Examkin

Fonksiyonlar

33 soru

Soru 1Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)−2f(1−x)=3x+1f(x) - 2f(1-x) = 3x + 1
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Verilen fonksiyonel denklemde uygun değerler yerine yazılarak kurulan sistemin çözümü sonucunda f(2)=−1f(2) = -1 olarak bulunur.
Verilen denklemde xx yerine sırasıyla 2 ve -1 yazıldığında iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşur. Bu sistem çözüldüğünde f(2)f(2) değeri −1-1 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x = 2 değerini denklemde yerine yazın.
f(2)−2f(1−2)=3(2)+1⇒f(2)−2f(−1)=7f(2) - 2f(1-2) = 3(2) + 1 \Rightarrow f(2) - 2f(-1) = 7
f(2)f(2) değerini içeren ilk denklemi elde etmek için.
2
x=−1x = -1 değerini denklemde yerine yazın.
f(−1)−2f(1−(−1))=3(−1)+1⇒f(−1)−2f(2)=−2f(-1) - 2f(1-(-1)) = 3(-1) + 1 \Rightarrow f(-1) - 2f(2) = -2
f(2)f(2) ve f(−1)f(-1) arasındaki ilişkiyi gösteren ikinci denklemi elde etmek için.
3
Elde edilen iki denklemi bir sistem olarak düzenleyin.
f(2)−2f(−1)=7f(2) - 2f(-1) = 7
−2f(2)+f(−1)=−2-2f(2) + f(-1) = -2
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi çözümü yöntemini uygulamak için.
4
Yok etme yöntemini kullanarak f(2)f(2) değerini bulun.
İkinci denklem 2 ile çarpılırsa: −4f(2)+2f(−1)=−4-4f(2) + 2f(-1) = -4 olur. İlk denklemle toplandığında: (f(2)−2f(−1))+(−4f(2)+2f(−1))=7+(−4)⇒−3f(2)=3⇒f(2)=−1(f(2) - 2f(-1)) + (-4f(2) + 2f(-1)) = 7 + (-4) \Rightarrow -3f(2) = 3 \Rightarrow f(2) = -1 bulunur.
f(−1)f(-1) terimlerini yok ederek doğrudan istenen değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde değişken değiştirme ve denklem sistemleri
Soru 2Soru →
x≠0x \neq 0 olmak üzere, uygun koşullarda tanımlı bir ff fonksiyonu için
f(x)+3f(1x)=4x f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x
eşitliği veriliyor.
Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −14-\frac{1}{4}

Cevap

İstenen değer −14-\frac{1}{4}'tür.
Verilen fonksiyonel denklemde xx yerine hem 22 hem de 1/21/2 yazılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistemde f(1/2)f(1/2) yok edilerek f(2)f(2) değeri −14-\frac{1}{4} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte xx yerine 22 yazarak birinci denklemi oluşturun.
f(2)+3f(1/2)=4(2)⇒f(2)+3f(1/2)=8f(2) + 3f(1/2) = 4(2) \Rightarrow f(2) + 3f(1/2) = 8
f(2)f(2) değerini içeren bir denklem elde etmek için.
2
Verilen eşitlikte xx yerine 1/21/2 yazarak ikinci bir denklem oluşturun.
f(1/2)+3f(1/(1/2))=4(1/2)⇒f(1/2)+3f(2)=2f(1/2) + 3f(1/(1/2)) = 4(1/2) \Rightarrow f(1/2) + 3f(2) = 2
Bilinmeyen f(1/2)f(1/2) terimini yok etmek için sisteme ihtiyaç vardır.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün. İkinci denklemi −3-3 ile çarpıp birinci denklemle taraf tarafa toplayın.
−3[f(1/2)+3f(2)]=−3(2)⇒−3f(1/2)−9f(2)=−6-3[f(1/2) + 3f(2)] = -3(2) \Rightarrow -3f(1/2) - 9f(2) = -6. Toplama: (f(2)−9f(2))+(3f(1/2)−3f(1/2))=8−6⇒−8f(2)=2(f(2) - 9f(2)) + (3f(1/2) - 3f(1/2)) = 8 - 6 \Rightarrow -8f(2) = 2.
f(1/2)f(1/2) terimlerini yok ederek f(2)f(2)'yi yalnız bırakmak için.
4
f(2)f(2) değerini hesaplayın.
f(2)=2−8=−14f(2) = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}
Sonucu sadeleştirerek bulmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel Denklemler (Değişken Dönüşümü)

İpuçları

1
Eşitlikte xx yerine 22 yazarak f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) içeren bir denklem elde etmeyi deneyin.
2
Bilinmeyen f(1/2)f(1/2) değerini bulmak veya yok etmek için, eşitlikte xx yerine bu sefer 1/21/2 yazarak ikinci bir denklem oluşturun.
3
Elde ettiğiniz iki denklemi, f(1/2)f(1/2) terimlerini yok edecek şekilde (örneğin ikinci denklemi -3 ile çarparak) taraf tarafa toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda olan ancak f(x)f(x) ve f(−x)f(-x) içeren soruları çözerek değişken dönüşümü pratiği yapın.

Alternatif Yöntem

Genel çözüm için f(x)f(x) fonksiyonunu bulup sonra x=2x=2 yazabilirsiniz. f(x)+3f(1/x)=4xf(x) + 3f(1/x) = 4x ve f(1/x)+3f(x)=4/xf(1/x) + 3f(x) = 4/x sisteminden f(x)=32x−x2f(x) = \frac{3}{2x} - \frac{x}{2} bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 3Soru →
Uygun koşullarda tanımlı ff ve gg fonksiyonları için;
f(x+1x−2)=3x−1f\left(\frac{x+1}{x-2}\right) = 3x - 1
g(x)=2x−ag(x) = 2x - a
eşitlikleri veriliyor.

(f−1∘g)(3)=2(f^{-1} \circ g)(3) = 2 olduğuna göre, aa kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -8

Cevap

Verilen eşitlikler ve ters fonksiyon özellikleri kullanılarak a'nın değeri -8 olarak bulunur.
Sorunun çözümü için öncelikle (f−1∘g)(3)=2(f^{-1} \circ g)(3) = 2 ifadesi f(2)=g(3)f(2) = g(3) eşitliğine dönüştürülmelidir. Daha sonra fonksiyonların tanımları kullanılarak ilgili değerler hesaplanır. f(2)f(2)'yi bulmak için fonksiyonun içindeki x+1x−2\frac{x+1}{x-2} ifadesini 2 yapan xx değeri (x=5x=5) bulunup yerine yazıldığında f(2)=14f(2)=14 elde edilir. g(3)=6−ag(3)=6-a olduğundan, 14=6−a14=6-a denkleminden doğru cevap -8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon ve ters fonksiyon özelliğini kullanma
f(2) = g(3)
(f−1∘g)(3)=2(f^{-1} \circ g)(3) = 2 ifadesi f−1(g(3))=2f^{-1}(g(3)) = 2 demektir. Ters fonksiyonun tanımı gereği bu ifade f(2)=g(3)f(2) = g(3) eşitliğine denktir.
2
g(3) değerini hesaplama
g(3) = 6 - a
g(x)=2x−ag(x) = 2x - a fonksiyonunda x yerine 3 yazılır: 2(3)−a=6−a2(3) - a = 6 - a.
3
f(2) değerini bulmak için uygun x değerini belirleme
x = 5
f(x+1x−2)f\left(\frac{x+1}{x-2}\right) ifadesinin içinin 2 olması gerekir. x+1x−2=2⇒x+1=2(x−2)⇒x+1=2x−4⇒x=5\frac{x+1}{x-2} = 2 \Rightarrow x+1 = 2(x-2) \Rightarrow x+1 = 2x - 4 \Rightarrow x = 5.
4
f(2) değerini hesaplama
f(2) = 14
Bulunan x=5x=5 değeri f fonksiyonunun kuralında (3x−13x-1) yerine yazılır: f(2)=3(5)−1=14f(2) = 3(5) - 1 = 14.
5
Bulunan değerleri eşitleyip a'yı çözme
a = -8
f(2)=g(3)f(2) = g(3) olduğundan 14=6−a14 = 6 - a denklemi elde edilir. Buradan a=6−14=−8a = 6 - 14 = -8 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon ve Ters Fonksiyon İlişkisi

İpuçları

1
(f−1∘g)(3)=2(f^{-1} \circ g)(3) = 2 ifadesini, ters fonksiyonun temel özelliğini kullanarak f(2)=g(3)f(2) = g(3) şeklinde yazmayı deneyin.
2
f(2)f(2) değerini bulmak için, ff fonksiyonunun parantez içindeki x+1x−2\frac{x+1}{x-2} ifadesini 2'ye eşitleyen xx değerini bulmanız gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı birebir ve örten ff ve gg fonksiyonları için
f−1(4x−3)=g(x+1)f^{-1}(4x - 3) = g(x + 1)
eşitliği sağlanmaktadır. g(2)=5g(2) = 5 olduğuna göre, f(5)f(5) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Verilen f−1(4x−3)=g(x+1)f^{-1}(4x - 3) = g(x + 1) eşitliğinde her iki tarafın ff görüntüsü alındığında 4x−3=f(g(x+1))4x - 3 = f(g(x + 1)) elde edilir. Soruda f(5)f(5) değeri sorulmaktadır. Bu ifadeyi elde etmek için g(x+1)g(x+1) ifadesinin 5'e eşit olması gerekir. Soruda g(2)=5g(2)=5 olarak verildiğinden, x+1=2x+1=2 yani x=1x=1 olmalıdır. Eşitliğin sağ tarafında x=1x=1 yazıldığında 4(1)−3=14(1)-3 = 1 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte ters fonksiyon özelliğini kullan.
f(g(x+1))=4x−3f(g(x + 1)) = 4x - 3
y=f−1(x)  ⟺  f(y)=xy = f^{-1}(x) \iff f(y) = x kuralı gereği.
2
Sorulan değeri (f(5)f(5)) elde etmek için içteki fonksiyonun değerini kullan.
g(x+1)=5g(x + 1) = 5 olmalıdır.
f(5)f(5) değerini bulmak için ff fonksiyonunun içinin 5 olması gerekir.
3
Verilen g(2)=5g(2)=5 bilgisini kullanarak xx değerini bul.
x+1=2  ⟹  x=1x + 1 = 2 \implies x = 1
gg fonksiyonunun içi 22 olduğunda sonuç 55 olmaktadır.
4
Bulunan xx değerini eşitliğin diğer tarafında yerine yaz.
f(5)=4(1)−3=1f(5) = 4(1) - 3 = 1
f(g(2))=4(1)−3f(g(2)) = 4(1) - 3 işlemi.

Anahtar Kavram

Ters Fonksiyon ve Bileşke Fonksiyon İlişkisi

İpuçları

1
Eşitliğin her iki tarafına soldan ff fonksiyonunu uygulayarak ters fonksiyondan kurtulmayı deneyin.
2
f(g(x+1))=4x−3f(g(x+1)) = 4x - 3 eşitliğini elde ettikten sonra, parantez içinin 5 olması gerektiğini hatırlayın.
3
g(x+1)=5g(x+1) = 5 olması için x+1x+1 ne olmalıdır? Verilen g(2)=5g(2)=5 bilgisini kullanarak xx'i bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda, f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının grafikler üzerinden değerlerinin bulunduğu sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →
x≠0x \neq 0 olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu için
f(x)+2f(1x)=6xf(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 6x
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

-2
Verilen fonksiyonel denklemde xx yerine hem 22 hem de 1/21/2 yazılarak iki bilinmeyenli (f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2)) bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde f(2)f(2) değeri -2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikte x yerine 2 yazılarak birinci denklem elde edilir.
f(2)+2f(1/2)=12f(2) + 2f(1/2) = 12
İstenen f(2) değerini içeren bir denklem kurmak için.
2
Eşitlikte x yerine 1/2 yazılarak ikinci denklem elde edilir.
f(1/2)+2f(2)=6(1/2)=3f(1/2) + 2f(2) = 6(1/2) = 3
Bilinmeyen f(1/2) terimini içeren ikinci bir denklem kurarak sistemi çözülebilir hale getirmek için.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülür. İkinci denklemden f(1/2) çekilir veya yok edilir.
f(1/2)=3−2f(2)f(1/2) = 3 - 2f(2)
f(2) değerini bulmak için f(1/2)'yi yalnız bırakmak.
4
Bulunan ifade birinci denklemde yerine yazılır.
f(2)+2(3−2f(2))=12  ⟹  f(2)+6−4f(2)=12f(2) + 2(3 - 2f(2)) = 12 \implies f(2) + 6 - 4f(2) = 12
Tek bilinmeyenli denkleme ulaşmak.
5
Denklem çözülerek f(2) bulunur.
−3f(2)=6  ⟹  f(2)=−2-3f(2) = 6 \implies f(2) = -2
Sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde değişken değiştirme ve denklem sistemi kurma.
Soru 6Soru →

f(x+2)=3x−4f(x + 2) = 3x - 4

eşitliğiyle tanımlanan ff fonksiyonu için f(5)f(5) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Hesaplanan 5 sonucu doğru cevaptır.
Fonksiyonlarda f(a)f(a) değerini bulmak için parantez içindeki ifadenin aa sayısına eşit olması gerekir. Burada x+2=5x + 2 = 5 eşitliği kurulduğunda x=3x = 3 değeri elde edilir. Fonksiyonun kuralı olan 3x−43x - 4 ifadesinde xx yerine 33 yazıldığında 3(3)−4=53(3) - 4 = 5 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlik kurma
x+2=5x + 2 = 5 denkleminden x=3x = 3 bulunur.
Fonksiyonun parantez içindeki kısmının (x+2x+2) istenen değer olan 5'e eşit olması gerekir.
2
Değişkeni yerine yazma
f(5)=3(3)−4f(5) = 3(3) - 4
Bulunan x değerini fonksiyonun kuralında yerine yazarak görüntüyü hesaplarız.
3
Hesaplama
9−4=59 - 4 = 5
Dört işlem önceliğine göre önce çarpma, sonra çıkarma yapılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değer bulma ve değişken değiştirme

İpuçları

1
Fonksiyonun içindeki ifadenin (x+2x+2) hangi sayıya eşit olması gerektiğini belirleyin.
2
x+2=5x + 2 = 5 ise xx yerine hangi sayıyı yazmanız gerektiğini bulun.
3
Bulduğunuz xx değerini 3x−43x - 4 kuralında yerine koyarak sonucu hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde f(2x−1)=4x+5f(2x - 1) = 4x + 5 verildiğinde f(3)f(3) değerini bulmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 7Soru →
Sıfırdan farklı gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için,
3f(x)−f(1x)=2x 3f(x) - f\left(\frac{1}{x}\right) = 2x
eşitliği her x≠0x \neq 0 gerçel sayısı için sağlanmaktadır.

Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 73\frac{7}{3}

Cevap

Verilen fonksiyonel eşitlikte değişken değiştirme yöntemiyle elde edilen denklem sistemi çözüldüğünde f(3)f(3) değeri 73\frac{7}{3} olarak bulunur.
Soruda verilen fonksiyonel eşitlik tek başına f(x)f(x) kuralını vermemektedir. f(3)f(3) değerini bulmak için xx yerine hem 33 hem de 1/31/3 yazılarak iki bilinmeyenli (f(3)f(3) ve f(1/3)f(1/3)) bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem yok etme metoduyla çözüldüğünde doğru cevap 73\frac{7}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikte ilk olarak istenen değeri bulmak için x=3x=3 yazılır.
3f(3)−f(1/3)=63f(3) - f(1/3) = 6 (1. Denklem)
f(3)f(3) ifadesini içeren bir denklem elde etmek.
2
Eşitlikte bilinmeyen diğer terim olan f(1/3)f(1/3)'ü ortaya çıkarmak için x=1/3x=1/3 yazılır.
3f(1/3)−f(3)=2(13)=233f(1/3) - f(3) = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} (2. Denklem)
İki bilinmeyenli denklem sistemi kurmak için ikinci denklemi oluşturmak.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi f(3)f(3)'ü bulacak şekilde düzenlenir. 2. Denklem 3 ile genişletilip, 1. Denklem ile taraf tarafa toplanırsa f(1/3)f(1/3) terimleri yok edilir.
1. Denklem: 9f(3)−3f(1/3)=189f(3) - 3f(1/3) = 18 (3 ile çarpılmış hali)
2. Denklem: −f(3)+3f(1/3)=2/3-f(3) + 3f(1/3) = 2/3
Yok etme metoduyla f(1/3)f(1/3) teriminden kurtulmak.
4
Denklemler taraf tarafa toplanır ve f(3)f(3) yalnız bırakılır.
8f(3)=18+23=563  ⟹  f(3)=5624=738f(3) = 18 + \frac{2}{3} = \frac{56}{3} \implies f(3) = \frac{56}{24} = \frac{7}{3}
Sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde xx yerine 1/x1/x (veya benzeri dönüşümler) yazılarak denklem sistemi elde etme ve yok etme metodu.

İpuçları

1
Eşitlikte önce x=3x=3 yazarak bir denklem elde ediniz. Bu denklemde f(3)f(3) ve f(1/3)f(1/3) bilinmeyenleri olacaktır.
2
Bilinmeyen sayısını azaltmak için x=1/3x=1/3 yazarak ikinci bir denklem daha oluşturunuz.
3
Elde ettiğiniz iki denklemi, f(1/3)f(1/3) terimlerini yok edecek şekilde (katsayılarını eşitleyerek) taraf tarafa toplayınız.

Daha Fazla Pratik

f(x)+2f(−x)=x2+1f(x) + 2f(-x) = x^2 + 1 ise f(1)f(1) kaçtır? sorusu ile bu konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Genel çözüm için 3f(x)−f(1/x)=2x3f(x) - f(1/x) = 2x ve 3f(1/x)−f(x)=2/x3f(1/x) - f(x) = 2/x sistemi çözülerek f(x)=3x+1x4f(x) = \frac{3x + \frac{1}{x}}{4} genel kuralı bulunabilir, ardından x=3x=3 yazılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 8Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları aşağıda verilmiştir:

f(x)={2x+5,x<3x2−1,x≥3 f(x) = \begin{cases} 2x + 5, & x < 3 \\ x^2 - 1, & x \geq 3 \end{cases}
g(x)=3x−6 g(x) = 3x - 6

Buna göre, (f∘g−1)(6)(f \circ g^{-1})(6) işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Doğru cevap 15'tir.
İstenen (f∘g−1)(6)(f \circ g^{-1})(6) değeri için önce gg fonksiyonunun sonucunu 6 yapan xx değeri bulunur (x=4x=4). Daha sonra bu değer ff fonksiyonunda yerine yazılır. 4≥34 \geq 3 olduğu için x2−1x^2-1 kuralı uygulanır ve 16−1=1516-1=15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifadeyi açık hale getir.
(f∘g−1)(6)=f(g−1(6))(f \circ g^{-1})(6) = f(g^{-1}(6)) demektir. Öncelikle içteki g−1(6)g^{-1}(6) değerini bulmalıyız.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği işlem sırası sağdan sola doğrudur.
2
g−1(6)g^{-1}(6) değerini hesapla.
g(x)=6g(x) = 6 denklemini çözeriz.
3x−6=63x - 6 = 6
3x=123x = 12
x=4x = 4
Böylece g−1(6)=4g^{-1}(6) = 4 bulunur.
Bir fonksiyonun tersinde 6 görüntüsünü veren giriş değerini bulmak için fonksiyon 6'ya eşitlenir.
3
Bulunan değeri ff fonksiyonunda yerine yaz.
Şimdi f(4)f(4) değerini bulmalıyız. x=4x = 4 değeri için 4≥34 \geq 3 koşulu sağlandığından alttaki parçayı kullanırız:
f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1
f(4)=42−1=16−1=15f(4) = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15
Parçalı fonksiyonda x değerinin hangi aralıkta olduğu kontrol edilerek uygun kural seçilir.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon ve Parçalı Fonksiyon Değeri Hesaplama

İpuçları

1
(f∘g−1)(6)(f \circ g^{-1})(6) ifadesi, f(g−1(6))f(g^{-1}(6)) anlamına gelir. İşleme içteki parantezden başlamalısın.
2
g−1(6)g^{-1}(6) değerini bulmak için, g(x)g(x) fonksiyonunu 6'ya eşitleyip x değerini bulmalısın (3x−6=63x - 6 = 6).
3
Bulduğun x değerini f(x)f(x) fonksiyonunda yerine yazarken, bu değerin 3'ten büyük mü küçük mü olduğuna dikkat ederek doğru denklemi seçmelisin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla (g∘f)(2)(g \circ f)(2) değerini hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu f(x)=x2−4x+1f(x) = x^2 - 4x + 1 kuralı ile verilmiştir. Buna göre, f(−1)f(-1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Fonksiyonda değişken yerine istenen değer yazıldığında elde edilen sonuç 6'dır.
Verilen fonksiyon kuralında xx yerine −1-1 yazıldığında; (−1)2(-1)^2 ifadesinden 11, −4⋅(−1)-4 \cdot (-1) çarpımından 44 gelir. Bu değerlere sabit olan 11 eklendiğinde 1+4+1=61 + 4 + 1 = 6 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon kuralında her xx yerine −1-1 yazılır.
f(−1)=(−1)2−4⋅(−1)+1f(-1) = (-1)^2 - 4 \cdot (-1) + 1
Fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak için o değer fonksiyona giriş olarak verilir.
2
Üslü ifadenin değeri hesaplanır.
(−1)2=1(-1)^2 = 1
Negatif bir sayının çift kuvveti her zaman pozitiftir.
3
Çarpma işlemi gerçekleştirilir.
−4⋅(−1)=4-4 \cdot (-1) = 4
İki negatif sayının çarpımı pozitif bir sonuç verir.
4
Bulunan tüm değerler toplanır.
1+4+1=61 + 4 + 1 = 6
Elde edilen terimlerin toplamı fonksiyonun o noktadaki değerini verir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Substitution)

İpuçları

1
Fonksiyonda f(−1)f(-1) değerini bulmak için denklemdeki tüm xx harflerinin yerine parantez içinde −1-1 yazmalısın.
2
İşlem yaparken öncelikle üslü sayıları, sonra çarpmaları ve en son toplamaları yapmalısın. (−1)2(-1)^2 sonucunun pozitif olduğunu unutma.
3
(−1)2=1(-1)^2 = 1 ve −4×(−1)=4-4 \times (-1) = 4 olduğunu bulduktan sonra, bu değerleri fonksiyondaki sabit 11 sayısı ile toplamalısın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir pekiştirme için f(x)=2x2+3x−5f(x) = 2x^2 + 3x - 5 fonksiyonunda f(−2)f(-2) değerini hesaplamayı deneyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonu f(x)=(x−2)2−3f(x) = (x-2)^2 - 3 şeklinde tam kareye tamamlayarak da çözebiliriz: f(−1)=(−1−2)2−3=(−3)2−3=9−3=6f(-1) = (-1-2)^2 - 3 = (-3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6.
Tahmini Süre:45s
Soru 10Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için;
f(x−2)=3x+1f(x-2) = 3x + 1
(g−1∘f)(x)=2x−3(g^{-1} \circ f)(x) = 2x - 3
eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, g(5)g(5) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Doğru cevap 19'dur.
Verilen (g−1∘f)(x)=2x−3(g^{-1} \circ f)(x) = 2x - 3 eşitliği, ters fonksiyon tanımı gereği f(x)=g(2x−3)f(x) = g(2x - 3) şeklinde yazılabilir. Bizden g(5)g(5) istendiği için, gg fonksiyonunun parantez içi 55 yapılmalıdır. 2x−3=52x - 3 = 5 denkleminden x=4x = 4 bulunur. Bu xx değeri yerine yazıldığında f(4)=g(5)f(4) = g(5) elde edilir. f(4)f(4) değerini bulmak için f(x−2)=3x+1f(x-2) = 3x + 1 eşitliğinde parantez içinin 44 olması gerekir (x−2=4⇒x=6x-2=4 \Rightarrow x=6). x=6x=6 için f(4)=3(6)+1=19f(4) = 3(6) + 1 = 19 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bileşke fonksiyon eşitliğini düzenleyerek gg fonksiyonunu yalnız bırakma.
(g−1∘f)(x)=g−1(f(x))=2x−3(g^{-1} \circ f)(x) = g^{-1}(f(x)) = 2x - 3 ifadesinden, ters fonksiyon özelliği gereği f(x)=g(2x−3)f(x) = g(2x - 3) eşitliği elde edilir.
y=g−1(x)  ⟺  x=g(y)y = g^{-1}(x) \iff x = g(y) özelliğini kullanmak soruyu gg fonksiyonu cinsinden ifade etmemizi sağlar.
2
g(5)g(5) değerini bulmak için gg'nin içindeki ifadeyi 5'e eşitleme.
2x−3=5⇒2x=8⇒x=42x - 3 = 5 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4 bulunur.
Elde ettiğimiz f(x)=g(2x−3)f(x) = g(2x - 3) eşitliğinde g(5)g(5)'i elde etmek için xx'in alması gereken değeri bulmalıyız.
3
Bulunan x=4x=4 değerini eşitlikte yerine yazarak g(5)g(5) ile ff fonksiyonu arasındaki ilişkiyi kurma.
x=4x=4 için eşitlik f(4)=g(2⋅4−3)=g(5)f(4) = g(2\cdot4 - 3) = g(5) halini alır. Yani g(5)g(5)'i bulmak için f(4)f(4) değerini hesaplamamız gerekir.
Sorunun çözümü f(4)f(4) değerinin bulunmasına indirgenmiştir.
4
f(x−2)=3x+1f(x-2) = 3x + 1 kuralını kullanarak f(4)f(4) değerini hesaplama.
f(4)f(4) olması için parantez içi x−2=4⇒x=6x-2 = 4 \Rightarrow x = 6 olmalıdır. Bu değer kuralda yerine yazılırsa: f(6−2)=3(6)+1=18+1=19f(6-2) = 3(6) + 1 = 18 + 1 = 19.
ff fonksiyonunun kuralı x−2x-2 cinsinden verildiği için, f(4)f(4)'ü bulmak adına değişkene 66 verilmelidir.
5
Sonucu belirleme.
g(5)=f(4)=19g(5) = f(4) = 19.
Bulunan değer sorunun cevabıdır.

Anahtar Kavram

Bileşke ve Ters Fonksiyon Özellikleri

İpuçları

1
g−1(A)=Bg^{-1}(A) = B ise g(B)=Ag(B) = A kuralını hatırlayınız. Bu kuralı (g−1∘f)(x)(g^{-1} \circ f)(x) ifadesine uygulayarak f(x)f(x) ve gg arasındaki ilişkiyi yazınız.
2
f(x)=g(2x−3)f(x) = g(2x - 3) eşitliğini elde ettikten sonra, g(5)g(5)'i bulmak için 2x−32x - 3 ifadesini 55'e eşitleyen xx değerini bulunuz.
3
2x−3=52x - 3 = 5 için x=4x=4 bulunur. Bu durumda g(5)=f(4)g(5) = f(4) olur. Şimdi f(x−2)=3x+1f(x-2) = 3x + 1 denkleminde f(4)f(4)'ü bulmak için xx yerine ne yazmanız gerektiğini düşününüz.

Alternatif Yöntem

Önce x−2=tx-2=t dönüşümü ile f(x)=3(x+2)+1=3x+7f(x) = 3(x+2)+1 = 3x+7 kuralını bulabilir, sonra 3x+7=g(2x−3)3x+7 = g(2x-3) eşitliğinde 2x−3=5⇒x=42x-3=5 \Rightarrow x=4 yazarak g(5)=3(4)+7=19g(5) = 3(4)+7 = 19 sonucuna ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 11Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)={2x+k,x<13x−k,x≥1f(x) = \begin{cases} 2x+k, & x < 1 \\ 3x-k, & x \geq 1 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
(f∘f)(0)=12(f \circ f)(0) = 12
olduğuna göre, kk değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

k değeri 6'dır
Bileşke fonksiyon değerini bulurken adım adım ilerlenmelidir. Öncelikle f(0)f(0) değeri, 0<10 < 1 olduğu için birinci daldan f(0)=kf(0)=k olarak bulunur. Sonraki adımda f(k)=12f(k)=12 eşitliğini sağlayan kk değerini ararken, kk'nın 1'den küçük mü yoksa büyük mü olduğu bilinmediği için iki durum da denenmelidir. k<1k < 1 varsayımıyla kurulan 3k=123k=12 denklemi k=4k=4 sonucunu verir ancak bu 4<14 < 1 koşuluyla çelişir. k≥1k \ge 1 varsayımıyla kurulan 2k=122k=12 denklemi k=6k=6 sonucunu verir ve bu değer 6≥16 \ge 1 koşulunu sağlar. Dolayısıyla doğru cevap 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak içteki fonksiyonun değerini, yani f(0)'ı hesapla.
0 < 1 olduğu için üstteki dalı kullanırız: f(0) = 2(0) + k = k
Parçalı fonksiyonda x değerinin aralığına göre uygun kural seçilmelidir.
2
Bulunan değeri dıştaki fonksiyonda yerine yazarak (f o f)(0) = f(k) = 12 denklemini çöz.
f(k) hesaplanırken k'nın değeri bilinmediği için iki olasılık (k < 1 veya k ≥ 1) incelenmelidir.
k'nın hangi aralıkta olduğunu bilmediğimizden her iki durumu da test edip tutarlı olanı bulmalıyız.
3
Birinci Durum: k < 1 olduğunu varsayalım.
f(k) = 2(k) + k = 3k olur. 3k = 12 ise k = 4 bulunur. Ancak varsayımımız k < 1 idi, 4 < 1 olmadığı için bu kök geçersizdir.
Bulunan sonuç, başlangıçtaki varsayım aralığı ile çelişiyorsa çözüm kümesine dahil edilmez.
4
İkinci Durum: k ≥ 1 olduğunu varsayalım.
f(k) = 3(k) - k = 2k olur. 2k = 12 ise k = 6 bulunur. Varsayımımız k ≥ 1 idi, 6 ≥ 1 olduğu için bu çözüm geçerlidir.
Koşulu sağlayan tek değer budur.

Anahtar Kavram

Parçalı Fonksiyonlar ve Bileşke Fonksiyon

İpuçları

1
Önce x=0x=0 değerini fonksiyonda yerine yazarak f(0)f(0)'ın kk cinsinden eşitini bulun.
2
f(0)=kf(0)=k bulduktan sonra, (f∘f)(0)=f(k)=12(f \circ f)(0) = f(k) = 12 denklemini çözmeniz gerekir. Ancak kk'nın 1'den küçük mü yoksa büyük mü olduğunu bilmiyorsunuz.
3
İki durumu da deneyin: 1) Eğer k<1k < 1 ise f(k)=2k+kf(k) = 2k+k; 2) Eğer k≥1k \ge 1 ise f(k)=3k−kf(k) = 3k-k. Bulduğunuz kk değerinin varsaydığınız aralıkta olup olmadığını mutlaka kontrol edin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →
Sıfırdan farklı gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+3f(1x)=4x2−2xf(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x^2 - \frac{2}{x}
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

f(2)f(2) değeri -3 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonel denklemde xx yerine hem 22 hem de 1/21/2 yazılarak f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) değerlerine bağlı iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem yok etme metoduyla çözüldüğünde f(2)f(2) değeri hatasız bir şekilde -3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikte xx yerine 2 yazarak birinci denklemi oluştur.
f(2)+3f(1/2)=4(22)−2/2=16−1=15f(2) + 3f(1/2) = 4(2^2) - 2/2 = 16 - 1 = 15
f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) arasında bir ilişki bulmak için.
2
Eşitlikte xx yerine 1/21/2 yazarak ikinci denklemi oluştur.
f(1/2)+3f(2)=4(1/2)2−2/(1/2)=4(1/4)−4=1−4=−3f(1/2) + 3f(2) = 4(1/2)^2 - 2/(1/2) = 4(1/4) - 4 = 1 - 4 = -3
Bilinmeyenleri aynı olan (f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2)) ikinci bir denklem elde ederek sistemi çözülebilir hale getirmek için.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çöz.
1. Denklem: f(2)+3f(1/2)=15f(2) + 3f(1/2) = 15
2. Denklem: 3f(2)+f(1/2)=−33f(2) + f(1/2) = -3
İkinci denklemi -3 ile çarpıp taraf tarafa toplayalım:
f(2)+3f(1/2)=15f(2) + 3f(1/2) = 15
−9f(2)−3f(1/2)=9-9f(2) - 3f(1/2) = 9
-------------------
−8f(2)=24-8f(2) = 24
f(2)=−3f(2) = -3
f(1/2)f(1/2) terimini yok ederek istenen f(2)f(2) değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde değişken değiştirme (x→1/xx \to 1/x) yöntemiyle sistem oluşturma.

İpuçları

1
Soruda verilen eşitlikte xx yerine 22 yazarak bir denklem elde edin. Ancak bu denklemde hem f(2)f(2) hem de f(1/2)f(1/2) bilinmeyenleri olacaktır.
2
Bilinmeyenlerden kurtulmak için ikinci bir denkleme ihtiyacınız var. Bu kez eşitlikte xx yerine 1/21/2 yazarak ikinci bir denklem oluşturun.
3
Elde ettiğiniz iki denklemi (f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) içeren), iki bilinmeyenli denklem sistemi gibi düşünün ve yok etme metodunu kullanarak f(2)f(2)'yi yalnız bırakın.

Daha Fazla Pratik

f(x)+2f(−x)=x2+xf(x) + 2f(-x) = x^2 + x eşitliğini sağlayan ff fonksiyonu için f(1)f(1) değerini soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Genel çözüm için önce xx sonra 1/x1/x koyarak f(x)f(x) ve f(1/x)f(1/x)'e bağlı genel sistemi çözüp f(x)f(x) kuralını f(x)=1x2−x2…f(x) = \frac{1}{x^2} - x^2 \dots gibi bulmak ve sonra yerine koymak da mümkündür, ancak sayısal değerler üzerinden gitmek daha hızlıdır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 13Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2
(g∘f)(x)=f(x+2)(g \circ f)(x) = f(x + 2)
eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, g(4)g(4) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İstenen değer 10 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği g(f(x))=f(x+2)g(f(x)) = f(x+2) eşitliği yazılır. g(4)g(4) değerini bulmak için f(x)=4f(x)=4 olmalıdır; bu da 3x−2=43x-2=4 denkleminden x=2x=2 sonucunu verir. Eşitliğin sağ tarafında xx yerine 2 yazıldığında g(4)=f(2+2)=f(4)g(4) = f(2+2) = f(4) elde edilir. f(4)=3(4)−2=10f(4) = 3(4)-2 = 10 hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak genel eşitliği yazmak
g(f(x))=f(x+2)g(f(x)) = f(x + 2)
Bileşke fonksiyonun iç içe yazım kuralını uygulayarak gg fonksiyonunun girdisini belirlemek gerekir.
2
g(4)g(4) değerini bulmak için f(x)f(x) ifadesini 4 değerine eşitleyecek xx değerini bulmak
3x−2=4⇒3x=6⇒x=23x - 2 = 4 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2
gg fonksiyonunun argümanı olan f(x)f(x)'in 4 olması durumunda eşitliğin sol tarafı g(4)g(4) olacaktır.
3
Bulunan x=2x = 2 değerini genel eşitlikte yerine yazmak
g(f(2))=f(2+2)⇒g(4)=f(4)g(f(2)) = f(2 + 2) \Rightarrow g(4) = f(4)
Eşitliğin her iki tarafında xx yerine 2 yazılarak g(4)g(4) değeri ff cinsinden ifade edilir.
4
f(4)f(4) değerini hesaplamak
f(4)=3(4)−2=12−2=10f(4) = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10
Fonksiyonun kuralı uygulanarak sayısal sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonlarda Değer Bulma

İpuçları

1
Bileşke fonksiyonu g(f(x))g(f(x)) şeklinde yazarak başlayın.
2
gg fonksiyonunun parantez içini 4 yapmak için f(x)=4f(x) = 4 denklemini çözmelisiniz.
3
f(x)=4f(x) = 4 için bulduğunuz xx değerini f(x+2)f(x+2) ifadesinde yerine koyun.

Alternatif Yöntem

g(x)g(x) fonksiyonunun kuralını bulmak için ff fonksiyonunun tersini alıp bileşke işleminde yerine yazabilirsiniz. f−1(x)=(x+2)/3f^{-1}(x) = (x+2)/3 olduğundan g(x)=f(f−1(x)+2)=f((x+2)/3+2)=3((x+2)/3+2)−2=x+2+6−2=x+6g(x) = f(f^{-1}(x) + 2) = f((x+2)/3 + 2) = 3((x+2)/3 + 2) - 2 = x+2+6-2 = x+6 bulunur. Buradan g(4)=4+6=10g(4) = 4+6 = 10 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 14Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff doğrusal fonksiyonu için
f(x+2)+f(2x−1)=6x+8f(x+2) + f(2x-1) = 6x + 8
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Fonksiyon doğrusal olduğu için f(x)=ax+bf(x)=ax+b formundadır. Verilen eşitlikte yerlerine yazıldığında xx'li terimlerin katsayısından 3a=63a=6 yani a=2a=2 bulunur. Sabit terimlerin eşitliğinden a+2b=8a+2b=8 bulunur; a=2a=2 yerine konulduğunda 2b=62b=6 ve b=3b=3 elde edilir. Böylece f(x)=2x+3f(x)=2x+3 olur. f(4)f(4) değeri ise 2(4)+3=112(4)+3=11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal fonksiyonun genel denklemini yaz
f(x)=ax+bf(x) = ax + b formundadır.
Soruda fonksiyonun 'doğrusal' olduğu belirtilmiştir.
2
Verilen eşitlikte f(x)f(x) ifadesini yerine koy
f(x+2)=a(x+2)+b=ax+2a+bf(x+2) = a(x+2) + b = ax + 2a + b ve f(2x−1)=a(2x−1)+b=2ax−a+bf(2x-1) = a(2x-1) + b = 2ax - a + b
Fonksiyon kuralını değişkenlere uygulamak gerekir.
3
Elde edilen ifadeleri topla ve verilen eşitliğe eşitle
(ax+2a+b)+(2ax−a+b)=3ax+a+2b(ax + 2a + b) + (2ax - a + b) = 3ax + a + 2b. Bu ifade 6x+86x + 8'e eşittir.
Polinom eşitliği ilkesini kullanmak için.
4
Aynı dereceli terimlerin katsayılarını eşitleyerek aa ve bb değerlerini bul
3a=6⇒a=23a = 6 \Rightarrow a = 2 ve a+2b=8⇒2+2b=8⇒2b=6⇒b=3a + 2b = 8 \Rightarrow 2 + 2b = 8 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3. Fonksiyon f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3.
Fonksiyonun kuralını belirlemek için.
5
Bulunan fonksiyonda x=4x=4 değerini hesapla
f(4)=2(4)+3=8+3=11f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11.
Sorulan değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Doğrusal Fonksiyonlar ve Polinom Eşitliği

İpuçları

1
Soruda 'doğrusal fonksiyon' dendiği için f(x)=ax+bf(x) = ax + b şeklinde bir denklem kurarak başlayın.
2
Eşitliğin sol tarafında f(x+2)f(x+2) için a(x+2)+ba(x+2)+b ve f(2x−1)f(2x-1) için a(2x−1)+ba(2x-1)+b ifadelerini yazıp toplayın.
3
Topladığınız ifadeleri 6x+86x+8 ile eşleştirin. xx'in katsayısı 3a=63a=6 olmalı, sabit terimler toplamı ise 88 olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla kurulan, ancak f(x)f(x) yerine f(x2)f(x^2) içeren ve çift fonksiyon özelliği gerektiren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (bazı durumlarda riskli olsa da): x=1x=1 vererek f(3)+f(1)=14f(3)+f(1)=14 ve x=2x=2 vererek f(4)+f(3)=20f(4)+f(3)=20 denklemleri bulunup, doğrusal fonksiyonun artış miktarı (aa) üzerinden gidilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 15Soru →
Her xx gerçel sayısı için
f(x)=3x−10f(x) = 3x - 10
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, f(6)+f(1)f(6) + f(1) işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

f(6) ve f(1) değerlerinin toplamı 1'dir.
Verilen fonksiyon kuralında x yerine sırasıyla 6 ve 1 değerleri yazıldığında f(6) = 8 ve f(1) = -7 sonuçları elde edilir. Bu iki sonucun toplamı olan 8 + (-7) işlemi bizi 1 sonucuna ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
f(6) değerini hesapla
f(6)=3(6)−10=18−10=8f(6) = 3(6) - 10 = 18 - 10 = 8
Fonksiyon kuralında x yerine 6 yazılarak o noktadaki değer bulunur.
2
f(1) değerini hesapla
f(1)=3(1)−10=3−10=−7f(1) = 3(1) - 10 = 3 - 10 = -7
Fonksiyon kuralında x yerine 1 yazılarak o noktadaki değer bulunur.
3
Bulunan değerleri topla
8+(−7)=18 + (-7) = 1
Soruda istenen toplam ifadesi elde edilir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Substitution)

İpuçları

1
Fonksiyonlarda f(a)f(a) değerini bulmak için fonksiyondaki xx değişkeni yerine aa sayısını yazmalısın.
2
Önce f(6)f(6) ve f(1)f(1) değerlerini ayrı ayrı hesaplayıp bir kenara not etmeyi dene.
3
f(6)=8f(6) = 8 ve f(1)=−7f(1) = -7 olarak bulunur. Şimdi bu iki sayıyı toplamalısın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde f(x) = 2x + 5 için f(-2) + f(3) toplamını hesaplayarak pratiğini artırabilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 16Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx ve yy gerçel sayısı için
f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy f(x+y) = f(x) + f(y) + 3xy
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=4f(1) = 4 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

İstenen değer 21'dir.
Verilen fonksiyonel eşitlikte değişkenlere uygun değerler verilerek adım adım ilerlenir. Önce x=1,y=1x=1, y=1 seçilerek f(2)=11f(2)=11 bulunur, ardından x=2,y=1x=2, y=1 seçilerek f(3)=21f(3)=21 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte f(2)f(2) değerini bulmak için x=1x=1 ve y=1y=1 değerlerini yerine yazalım.
f(1+1)=f(1)+f(1)+3⋅1⋅1⇒f(2)=4+4+3=11f(1+1) = f(1) + f(1) + 3 \cdot 1 \cdot 1 \Rightarrow f(2) = 4 + 4 + 3 = 11
f(3)f(3) değerine ulaşmak için önce ara basamak olan f(2)f(2)'nin bilinmesi gerekmektedir.
2
f(3)f(3) değerini bulmak için denklemde x=2x=2 ve y=1y=1 (veya x=1,y=2x=1, y=2) değerlerini yerine yazalım.
f(2+1)=f(2)+f(1)+3⋅2⋅1⇒f(3)=11+4+6f(2+1) = f(2) + f(1) + 3 \cdot 2 \cdot 1 \Rightarrow f(3) = 11 + 4 + 6
Bulduğumuz f(2)f(2) değeri kullanılarak bir sonraki basamak olan f(3)f(3) hesaplanır.
3
Son toplama işlemini yapalım.
f(3)=21f(3) = 21
İşlem sonucu.

Anahtar Kavram

Fonksiyonel denklemlerde verilen bağıntıyı kullanarak adım adım değer bulma.

İpuçları

1
Önce f(2)f(2) değerini bulmak için xx ve yy yerine 1 yazmayı deneyin.
2
f(2)f(2)'yi bulduktan sonra, f(3)f(3)'ü elde etmek için 2+12+1 toplamını kullanacak şekilde xx ve yy değerleri seçin.
3
f(2)=f(1)+f(1)+3(1)(1)f(2) = f(1) + f(1) + 3(1)(1) işlemini çözün, çıkan sonucu f(3)=f(2)+f(1)+3(2)(1)f(3) = f(2) + f(1) + 3(2)(1) denkleminde yerine yazın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 17Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonlarından; ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre, gg fonksiyonunun grafiği ise orijine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için,
f(x)+g(x)=3x2+4x+5 f(x) + g(x) = 3x^2 + 4x + 5
eşitliği sağlandığına göre, (g∘f)(−1)(g \circ f)(-1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

32
Verilen simetri özelliklerine göre ff çift (f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)), gg ise tek (g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x)) fonksiyondur. Denklemde xx yerine −x-x yazılarak f(x)−g(x)=3x2−4x+5f(x)-g(x)=3x^2-4x+5 elde edilir. Orijinal denklemle taraf tarafa işlemler yapıldığında f(x)=3x2+5f(x)=3x^2+5 ve g(x)=4xg(x)=4x bulunur. Buradan (g∘f)(−1)=g(f(−1))=g(8)=32(g \circ f)(-1) = g(f(-1)) = g(8) = 32 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri özelliklerini matematiksel olarak ifade et.
f y-eksenine göre simetrik ise f(-x) = f(x) (Çift fonksiyon); g orijine göre simetrik ise g(-x) = -g(x) (Tek fonksiyon).
Fonksiyonların grafik simetrileri, tek ve çift olma özelliklerini belirler.
2
Verilen denklemde x yerine -x yazarak ikinci bir denklem elde et.
f(-x) + g(-x) = 3(-x)^2 + 4(-x) + 5 => f(x) - g(x) = 3x^2 - 4x + 5.
İki bilinmeyenli (f ve g) bir denklem sistemi oluşturmak için simetri özelliklerini kullanmak gerekir.
3
Elde edilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak f(x) fonksiyonunu bul.
(f(x) + g(x)) + (f(x) - g(x)) = (3x^2 + 4x + 5) + (3x^2 - 4x + 5) => 2f(x) = 6x^2 + 10 => f(x) = 3x^2 + 5.
g(x) terimlerini yok ederek f(x)'i yalnız bırakmak.
4
İlk denklemden f(x)'i çıkararak g(x) fonksiyonunu bul.
g(x) = (3x^2 + 4x + 5) - (3x^2 + 5) = 4x.
f(x) bulunduktan sonra g(x)'i bulmak için yerine koyma veya çıkarma işlemi yapılır.
5
İstenen (gof)(-1) değerini hesapla.
Önce f(-1) = 3(-1)^2 + 5 = 8. Sonra g(8) = 4(8) = 32.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği önce içteki fonksiyonun değeri bulunur, sonra dıştaki fonksiyonda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Fonksiyonların Simetri Özellikleri

İpuçları

1
Grafiği y-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar 'çift', orijine göre simetrik olanlar 'tek' fonksiyondur.
2
Çift fonksiyonlarda f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), tek fonksiyonlarda g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) eşitliğini kullanın.
3
Verilen denklemde xx yerine −x-x yazarak ikinci bir denklem elde edin ve bu iki denklemi f(x)f(x) ve g(x)g(x)'i bulmak için taraf tarafa toplayıp çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Tek ve çift fonksiyonların türevleri veya integralleri ile ilgili özellikleri inceleyin.

Alternatif Yöntem

Polinom eşitliği yöntemini kullanmak: f(x) çift olduğundan sadece çift dereceli terimler (ax2+cax^2+c), g(x) tek olduğundan sadece tek dereceli terimler (bxbx) içermelidir. f(x)+g(x)=ax2+bx+c=3x2+4x+5f(x)+g(x) = ax^2+bx+c = 3x^2+4x+5 diyerek katsayıları eşleştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 18Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=5x−8f(x) = 5x - 8 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7 değeri doğrudur.
Verilen f(x)=5x−8f(x) = 5x - 8 fonksiyonunda xx yerine 33 yazıldığında 5⋅3−85 \cdot 3 - 8 işlemi oluşur. İşlem önceliği gereği önce çarpma yapılır (1515), ardından 88 çıkarılarak 77 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon kuralında xx değişkeni yerine verilen 33 değerini yazın.
f(3)=5(3)−8f(3) = 5(3) - 8
Fonksiyonun değerini bulmak için tanım kümesindeki eleman kuralda yerine yazılır.
2
Çarpma işlemini gerçekleştirin.
5×3=155 \times 3 = 15
İşlem önceliğine göre çarpma işlemi çıkarmadan önce yapılır.
3
Çıkarma işlemini yaparak sonucu bulun.
15−8=715 - 8 = 7
Bulunan çarpım sonucundan sabit terim çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Substitution)

İpuçları

1
Fonksiyonlar birer eşleme kuralıdır; f(3)f(3) demek, kuraldaki her xx yerine 33 yazmak demektir.
2
f(x)=5x−8f(x) = 5x - 8 ifadesinde xx gördüğünüz yere 33 yazarak 5⋅3−85 \cdot 3 - 8 işlemini kurun.
3
İşlem önceliğine dikkat edin: Önce 55 ile 33'ü çarpın, çıkan sonuçtan 88 çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde f(x)=4x+6f(x) = 4x + 6 fonksiyonu için f(−2)f(-2) değerini hesaplayarak negatif sayılarla işlem pratiği yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonu bir makine gibi düşünebilirsiniz: Girdi (xx) makineye girer, 55 ile çarpılır ve 88 çıkarılarak çıktı elde edilir. Girdi 33 ise çıktı 77 olur.
Tahmini Süre:45s
Soru 19Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+3f(−x)=4x2−2x+8 f(x) + 3f(-x) = 4x^2 - 2x + 8
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

f(2) değeri 8 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonel eşitlikte xx ve −x-x değişkenleri birbirine bağlıdır. f(2)f(2) değerini bulmak için x=2x=2 ve x=−2x=-2 değerlerini ayrı ayrı yerine koyarak iki bilinmeyenli (f(2)f(2) ve f(−2)f(-2)) bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde doğru değer olan 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte x yerine 2 yazarak birinci denklemi oluştur.
f(2)+3f(−2)=4(22)−2(2)+8=16−4+8=20f(2) + 3f(-2) = 4(2^2) - 2(2) + 8 = 16 - 4 + 8 = 20
Aranan f(2) değeri ile f(-2) arasında bir ilişki kurmak için.
2
Verilen eşitlikte x yerine -2 yazarak ikinci denklemi oluştur.
f(−2)+3f(2)=4(−2)2−2(−2)+8=16+4+8=28f(-2) + 3f(2) = 4(-2)^2 - 2(-2) + 8 = 16 + 4 + 8 = 28
İki bilinmeyenli denklem sistemi elde etmek için simetrik değeri kullanmak gerekir.
3
Elde edilen iki denklemi f(2)'yi bulmak için çöz (Yok etme metodu).
1. Denklem: f(2)+3f(−2)=20f(2) + 3f(-2) = 20
2. Denklem: 3f(2)+f(−2)=283f(2) + f(-2) = 28
İkinci denklemi -3 ile çarpıp birinciyle topla:
f(2)+3f(−2)=20f(2) + 3f(-2) = 20
−9f(2)−3f(−2)=−84-9f(2) - 3f(-2) = -84
----------------------
−8f(2)=−64-8f(2) = -64
f(-2) terimini yok ederek f(2) değerine ulaşmak için.
4
Sonucu hesapla.
f(2)=8f(2) = 8
İşlemi tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Denklem Sistemleri)

İpuçları

1
Eşitlikte sadece x=2 yazmak yeterli değildir, bilinmeyen bir f(-2) terimi ortaya çıkar.
2
f(-2) değerini içeren başka bir denklem bulmak için x yerine -2 yazmayı dene.
3
Elde ettiğin iki denklemi taraf tarafa yok etme metodunu kullanarak çöz ve f(2)'yi yalnız bırak.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki f(x) + 2f(1/x) = 3x sorularını incele.

Alternatif Yöntem

Genel fonksiyon kuralını bulmak: Denklem sistemini genel x için çözerek f(x) = x^2 + x + 2 olduğunu bulup, sonra x=2 yazabilirsin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 20Soru →
x≠1x \neq 1 ve x≠−1x \neq -1 olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için
f(x−1x+1)=4x+4x−1−5f\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{4x+4}{x-1} - 5
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, f(12)f\left(\frac{1}{2}\right) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İstenen değer 3'tür.
Soruda verilen fonksiyon yapısında, parantez içindeki ifade x−1x+1\frac{x-1}{x+1} ile eşitliğin sağ tarafındaki x+1x−1\frac{x+1}{x-1} ifadesi birbirinin çarpımsal tersidir. İçeriye uu dersek, sağ taraftaki kesirli kısım 1/u1/u olur. Katsayılarla birlikte fonksiyon f(u)=4(1/u)−5f(u) = 4(1/u) - 5 şeklini alır. Bizden f(1/2)f(1/2) istendiği için, uu yerine 1/21/2 yazdığımızda sonuç 4/(1/2)−5=8−5=34/(1/2) - 5 = 8 - 5 = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun içindeki ifade ile eşitliğin karşı tarafındaki ifade arasındaki ilişkiyi analiz et.
İçerideki ifade u=x−1x+1u = \frac{x-1}{x+1} iken, karşı tarafta x+1x−1\frac{x+1}{x-1} çarpanı bulunmaktadır. Bu ifade 1u\frac{1}{u}'ya eşittir.
Fonksiyonun kuralını (f(u)f(u)) genel bir formda yazmak çözümü kolaylaştırır.
2
Eşitliği uu cinsinden yeniden yaz.
RHS (Sağ Taraf): 4(x+1)x−1−5=4⋅(x+1x−1)−5=4⋅1u−5\frac{4(x+1)}{x-1} - 5 = 4 \cdot \left(\frac{x+1}{x-1}\right) - 5 = 4 \cdot \frac{1}{u} - 5. Yani f(u)=4u−5f(u) = \frac{4}{u} - 5.
Karmaşık x ifadeleri yerine sadeleştirilmiş fonksiyon kuralını elde etmek için.
3
İstenen u=1/2u = 1/2 değerini fonksiyonda yerine yaz.
f(1/2)=41/2−5=(4⋅2)−5=8−5=3f(1/2) = \frac{4}{1/2} - 5 = (4 \cdot 2) - 5 = 8 - 5 = 3.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda Değişken Dönüştürme

İpuçları

1
Fonksiyonun içindeki x−1x+1\frac{x-1}{x+1} ifadesi ile eşitliğin sağındaki 4x+4x−1\frac{4x+4}{x-1} ifadesi arasında bir ilişki kurmaya çalışın.
2
Eşitliğin sağ tarafını 4⋅x+1x−1−54 \cdot \frac{x+1}{x-1} - 5 şeklinde paranteze alırsanız, içerideki ifadenin tersini görebilirsiniz.
3
Eğer x−1x+1=u\frac{x-1}{x+1} = u derseniz, x+1x−1=1u\frac{x+1}{x-1} = \frac{1}{u} olur. Fonksiyonu f(u)f(u) cinsinden yazıp u=1/2u=1/2 değerini koyun.

Daha Fazla Pratik

Bileşke fonksiyon sorularında f(g(x))f(g(x)) yapısını ve f(x)f(x) ile f(1/x)f(1/x) arasındaki ilişkileri inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce xx değerini bulma yöntemi: Fonksiyonun içinin 1/21/2 olması için x−1x+1=12\frac{x-1}{x+1} = \frac{1}{2} denklemini çözerek x=3x=3 bulursunuz. Sonra eşitliğin sağ tarafında xx yerine 3 yazarak sonucu doğrudan hesaplayabilirsiniz: 4(3)+43−1−5=162−5=3\frac{4(3)+4}{3-1} - 5 = \frac{16}{2} - 5 = 3.
Tahmini Süre:1m 30s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin