 9 = 22 + 9 = 31.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği içten dışa doğru işlem yapılır.

Anahtar Kavram

Doğrusal Fonksiyonların Tersi ve Bileşkesi
Soru 30Soru →
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her nn pozitif tam sayısı için
f(n+1)=f(n)+(−1)n⋅(2n)f(n+1) = f(n) + (-1)^n \cdot (2n)
eşitliğini sağlamaktadır.
f(1)=5f(1) = 5 olduğuna göre, f(20)f(20) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

f(20) değeri -15'tir.
Verilen fonksiyon indirgemeli (rekürsif) bir yapıdadır. f(n+1)−f(n)f(n+1) - f(n) farkları hesaplandığında, ardışık terimlerin toplamının belirli bir düzen izlediği görülür. 1'den 19'a kadar olan terimlerin toplamı alındığında, ikili grupların her birinin toplamı +2 olurken, son terim olan n=19n=19 tek başına negatif kalır. Toplam fark -20 bulunur ve başlangıç değeri 5 eklendiğinde sonuç -15 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bağıntıyı düzenleyerek ardışık terimler arasındaki farkı yazın.
f(n+1)−f(n)=(−1)n⋅(2n)f(n+1) - f(n) = (-1)^n \cdot (2n)
Teleskopik toplam yöntemini kullanabilmek için fark denklemi oluşturulmalıdır.
2
nn değerine 1'den 19'a kadar değerler vererek eşitlikleri alt alta yazın.
n=1⇒f(2)−f(1)=−2n=1 \Rightarrow f(2) - f(1) = -2
n=2⇒f(3)−f(2)=4n=2 \Rightarrow f(3) - f(2) = 4
n=3⇒f(4)−f(3)=−6n=3 \Rightarrow f(4) - f(3) = -6
...
n=19⇒f(20)−f(19)=−38n=19 \Rightarrow f(20) - f(19) = -38
Genel toplamı görmek için terimlerin açık hali gereklidir.
3
Elde edilen eşitlikleri taraf tarafa toplayın.
f(20)−f(1)=−2+4−6+8−...−38f(20) - f(1) = -2 + 4 - 6 + 8 - ... - 38
Ara terimler (f(2),f(3)...f(2), f(3)...) birbirini götürür, geriye sadece ilk ve son fonksiyon değerleri kalır.
4
Sağ taraftaki toplamı ikili gruplar halinde hesaplayın.
(−2+4)+(−6+8)+...+(−34+36)−38(-2+4) + (-6+8) + ... + (-34+36) - 38
Her parantez içi +2 eder. 1'den 18'e kadar 18 terim vardır, bu da 9 çift yapar: 9×2=189 \times 2 = 18.
Son terim (-38) tek kalır: 18−38=−2018 - 38 = -20.
İşaret değiştiren serilerde gruplandırma yapmak işlemi kolaylaştırır.
5
Sonucu yerine koyarak f(20)f(20) değerini bulun.
f(20)−5=−20⇒f(20)=−15f(20) - 5 = -20 \Rightarrow f(20) = -15
Başlangıç değeri eklenerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli Fonksiyon Dizileri

İpuçları

1
Önce n=1,2,3n=1, 2, 3 değerleri için fonksiyonun aldığı ilk birkaç değeri hesaplayarak örüntüyü görmeye çalışın.
2
f(n+1)−f(n)f(n+1) - f(n) ifadesini yalnız bırakın ve n=1n=1'den başlayarak taraf tarafa toplama (teleskopik toplam) yöntemini kullanın.
3
Toplamda oluşan −2+4−6+8...-2 + 4 - 6 + 8 ... serisini ikili gruplar halinde toplayın. Son terimin (n=19n=19) tek kalacağına dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

İndirgemeli dizilerde çarpım durumundaki (f(n+1)=n⋅f(n)f(n+1) = n \cdot f(n)) soruları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Örüntü tespiti: Tek nn değerleri için f(n)=n+4f(n) = n+4 kuralı (örn: f(1)=5, f(3)=7), çift nn değerleri için f(n)=5−nf(n) = 5-n kuralı (örn: f(2)=3, f(4)=1) geçerlidir. Buradan f(20)=5−20=−15f(20) = 5-20 = -15 bulunur.
Tahmini Süre:3m 30s
Soru 31Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için
g(x)=3x−1 g(x) = 3x - 1
f−1(2x+1)=g(x−2) f^{-1}(2x+1) = g(x-2)
eşitlikleri verilmektedir. Buna göre, (f∘g)(4)(f \circ g)(4) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

İşlemin sonucu 13'tür.
Soruda istenen (f∘g)(4)(f \circ g)(4) değeri için önce g(4)g(4) hesaplanır ve 11 bulunur. f(11)f(11) değerini bulmak için verilen ters fonksiyon eşitliği kullanılır. f−1f^{-1}'in sonucu olan g(x−2)g(x-2) ifadesi 11'e eşitlenerek x=6x=6 bulunur. Bu xx değeri f−1f^{-1}'in içindeki 2x+12x+1 ifadesinde yerine yazıldığında 13 elde edilir. Ters fonksiyon özelliği gereği f−1(13)=11f^{-1}(13)=11 ise f(11)=13f(11)=13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak bileşke fonksiyon tanımı gereği (f∘g)(4)=f(g(4))(f \circ g)(4) = f(g(4)) ifadesini hesaplamak için içteki g(4)g(4) değerini bulunuz.
g(4)=3(4)−1=12−1=11g(4) = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11. Yani bizden istenen değer f(11)f(11)'dir.
Bileşke fonksiyonda işlem sırası sağdan sola doğrudur.
2
Verilen f−1(2x+1)=g(x−2)f^{-1}(2x+1) = g(x-2) eşitliğini kullanarak, f(11)f(11) değerini bulmak için ters fonksiyon özelliğinden yararlanınız.
f(11)=y  ⟺  f−1(y)=11f(11) = y \iff f^{-1}(y) = 11 demektir. Ancak burada f−1f^{-1}'in sonucu (görüntüsü) verilmiştir. Verilen eşitliğin sağ tarafı g(x−2)g(x-2)'dir. Bu ifadeyi 11'e eşitleyerek xx değerini bulunuz.
f(a)=b  ⟺  f−1(b)=af(a)=b \iff f^{-1}(b)=a kuralı gereği, ters fonksiyonun içi ile dışı yer değiştirebilir.
3
g(x−2)g(x-2) ifadesini 11'e eşitleyerek xx'i çözünüz.
g(x−2)=3(x−2)−1=11⇒3(x−2)=12⇒x−2=4⇒x=6g(x-2) = 3(x-2) - 1 = 11 \Rightarrow 3(x-2) = 12 \Rightarrow x-2 = 4 \Rightarrow x = 6.
Fonksiyonun içindeki değişkeni bulmak için denklem çözümü yapılır.
4
Bulunan x=6x=6 değerini, f−1f^{-1} fonksiyonunun içindeki 2x+12x+1 ifadesinde yerine yazarak ff'in sonucunu bulunuz.
f−1(2(6)+1)=11⇒f−1(13)=11f^{-1}(2(6)+1) = 11 \Rightarrow f^{-1}(13) = 11. Bu ifade f(11)=13f(11) = 13 anlamına gelir.
Ters fonksiyonun tanım kümesindeki eleman, düz fonksiyonun değer kümesindeki elemana karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Bileşke ve Ters Fonksiyon Özellikleri
Soru 32Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx ve yy gerçel sayısı için
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy
eşitliğini sağlamaktadır. f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
Verilen fonksiyonel eşitlikte değerler adım adım yerine konulmalıdır. Öncelikle x=1x=1 ve y=1y=1 seçilerek f(2)f(2) değeri hesaplanır: f(2)=f(1)+f(1)+2(1)(1)=3+3+2=8f(2) = f(1)+f(1)+2(1)(1) = 3+3+2=8. Daha sonra f(3)f(3)'ü bulmak için x=2x=2 ve y=1y=1 seçilir: f(3)=f(2)+f(1)+2(2)(1)=8+3+4=15f(3)=f(2)+f(1)+2(2)(1) = 8+3+4=15.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte f(2) değerini bulmak için x ve y yerine 1 yazılır.
f(1+1)=f(1)+f(1)+2(1)(1)  ⟹  f(2)=3+3+2=8f(1+1) = f(1) + f(1) + 2(1)(1) \implies f(2) = 3 + 3 + 2 = 8
f(3) değerine ulaşmak için önce ara değer olan f(2)'nin bulunması gerekir.
2
Bulunan f(2) değeri kullanılarak f(3) değerini bulmak için eşitlikte x=2 ve y=1 yazılır.
f(2+1)=f(2)+f(1)+2(2)(1)  ⟹  f(3)=8+3+4=15f(2+1) = f(2) + f(1) + 2(2)(1) \implies f(3) = 8 + 3 + 4 = 15
f(x+y) kuralı parçalı şekilde uygulanarak hedef değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel Eşitlikler ve Değer Bulma

İpuçları

1
f(3) değerini doğrudan bulamazsınız. Önce bildiğiniz f(1) değerini kullanarak f(2)'yi bulmaya çalışın.
2
Eşitlikte x=1 ve y=1 yazarak f(2) değerini hesaplayın.
3
f(2) değerini 8 olarak bulduktan sonra, eşitlikte x=2 ve y=1 yazarak f(3) değerine ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

f(x+y) = f(x)f(y) eşitliğini sağlayan fonksiyon sorularını inceleyin.

Alternatif Yöntem

Bu fonksiyon yapısı f(x) = x^2 + 2x formundadır (f(1)=3 sağlar). Buradan f(3) = 3^2 + 2(3) = 9 + 6 = 15 olarak da bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 33Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için
f(x+12)=3x−4 f\left(\frac{x+1}{2}\right) = 3x - 4
g(2x−1)=x2+x−1 g(2x-1) = x^2 + x - 1
eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, (f−1∘g)(3)(f^{-1} \circ g)(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen değer 2'dir.
Bileşke fonksiyon kuralı gereği işlem sırası içeriden dışarıya doğrudur. Önce g(3)g(3) değeri, fonksiyonun tanım kümesi uygun şekilde ayarlanarak bulunur (x=2x=2 için sonuç 5). Daha sonra f−1(5)f^{-1}(5) değerini bulmak için, sonucu 5 yapan xx değeri (x=3x=3) bulunur ve bu değer ff'in tanım ifadesinde yerine yazılır.

Adım Adım Çözüm

1
(f−1∘g)(3)=f−1(g(3))(f^{-1} \circ g)(3) = f^{-1}(g(3)) ifadesini hesaplamak için önce içteki g(3)g(3) değerini bulalım.
g(2x−1)g(2x-1) ifadesinde parantez içinin 3 olması gerekir: 2x−1=3⇒2x=4⇒x=22x-1 = 3 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2.
Fonksiyonun tanımındaki değişkene ulaşmak için.
2
Bulunan x=2x=2 değerini gg fonksiyonunun kuralında yerine yazalım.
g(3)=22+2−1=4+2−1=5g(3) = 2^2 + 2 - 1 = 4 + 2 - 1 = 5.
g(3)g(3) değerini elde etmek için.
3
Şimdi f−1(5)f^{-1}(5) değerini bulmamız gerekiyor. Bu ifadeyi yy değişkenine eşitleyerek f(y)=5f(y)=5 denklemine dönüştürelim.
f(y)=5f(y)=5 olması için, fonksiyonun sonucunun 5 olması gerekir: 3x−4=5⇒3x=9⇒x=33x - 4 = 5 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3.
Ters fonksiyonun tanımı gereği görüntü kümesinden tanım kümesine geçiş yapmak için.
4
Bulunan x=3x=3 değerini ff fonksiyonunun tanım kısmındaki x+12\frac{x+1}{2} ifadesinde yerine yazarak cevaba ulaşalım.
y=3+12=42=2y = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2. Dolayısıyla f−1(5)=2f^{-1}(5) = 2.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon

İpuçları

1
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği, (f−1∘g)(3)(f^{-1} \circ g)(3) ifadesi f−1(g(3))f^{-1}(g(3)) demektir. Önce parantez içini hesaplayın.
2
g(3)g(3) değerini bulmak için g(2x−1)g(2x-1) ifadesinde parantez içini 3 yapan xx değerini bulup fonksiyonda yerine yazın.
3
g(3)=5g(3)=5 bulduktan sonra, f−1(5)f^{-1}(5) değerini arıyoruz. Bu, 'f fonksiyonunda hangi girdi 5 sonucunu verir?' sorusuyla aynıdır. 3x−4=53x-4=5 eşitliğini kullanın.

Alternatif Yöntem

Dilerseniz önce g(x)g(x) ve f(x)f(x) fonksiyonlarının kurallarını xx'e bağlı olarak bulup (g(x)=(x+12)2+x+12−1g(x) = (\frac{x+1}{2})^2 + \frac{x+1}{2} - 1 gibi), sonra bileşke işlemini uygulayabilirsiniz, ancak bu yöntem işlem hatası riskini artırır.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin